8.2 偏導數

8.2 偏導數 學習目標 求兩變數函數的一階偏導數。 求曲面在 x 與 y 方向的斜率，並利用偏導數求解實際生活的問題。 求多變數函數的偏導數。 求高階偏導數。 第八章　多變數函數 P.8-8

兩變數函數 在實際生活問題應用多變數函數，常需要知道變動一個變數對函數值的影響。比方說，當經濟學家想知道增稅對經濟的影響時，通常是固定其他變數 (像失業率) 不變，只改變稅率來計算。 第八章　多變數函數 P.8-8

兩變數函數 也可用同樣的程序來計算函數 f 對某一自變數的變化率，也就是說，把其他自變數當成常數，僅針對此自變數求導數。這個程序稱為偏微分 (partial differentiation)，每個導數稱為偏導數 (partial dervative)。多變數函數的偏導數與該函數自變數的數目一樣多。 第八章　多變數函數 P.8-8

兩變數函數 第八章　多變數函數 P.8-8

學習提示 注意本定義指出計算兩變數函數的偏導數時，暫時固定其中一個變數。例如z ＝ f (x, y)，求 ∂z/∂x 時，把 y 當成常數，對 x 微分。同樣的，如果要求 ∂z/∂y 時，則把 x 當成常數，對 y 微分。 第八章　多變數函數 P.8-8

令 z ＝ 3x － x2y2 ＋ 2x3y，求 ∂z/∂x 與 ∂z/∂y。 範例 1　求偏導數 令 z ＝ 3x － x2y2 ＋ 2x3y，求 ∂z/∂x 與 ∂z/∂y。 第八章　多變數函數 P.8-8

範例 1　求偏導數 （解） 第八章　多變數函數 P.8-8

檢查站 1 令 z＝2x2－4x2y3＋y4，求　　與　　。 第八章　多變數函數 P.8-8

兩變數函數 第八章　多變數函數 P.8-9

求函數 f (x, y) ＝ xex2y 的一階偏導數，並計算其在點 (1, ln 2) 的值。 範例 2　計算一階偏導數的值 求函數 f (x, y) ＝ xex2y 的一階偏導數，並計算其在點 (1, ln 2) 的值。 第八章　多變數函數 P.8-9

求對 x 的一階偏導數，可將 y 視為常數，然後用乘積律對 x 微分。 範例 2　計算一階偏導數的值 （解） 求對 x 的一階偏導數，可將 y 視為常數，然後用乘積律對 x 微分。 第八章　多變數函數 P.8-9

範例 2　計算一階偏導數的值 （解） 在點 (1, ln 2) 的導數值為 第八章　多變數函數 P.8-9

求對 y 的一階偏導數，將 x 視為常數，然後對 y 微分而得。 範例 2　計算一階偏導數的值 （解） 求對 y 的一階偏導數，將 x 視為常數，然後對 y 微分而得。 在點 (1, ln 2) 的導數值為 第八章　多變數函數 P.8-9

求函數 f (x, y) ＝ x2y3 的一階偏導數，並計算其在點 (1, 2) 的值。 檢查站 2 求函數 f (x, y) ＝ x2y3 的一階偏導數，並計算其在點 (1, 2) 的值。 第八章　多變數函數 P.8-9

偏導數的幾何意義 本課程一開始就學過了單變數函數之導數的幾何意義，亦即f (x0) 代表函數 y ＝ f (x) 圖形在點 (x0, y0) 處切線的斜率。兩變數函數的偏導數的幾何意義也很有用處。圖 8.5(a) 上的曲面是函數 z ＝ f (x, y) 兩變數函數 在空間上的圖形。當 y 固定在 y0 時，則 z ＝ f (x, y0) 單變數函數 就變成單變數函數，此函數圖形就是平面 y ＝ y0 與曲面 z ＝ f (x, y)相交的曲線。 第八章　多變數函數 P.8-9~8-10

偏導數的幾何意義 如圖 8.5(a) 所示，在此曲線上的偏導數 fx ＝ (x, y0) x 方向的斜率 代表在 y ＝ y0 平面上的斜率。同樣的道理，當 x 固定在 x0 時，則 z ＝ f (x0, y) 單變數函數 就變成單變數函數，其圖形就是平面 x ＝ x0 與曲面 z ＝ f (x, y) 相交的曲線。如圖 8.5(b) 所示，在此曲線上的偏導數 fy (x0, y) y 方向的斜率 代表在 x ＝ x0 平面上的斜率。 第八章　多變數函數 P.8-10

偏導數的幾何意義 第八章　多變數函數 P.8-10 圖8.5

在點 ( , 1, 2) (a) 朝 x 方向和 (b) 朝 y 方向的斜率。 範例 3　求 x 與 y 方向的斜率 求曲面 在點 ( , 1, 2) (a) 朝 x 方向和 (b) 朝 y 方向的斜率。 第八章　多變數函數 P.8-10

a. 求 x 方向的斜率就是把 y 固定為常數，對 x 微分得到 fx (x, y) ＝ －x 對 x 的偏導數 第八章　多變數函數 P.8-10

b. 求 y 方向的斜率就是把 x 固定為常數，對 y 微分得到 fy (x, y) ＝ －2y 對 y 的偏導數 第八章　多變數函數 P.8-10

範例 3　求 x 與 y 方向的斜率 （解） 第八章　多變數函數 P.8-11 圖8.6

如何利用偏導數求兩變數函數圖形上的相對極值？ 探索 如何利用偏導數求兩變數函數圖形上的相對極值？ 第八章　多變數函數 P.8-10

求曲面 f(x, y) ＝ 4x2 ＋ 9y2 ＋ 36在點 (1, －1, 49) 朝 x 方向和 y方向的斜率。 檢查站 3 求曲面 f(x, y) ＝ 4x2 ＋ 9y2 ＋ 36在點 (1, －1, 49) 朝 x 方向和 y方向的斜率。 第八章　多變數函數 P.8-10

探索 求範例 3 函數在 (0, 0) 的偏導數 fx 及 fy。在點 (0, 0) f於 x 方向和 y 方向的斜率為何？描述此函數 f 在這點附近的形狀。 第八章　多變數函數 P.8-10

偏導數的幾何意義 在同一個市場或是相關市場的消費產品可被歸類為互補品(complementary products) 和替代品 (substitute products)。如果兩個商品有互補關係，其中一個銷量增加，會帶動另一個產品銷量增加，比方說，DVD 播放機和 DVD 影碟就有互補關係。 第八章　多變數函數 P.8-11

偏導數的幾何意義 如果兩商品有替代關係，其中一商品銷量增加時，另一商品的銷量會減少，例如錄影機和 DVD 播放機在同一個家庭娛樂市場競爭，可預期其中一個價格下降會抑制另一個商品的銷量。 第八章　多變數函數 P.8-11

兩個商品的需求函數為 x1＝ f (p1, p2) 和 x2＝ g (p1, p2) 範例 4　檢查需求函數 兩個商品的需求函數為 x1＝ f (p1, p2) 和 x2＝ g (p1, p2) 其中 p1 和 p2 分別是這兩種商品的單位價格，x1 和 x2 代表這兩種商品的銷售量。下面圖形代表 x1 的兩個不同的需求函數，可用這些圖形來區分此兩種商品為互補品或是替代品。 第八章　多變數函數 P.8-11

範例 4　檢查需求函數（解） a. 圖 8.7(a) 代表第一個商品的需求，從函數圖形可看出當 p1 固定時，p2 增加同時引起第一個商品的需求增加，不要忘記當 p2 增加時會減低第二個商品的需求量。因此，∂f/∂p2＞0 時代表該兩個商品互為替代關係。 b. 圖 8.7(b) 代表第一個商品的另一種不同需求，從函數圖形可看出當 p1 固定時，p2 增加同時會引起第一個商品的需求減少，不要忘記當 p2 增加時會減低第二個商品的需求量。因此，∂f/∂p2＜0時代表該兩個商品有互補關係。 第八章　多變數函數 P.8-11

範例 4　檢查需求函數（解） 第八章　多變數函數 P.8-11 圖8.7

判斷下列需求函數，所描述的是替代或是互補關係。 x1 = 100 － 2p1 + 1.5p2 檢查站 4 判斷下列需求函數，所描述的是替代或是互補關係。 x1 = 100 － 2p1 + 1.5p2 第八章　多變數函數 P.8-11

三變數函數 偏導數的觀念自然可延伸到三個或更多變數的函數，例如，函數 w ＝ f (x, y, z) 有三個偏導數，每個都是固定 f 裡面的兩個變數而得的，換句話說，把 y 與 z 當成常數，w 對 x 的偏導數就可定義為 第八章　多變數函數 P.8-12

三變數函數 把 x 與 z 當成常數，w 對 y 的偏導數可定義為 把 x 與 y 當成常數，w 對 z 的偏導數可定義為 第八章　多變數函數 P.8-12

範例 5　求偏導數 求函數 w ＝ xe xy＋2z 的三個偏導數。 第八章　多變數函數 P.8-12

範例 5　求偏導數（解） 把 y 與 z 當成常數，可得 第八章　多變數函數 P.8-12

範例 5　求偏導數（解） 把 x 與 z 當成常數，可得 把 x 與 y 當成常數，可得 第八章　多變數函數 P.8-12

注意在範例 5 中，只有在求對 x 的偏導數時才用乘積律，看得出原因嗎？ 學習提示 注意在範例 5 中，只有在求對 x 的偏導數時才用乘積律，看得出原因嗎？ 第八章　多變數函數 P.8-12

求函數 w ＝ x2y ln(xz) 的三個偏導數。 檢查站 5 求函數 w ＝ x2y ln(xz) 的三個偏導數。 第八章　多變數函數 P.8-12

高階偏導數 如同一般導數，多變數函數的偏導數也有二、三階或更高階的。高階偏導數的符號表示要依據微分的順序。 第八章　多變數函數 P.8-12

高階偏導數 例如，z ＝ f(x, y)的二階偏導數共有四種。 後面兩種情形是混合型偏導數 (mixed partial derivatives)。 第八章　多變數函數 P.8-12~8-13

高階偏導數 混合偏微分時，這兩種表示法的微分順序表示剛好相反。例如說偏導數 表示先對 x 微分，但下面這種表示法 表示先對 y 微分。記憶的竅門就是不管那種表示法，都是先對最靠近 f 的變數微分。 第八章　多變數函數 P.8-13

求 f( x, y) = 3xy2 － 2y + 5x2y2 的二階偏導數，並計算 fxy (－1, 2) 的值。 範例 6　求二階偏導數 求 f( x, y) = 3xy2 － 2y + 5x2y2 的二階偏導數，並計算 fxy (－1, 2) 的值。 第八章　多變數函數 P.8-13

最後，計算 fxy(x, y) 在點 (－1, 2) 的值為 範例 6　求二階偏導數（解） 先求一階偏導數 然後分別對 x 與 y 微分得到 最後，計算 fxy(x, y) 在點 (－1, 2) 的值為 第八章　多變數函數 P.8-13

在範例 6 中，注意兩個混合型的偏導數是相等。事實上，只要函數有連續的二階偏導數時，偏導數的順序就沒有影響。 學習提示 在範例 6 中，注意兩個混合型的偏導數是相等。事實上，只要函數有連續的二階偏導數時，偏導數的順序就沒有影響。 第八章　多變數函數 P.8-13

求 f(x, y)＝4x2y2＋2x＋4y2 的二階偏導數。 檢查站 6 求 f(x, y)＝4x2y2＋2x＋4y2 的二階偏導數。 第八章　多變數函數 P.8-13

高階偏導數 兩變數函數有兩個一階偏導數和四個二階偏導數。三變數函數則有三個一階偏導數 fx, fy 和 fz 以及九個二階偏導數 fxx, fxy, fxz, fyx, fyy, fyz, fzx, fzy, 和 fzz 其中有六個是混合型的。求三階或更高階的偏導數時，可依循與求二階偏導數相同的規則。比方說，如果 z ＝ f(x, y)，則 第八章　多變數函數 P.8-13~8-14

求 f(x, y, z) ＝ yex ＋ x ln z 的二階偏導數。 範例 7　求二階偏導數 求 f(x, y, z) ＝ yex ＋ x ln z 的二階偏導數。 第八章　多變數函數 P.8-14

然後分別再對 x、y 和 z 去求出九個二階偏導數。 範例 7　求二階偏導數（解） 先求出一階偏導數 然後分別再對 x、y 和 z 去求出九個二階偏導數。 第八章　多變數函數 P.8-14

求 f (x, y, z) ＝ xey ＋ 2xz ＋ y2的二階偏導數。 檢查站 7 求 f (x, y, z) ＝ xey ＋ 2xz ＋ y2的二階偏導數。 第八章　多變數函數 P.8-14