單一分配 Uniform distribution 若 在 發生的機率皆相同
常態分配 Normal distribution
標準常態分配 Standard normal distribution 把常態分配標準化
中央極限定理 Central limit theorem (CLT) 如果觀察值數目N增加,則N個獨立且認定分配(independent and identically distributed, I.I.D.)的變數之平均數向常態分配收斂
常態分配重要特性 如果變數間 (1)為獨立分配;或 (2)多變數常態分配 則聯合常態分配變數的線性組合亦為一常態分配
例題 (1999 FRM Exam Q.12) 對一標準常態分配,累加分配函數介乎 -1 與 1之間下的面積大概為: A. 50% B. 68% C. 75% D. 95%
例題 (1999 FRM Exam Q.11) 若 X 與 Y為標準常態分配,其共變異數 Cov(X,Y)=0.4, 則(5X+2Y)之變異數為: A. 11.0 B. 29.0 C. 29.8 D. 37.0
隨機變數的線性轉換 若 則
隨機變數的和 若 則
例題 (1999 FRM Exam Q.13) 常態分配之峰度係數 A. 0 B. 無法決定,因為必需先知道該分配 的變異數為何 C. 2 D. 3
例題 (1999 FRM Exam Q.16) 如果一分配,其變異數與常態分配相同,但峰度係數大過3,則下列何者為對? A.其雙尾較常態分配為厚 B.其雙尾較常態分配為薄 C. 因其變異數與常態分配相同,故其雙尾與 常態分配相同 D. 條件不夠,無法決定
常態分配的缺點 儘管常態分配有許多優點,但其在雙邊有無限長,不符現實,因金融資產皆為有限責任,報酬率絕不会小過負一
對數常態分配 Lognormal distribution 若一隨機變數 X,其對數 Y = ln(X)為常態分配 ,則X為對數常態分配。最常見為連續複利報酬率。
例子:前述之債劵定價,100元面值Zero的價格為 隱含 故如 利率 (r) 為常態分配,則價格(V)為對數常態分配
例題 (2001 FRM Exam Q.72) 對數常態分配為 A. 正偏態 B. 負偏態 C. 不偏態,偏態係數 = 2 D. 不偏態,偏態係數 = 0
例題 (1999 FRM Exam 5) 下列何者最適合描述常態分配與對數常態分配之關係: A. 常態分配之對數為對數常態分配; B. 若 X 之自然對數為對數常態分配,則 X為常態分配; C. 若 X為對數常態分配,則X 之自然對 數為常態分配; D.兩種分配相互間,無任何關係
例題 (1998 FRM Exam Q.10) 若 X 為對數常態分配,而 ln(X)為平均數 = 0 及標準差=0.2之常態分配,則 X 之預期值為: A. 0.98 B. 1.00 C. 1.02 D. 1.20
例題 (1998 FRM Exam Q.16) 下列何者正確: I. 兩隨機常態變數之和,亦為隨機常態變數 II.兩隨機常態變數之乘積,亦為隨機常態變數 III.兩隨機對數常態變數之和,亦為隨機對數常 態變數 IV.兩隨機對數常態變數之乘積,亦為隨機對數常態變數 A. 只有I和II B.只有II和III C. 只有III和IV D.只有I和IV
例題 (2000 FRM Exam Q.128) 若 X 為對數常態分配,而 ln(X)為平均數 = 0 及標準差=0.5之常態分配,則 X 之預期值及變異數為: A. 1.025 及 0.187 C. 1.126 及 0.217 C. 1.133 及 0.365 D. 1.203 及 0.399