例4. 兔子的繁殖 由一对兔子开始，一年可以繁殖成多少对兔子？ 假设兔子的生殖力是这样的：一对兔子每一个月可以生一对兔子， 并且兔子在出生两个月以后就具有繁殖后代的能力。 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 a(n+1) = a(n) + a(n-1) 斐波那契数列(黄金数)

假设： 1. 每对兔子每一个月定生一对兔子。 2. 兔子出生两个月后都具有繁殖能力。 3. 兔子每经过一个月底就增加一个月令。 平衡关系 本月初(一月令)的幼兔是上月成兔繁殖的后代。 本月的成兔是上月的成兔和上个月(一月令)的幼兔发育结果的总和。

月份：n，幼兔：a0(n)，成兔: a1(n) 变量、参量 月份：n，幼兔：a0(n)，成兔: a1(n) 模型 a0(n) = a1(n-1) a1(n) = a0(n-1) + a1(n-1) 令 a(n) = (a0(n), a1(n))’, 则 a(n) = A a(n-1) 其中

分析 1. 模拟. a0(1)=1, a1(1)=0 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a0(n) 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 a1(n) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 a(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 2. 证明 a(n+1) = a(n) + a(n-1) a0(n+1)=a1(n) a1(n+1)=a(n)

a(n)=Ana(0)=RλnL’a(0)+o(λn) 3. 模型的作用机理 a11幼兔的繁殖能力， a12成兔的繁殖能力， a21幼兔的发育为成兔的比例， a22成兔存活的比例。 4. 群体的渐近性质 A 有主特征值 λ=1.618 和右、左特征向量 R= L=(0.382 0.618)’,. a(n)=Ana(0)=RλnL’a(0)+o(λn)

发展 一对兔子每月可生一对幼兔， 幼兔出生二个月后就具有繁殖能力， 三个月后就离开群体。 问一对幼兔一年后繁殖的群体多大？ 假设： 参量、变量 月份: n, 幼兔: a0(n), 成兔: a1(n), 老兔: a2(n)

平衡关系 本月初的幼兔是上月成兔老兔繁殖的后代。 本月初的成兔是上月幼兔发育的结果 本月初的老兔是上月成兔发育的结果

模型 a0(n+1)=a1(n)+a2(n) a1(n+1)=a0(n) a2(n+1)=a1(n) 令 a(n) = (a0(n), a1(n), a2(n))’, 则 a(n) = A a(n-1) 其中

分析 1. 模拟. a0(1)=1, a1(1)=0, a2(1)=0 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a0(n) 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 a1(n) 0 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 a2(n) 0 0 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 a(n) 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 2. 证明 a(n+1) = a(n-1) + a(n-2) a(n+1) = a(n) + a(n-4) Padovan 数列(塑料数)

例5. 录音机的运行 建模分析磁带录音机的运行规律(计数器的读数与运行时间的关系)。 数据：I. 读数与时间 t 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 31 - n 9 18 28 37 47 97 151 211 280 362 382 385 数据：II. 读数与转数 　k 2 4 10 14 18 22 26 31 35 41 60 ｎ 1 2 5 7 9 11 13 15 17 20 29　　

背景 1. 磁带盒内有二个磁带轮：送带轮和收带轮。放音时送带轮上的磁带减少，缠于收带轮上。 2. 计数器只记录某个磁带轮转动的转动情况。 计数器的读数不刚好是磁带轮的转数。 3. 磁带轮在放音时转动不是匀速的，送带轮加速，收带轮减速。

假设 1. 计数器记录了送带轮的转数。 2. 计数器的读数与送带轮的转数成正比。 3. 磁带运行的线速度定常。 4. 磁带厚度均匀，缠绕松紧一致，无空隙。 5. 磁带缠绕一圈的周长等于缠绕的圆周长。

参量、变量 计数器读数：n，带轮转数：k, 运行时间：t(k)， 磁带厚度：d，带芯轮半径：r，磁带速度：v, 磁带最多圈数：N 第 k 圈磁带的半径：Rk，第圈磁带长度：Lk

平衡关系 运行k圈磁带的时间等于磁带的长度与运行速度之商。 模型：t=0时n=0，送带轮缠满磁带并开始转动。 由假设1，送带轮计数从外圈数起。 由假设5，Lk=2πRk 由假设4，Rk=r+(N-k+1)d

平衡原理与机理模型

由假设2, k = c n．则有 得模型　t(n) = a n + b n2, 其中

参数 a, b, c 的估计 1. 最小二乘法估计 a, b 正规方程组

平衡原理与机理模型 方程 290942 a + 83322472 b=25827 83322472 a + 2.59171·1010 b=7237447 有解 a = 0.11095，b = -7.7445·10-5 模型 t(n) = 0.11095 n – 7.4475· 10-5 n2 检验 n 9 18 28 37 47 97 151 211 280 t 1 2 3 4 5 10 15 20 25 t .99 1.97 3.05 4.00 5.04 10.03 14.99 19.96 24.99

分析 根据假设2：k = c n, 利用数据II可以给出参数 c 的最小二乘估计。 可得 c = 2.04。又可测得 r = 1.1 cm，N=385×2.04 由 可以求出d = 0.001628cm，v = 2.75m/min，L=85.25m。

问题一. 证明PADOVAN数列的递推公式。 问题二. 根据录音机运行的数学模型及观测数据 I 给出模型参数最小二乘估计的正规方程组。 问题三. 在数据 I、II 的基础上，使用MATLAB 给出录音机运行模型的数值分析。