函数的性质之奇偶性与周期性 基础知识 自主学习 热点命题 深度剖析 思想方法 感悟提升

J　基础知识 自主学习

1．函数的奇偶性 (1)奇函数： 一般地，图像关于________对称的函数叫作奇函数。在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)的绝对值相等，符号______，即_________________；反之，满足_________________的函数y＝f(x)一定是奇函数。 (2)偶函数： 一般地，图像关于_______对称的函数叫作偶函数。在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值________，即____________；反之，满足____________的函数y＝f(x)一定是偶函数。 原点 相反 f(－x)＝－f(x) f(－x)＝－f(x) y轴 相等 f(－x)＝f(x) f(－x)＝f(x)

2．周期性 (1)周期函数： 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有____________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。 (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______________，那么这个___________就叫做函数f(x)的最小正周期。 f(x＋T)＝f(x) 最小的正数 最小正数

2a 2a 2a

[判一判] (1)函数y＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数。(　　) 解析　错误。定义域不关于坐标原点对称。 (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0。(　　) 解析　错误。定义域内有x＝0时，f(0)＝0。 (3)函数f(x)＝sin x，x∈[0,2π]为周期函数。(　　) 解析　错误。函数f(x)＝sin x在R上为周期函数。 × × ×

(4)偶函数的图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点。(　　) (5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)也是偶函数。(　　) 解析　正确。 (6)若T为函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是函数f(x)的周期。(　　) × √ √

解析　令y＝f(x)，选项A，定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数；选项B，f(－x)＝|sin(－x)|＝|sin x|＝f(x)，为偶函数；选项C，f(－x)＝cos(－x)＝cos x＝f(x)，为偶函数；选项D，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，为奇函数。 答案　D

3．(2016·石家庄市高三年级调研检测试卷)已知偶函数y＝f(x)满足f(x＋5)＝f(x－5)，且0≤x≤5时，f(x)＝x2－4x，则f(2 016)＝(　　) A．－1　　　 B．0 C．1　　　 D．12 解析　∵f(x＋5)＝f(x－5)， ∴f(x)的周期为10， ∴f(2 016)＝f(6)＝f(－4)， 又∵f(x)为偶函数， ∴f(－4)＝f(4)＝42－4×4＝0. 答案　B

4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是_____________________。 解析　画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)>0的x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)。 (－1,0)∪(1，＋∞)

5．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋1。若f(a)＝3，则实数a的值为___________。 解析　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋1，所以当x<0时，f(x)＝2－x＋1。若a≥0，f(a)＝2a＋1＝3，解得a＝1；若a<0，f(a)＝2－a＋1＝3，解得a＝－1，故实数a的值为1或－1。 1或－1

R　热点命题 深度剖析

考点一 函数奇偶性的判断 【例1】　(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 【解析】　f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C。 【答案】　C

【解】　显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称。 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)。 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数。

【规律方法】　判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断。 (2)分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数。分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性。

考点二 函数奇偶性的应用 【例2】　(1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 【解析】　由f(x)与g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，知f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)。 又由f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1， 令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1， 即f(1)＋g(1)＝1。故选C。 【答案】　C

【解析】　根据奇函数、偶函数图像的对称性分别作出f(x)与g(x)的图像如图所示， 由图像知公共点在第二象限。 【答案】　B

(4)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则f(x)的解析式为___________________________。

【规律方法】　与函数奇偶性有关的问题及解决方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值。 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解。 (2)已知函数的奇偶性求解析式。 将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式。 (3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值。 常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或由方程求解。 (4)应用奇偶性画图像和判断单调性。 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性。

变式训练2　(1)(2016·九江模拟)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1

(2)设f(x)为定义在R上的奇函数。当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析　因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1。所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1。 所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3。 答案　A

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考点三 函数的周期性及其应用 【例3】　已知函数y＝f(x)对任意的实数x满足：f(x＋3)＝f(x－3)，且当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x。 (1)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)； 【解】　∵对任意x∈R，都有f(x＋3)＝f(x－3)， ∴f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝f(x＋3－3)＝f(x)。 ∴f(x)是以6为周期的周期函数， ∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2， 当－1≤x<3时，f(x)＝x， ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1， f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0。

【规律方法】　(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质。对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值。 (2)求函数周期的方法：

变式训练3　设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)。当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2。 ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)。 ∴f(x)是周期为4的周期函数。

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式。 解　∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0,2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2 ＝－x2＋6x－8。 又∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]。

考点四 函数性质的综合应用 高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题，且主要有以下几个命题角度： 角度一：函数的单调性与奇偶性相结合问题 1．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，则满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围是________。 [－1,1)

2．(2015·东北三省四市二模)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是_____________________。 (－∞，1]∪[3，＋∞) 解析　利用偶函数的性质求解。由题意可得不等式f(x－2)≥0即为f(|x－2|)≥f(1)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则|x－2|≥1，解得x≤1，或x≥3，故解集为(－∞，1]∪[3，＋∞)。

2.5

角度三：函数的奇偶性与对称性相结合问题 5．偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________。 解析　因为f(x)的图像关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)。又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3。 3

6．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为______________。 (－1,0)∪(1,3)

角度四：函数的奇偶性、周期性、单调性相结合问题 7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　) A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25) C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)

解析　∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－8)＝f(x)。∴函数f(x)是以8为周期为周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)。 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)。 ∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数， ∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数。 ∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)。 答案　D

①②④

【规律方法】　函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性的综合。注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性。 (2)周期性与奇偶性的综合。此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。 (3)单调性、奇偶性与周期性的综合。解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解。

S　思想方法 感悟提升

⊙1条规律——奇、偶函数定义域的特点 奇、偶函数的定义域关于原点对称。 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。 ⊙2个性质——奇、偶函数的两个性质 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0。 (2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。

⊙3条结论——与周期性和对称性有关的三条结论 (1)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称。 (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a<b)，则y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数。 (3)若对于定义域内的任意x都有f(x＋a)＝－f(x＋b)(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|。 （4）若函数f(x)是奇函数，且x=a是它的一条对称轴，则它的周期是4a （5）若函数f(x)是偶函数，且x=a是它的一条对称轴，则它的周期是2a