Numbers of Nature ─Fibonacci Numbers 大自然的數──斐波那契數 Numbers of Nature ─Fibonacci Numbers 取自財團法人台北市九章數學教育基金會

斐波那契數 十三世紀意大利數學家斐波那契 (Fibonacci, 1170-1250) 在1202年寫了一本書《算盤書(Liber Abaci)》。在書裡，他提出一個有趣的問題： 假定一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子(雌雄各一隻)，其後每隔一個月又可再生一對小兔子。現有一對大兔子和牠們剛生下來的一對小兔子，如果兔子都不死亡，請問一年後有多少對兔子？

斐波那契數與兔子

斐波那契數與兔子

斐波那契數 每個月底的兔子對數是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…；每一項都是前兩項之和。 這個數列被稱為斐波那契數列。斐波那契數列在自然界及生活中處處可見。

斐波那契﹐ L. (Fibonacci﹐Leonardo) 約 1175 年生於意大利比薩； 1250 年卒於比薩。

Fibonacci Sequence

黃金螺線

斐波那契數與葉片

斐波那契數與葉片

斐波那契數與葉片

斐波那契數與花瓣 百合

斐波那契數與花瓣 雛菊

斐波那契數與花瓣 紫雛菊

斐波那契數與鳳梨的鱗片

16 = 50 - 34, 37 = 50 - 13, 58 = 50 + 8,  71 = 50 + 21, 84 = 50 + 34,  63 = 50 + 13,  42 = 50 - 8, 29 = 50 - 21. 斐波那契數與松果

斐波那契數與松果

斐波那契數與松果

斐波那契數與花椰菜

斐波那契數與向日葵

斐波那契數與枝椏

問題──爬樓梯 上樓梯時，若允許每次跨一階或兩階，那麼對於樓梯階數為1、2、3、4、…時，上樓的方式數恰好也是斐波那數列： 1，2，3，5，8 ……

樓梯只有一階時， 有1種走法 １ 樓梯有兩階時， 有2種走法： ２ １ 1.經過第1階 ２ 2.不經過第1階 １

樓梯有三階時， 有2種走法： ３ 1.不經過第2階 ２ １ 一種走法 ３ ２ 2.經過第2階 １ ３ 兩種走法 ２ １ 共三種走法

S(n) =F(n-1)+ F(n) = F(n+1) 。 ｎ ｎ ｎ－１ ｎ－１ ｎ－２ ｎ－２ 爬到第n階的路線有兩類 一是從第n-1階跨1階上來 一是從第n-2階直接跨2階上來。 ｎ ｎ－１ ｎ－２ 設爬到第n-2階的路線數是F(n-1)條，爬到第n-1階的路線有F(n)條 ，這樣爬到第n階的路線有S(n)條， S(n) =F(n-1)+ F(n) = F(n+1) 。

問題──擲幣 連續抛一枚硬幣，直到連出兩次正面為止，現考察事件發生在第n次拋擲的情形 １種情形 ｎ＝２ １種情形 ｎ＝３ ２種情形 ｎ＝４

３種情形 ｎ＝５ ５種情形 ｎ＝６

對於n=7時，只須在n=6時的序列每個的前面加上反面〈共5個〉，此外還可以在每個反面開頭的序列前面加上正面〈共3個〉，這樣一共有5+3=8個。 在已知n的所有情形前面再加上反面〈共F(n-1)〉，以及以反面開頭的情況中加上正面〈共F(n-2)〉即可得到n+1共有S(n)種情形， S(n+1) =F(n-1) +F(n-2) ＝ F(n)

問題──砌磚 一般的磚其長度為二單位寬為一單位。欲用這樣的磚砌一道二單位高的牆。〈在此不考慮磚的厚度〉，當這道牆的長度為 n 單位時，請問有多少種不同型式的砌法？

ｎ＝１ 1種排法 ｎ＝２ 2種排法 ｎ＝３ 3種排法

S(n)＝F(n)+F(n-1)=F(n+1) 要找出所有 n 單位的S(n)種情況，只需將 n-1 的情況在後面加上一塊直立的磚塊〈共 F(n)〉以及將n-2的情況在後面加上兩塊橫擺疊在一起的磚塊〈共 F(n-1)〉即可。 S(n)＝F(n)+F(n-1)=F(n+1) 為什麼這方法可以包含所有情況？

問題──蓋別墅 在一條鄉間道路的一側蓋別墅，這些別墅只有獨棟式與雙併式二種型： 若此條路上共有n幢別墅，請問這些別墅共有多少種不同排列的方式？

僅有一幢： 1種情況 有兩幢時： 2種情況

有三幢時： 3種情況

與砌磚問題想法類似，將獨棟式看成一塊直立的磚塊，雙併式看成兩塊橫擺疊在一起的磚塊，即可推算出所有的排列情況。

斐波那契數的一些探索問題 埃及人的乘法 埃及人只用將數加倍及相加的方式作乘法。例19×65 減半 加倍 奇項 19 65 + 9 130 + 減半 加倍 奇項 19 65 + 9 130 +  4           260 2            520 1 1040 + 65+130+1040=1235

斐波那契數的一些探索問題 斐波那契乘法 與埃及人的乘法相似，只用加法即可作乘法。例19×65 1 65 + 1 65 130(65+65) 1 65 + 1 65 130(65+65)     195(65+130) 325(130+195) + 8 520(195+325) 13 845(325+520) + 19=13+5+1 所以19×65=845+325+65=1235

斐波那契數的一些探索問題 拈遊戲 拈遊戲，是我國流傳很早的一種遊戲，不過當時是用“筷子”來玩的，所以又“筷子遊戲”。十九世紀曾傳入歐洲，外國人稱之為“拈”(Nim)。 火柴遊戲玩法很多，比如有兩堆火柴〈根數一樣〉，兩人輪流在每堆中取若干根〈但不能不取〉，規定取最後一根者為勝。用數學歸納法可以證明：後取者可操勝券。 如果火柴堆數不限，且每堆火柴數多少隨意，玩法同上。試問如何可取勝？這就需要藉助於“二進制”來幫忙了。下面我們介紹一下“斐波那契拈”遊戲。

斐波那契數的一些探索問題 拈遊戲 有一堆火柴，兩人輪流從取。先取的一方可任意取，但不可以第一次就全取完，後取的一方所取火柴的根數不得超過對方剛才所取火柴數的二倍，規定取到最後一根者為勝。 如何可得到致勝的秘訣？

斐波那契數的一些探索問題 拈遊戲 可以證明： 若遊戲開始時的火柴數恰為斐波那契數列中的某個數時，若後走者明白走法的“竅門”，則他必勝；若遊戲開始時的火柴數不是斐波那契數列中的數時，則先走者可贏〈若他也懂走法的“竅門”〉。

數學教育工作者的使命 數學教師不僅要傳授事實與理論，還要講出數學魅力和挑戰的樂趣。他應該引導學生們觀看數學之美，給他們嚐到支配著數學家的興趣的那種滋味，啟發學生的想像力，並使他們願意從事和渴望從事長期的艱苦工作，以挑戰人們未知的結果