机械力学与设计基础 李铁成 主编

第二章 机械运动学及动力学基础 第一节　点 的 运 动 第二节　构件的运动 第三节　运动的合成 第四节　动力学方程 第五节　动 能 定 理

第一节 点 的 运 动 一、用自然坐标法确定点的运动 第一节　点 的 运 动 一、用自然坐标法确定点的运动 2M1.tif (1)点的运动方程　设动点M的轨迹已知，则可在轨迹上任选一点O为坐标原点，选定两侧分别为正、负方向，量取它到动点M的弧长(图2-1)，

第一节　点 的 运 动 动点M在轨迹上的位置可用带有适当正负的弧长s来确定，s称为点M的弧坐标，因此，自然法又称为弧坐标法。 (2)点的速度　点在运动时，不仅点的位置随时间发生变化，而且点运动的快慢与方向也往往在不断变化。 (3)点的加速度　点沿平面曲线运动的速度不仅大小随时间变化，而且方向也在变化，加速度就是度量速度变化的物理量。

第一节　点 的 运 动 图2-2　点的速度分析 1)aτ=Δ/Δt 2)an=Δ/Δt (4)点运动的特殊情况 1)匀速直线运动：当点作匀速直线运动时，由于v为常量，ρ →∞，故aτ=0，an=0。

第一节　点 的 运 动 2M3.tif 2)匀速曲线运动：当点作匀速曲线运动时，由于v为常量，故aτ＝0，a＝an＝。

第一节　点 的 运 动 3)匀变速曲线运动：当点作匀变速曲线运动时，aτ=dv/dt为常量，an=。 二、用直角坐标法确定点的运动

第一节　点 的 运 动 2M4.tif

第一节　点 的 运 动 2M5.tif

第一节　点 的 运 动 2M6.tif 例2-1图2-7a所示机构中的小套环B将半径为R的固定圆环和摇杆OA套在一起，摇杆OA与水平线的夹角φ=ωt(ω为常量)，

第一节　点 的 运 动 当运动开始时，摇杆在水平位置，求小套环B的运动方程、速度与加速度。 解　1)自然坐标法。以套环B为研究对象，已知其轨迹是半径为R的圆，故采用自然坐标法求解。取圆环上的Bo点为弧坐标原点，并规定沿轨迹的逆时针方向为弧坐标的正方向，建立弧坐标轴(图2-7b)。由图中的几何关系建立小套环的运动方程为

第一节　点 的 运 动 图2-7　例2-1图 2)直角坐标法。

第一节　点 的 运 动 2M8.tif 例2-2列车沿图2-8所示的曲线轨道作匀加速运动。在Ml点的速度v1＝18km/h，曲率半径ρ1＝600m；行驶1km后至M2点，速度v2=54km/h,曲率半径ρ2＝800m。

第一节　点 的 运 动 求由M1至M2点所需的时间和在Ml、M2点的全加速度。 解　火车沿曲线轨道作匀变速运动，aτ为常量，故可用式(2-10)、式(2-11)和式(2-12)求解。已知v1＝18km/h＝5m／s，v2＝54km/h＝15m／s，s＝1000m。由式(1-12)得

第二节　构件的运动 一、刚体的平行移动

第二节　构件的运动 图2-10　行驶的汽车 二、刚体的定轴转动 (1)转动方程　如图2-14所示，刚体绕固定轴Oz转动，过Oz轴作一固定平面I作为参考平面，再过Oz轴作平面Ⅱ固结在刚体上。

第二节　构件的运动 2M11.tif

第二节　构件的运动 2M12.tif

第二节　构件的运动 图2-13　传动轴

第二节　构件的运动 2M14.tif

第二节　构件的运动 (2)角速度　为描述刚体转动的快慢和转动方向，引入角速度的概念。 (3)角加速度　为了描述角速度变化的快慢，引入角加速度。 (4)匀速转动和匀变速转动　刚体转动时，若其角速度为常量，则称为匀速转动。 例2-3机器起动时，飞轮作匀加速转动，经过10s后，转速从零增至180r／min。求飞轮的角加速度及其在10s内转过的圈数。 解　飞轮的初角速度ω0=0，经过10s后，其角速度为

第二节　构件的运动 (5)定轴转动刚体上各点的速度　在工程实际中，不仅要求知道定轴转动刚体的角速度、角加速度，而且还常常需要知道刚体上某些点的速度。

第二节　构件的运动 2M15.tif

第二节　构件的运动 2M16.tif (6)定轴转动刚体上各点的加速度 1)切向加速度at,表示速度大小随时间的变化，其值为

第二节　构件的运动 2)法向加速度an，表示速度方向随时间的变化，其值为 三、刚体的平面运动

第三节　运动的合成 2M17.tif 一、点的绝对运动、相对运动和牵连运动

第三节　运动的合成 2M18.tif

第三节　运动的合成 2M19.tif 二、速度合成定理

第三节　运动的合成 2M20.tif

第三节 运动的合成 例2-4如图2-20所示，汽车以速度v1 沿直线行驶，雨点M以速度v2 铅垂下落，求雨点相对于汽车的速度。 第三节　运动的合成 2M21.tif 例2-4如图2-20所示，汽车以速度v1 沿直线行驶，雨点M以速度v2 铅垂下落，求雨点相对于汽车的速度。

第三节　运动的合成 解　1)动点和参考系的选取。取雨点为动点，静系xOy固连于地面上，动系x′O′y′固连于汽车上。 2)三种运动分析： 3)由上述分析可知，共有相对速度vr 的大小、方向两个未知量，可以应用速度合成定理，作出速度平行四边形如图所示。 例2-5如图2-21所示为一凸轮机构。顶杆端点A利用弹簧压紧在凸轮表面上。当凸轮转动时，顶杆沿铅垂滑道上下运动。已知凸轮的角速度为ω，在图示瞬时凸轮轮廓曲线在A点的法线An与AO的夹角为θ，且OA＝r。求此时顶杆的速度。 解　杆AB沿铅垂直线作平动，故只需求杆端A点的速度。 1)动点和参考系的选取以AB杆的端点A为动点，静坐标系xOy固连于机架上，动坐标系x′O′y′固连于凸轮上。

第三节　运动的合成 2)三种运动分析：绝对速度va 的方向沿铅垂线，大小未知。 3)通过上述分析可知，共有va、vr的大小两个未知量。 例2-6如图2-22所示为一曲柄摆杆机构。当曲柄OA以匀角速度ω＝2rad／s绕O轴定轴转动时，滑块A可在摆杆O1B上滑动，并带动摆杆O1B绕O1轴摆动，OA＝r＝30cm，OO1＝40cm。求OA在水平位置时，摆杆O1B的角速度ω1。

第三节 运动的合成 解 摆杆绕O1轴作定轴绕动，只要求出摆杆上任一点的速度，再除以该点到O1轴的距离，即可得到摆杆的角速度ω1。 第三节　运动的合成 2M22.tif 解　摆杆绕O1轴作定轴绕动，只要求出摆杆上任一点的速度，再除以该点到O1轴的距离，即可得到摆杆的角速度ω1。

第三节　运动的合成 曲柄OA的转速已知，其上A端的滑块与摆杆相连，故可通过分析滑块A的速度，来求摆杆的角速度。 1)动点和参考系的选取。 2)三种运动分析： 3)由以上分析可知，共有vr、ve(大小)两个未知量，可以应用速度合成定理求解。 (1)选取动点、动参考系和静参考系　动点、动系和定系(静系)必须分别选在三个物体上，且动点和动系不能选在同一个运动的物体上；否则，不能构成复合运动。

第三节　运动的合成 (2)分析三种运动和三种速度 相对运动和绝对运动都是点的运动，要分析点的运动轨迹是直线还是圆周或是某种曲线。 (3)根据点的速度合成定理求解未知量 按各速度的已知条件，作出速度平行四边形。

第四节　动力学方程 一、平动构件的动力学方程 二、构件绕定轴转动的微分方程及转动惯量 1.构件绕定轴转动的微分方程

第四节　动力学方程 2M23.tif 2.转动惯量

第四节　动力学方程 2M24.tif (1)回转半径 (2)形状简单匀质构件转动惯量的计算

第四节　动力学方程 例2-7如图2-25所示一匀质细直杆，长度为l，质量为m。试求该杆对于对称轴z的转动惯量及回转半径。

第四节 动力学方程 解 将细直杆分为许多微段dx，任一微段的质量dm=m/ldx，至z轴的距离为x，所以微段对z轴转动惯量为 第四节　动力学方程 2M25.tif 解　将细直杆分为许多微段dx，任一微段的质量dm=m/ldx，至z轴的距离为x，所以微段对z轴转动惯量为

第四节　动力学方程

表2-1 简单形状匀质构件的转动惯量和回转半径 第四节　动力学方程 表2-1　简单形状匀质构件的转动惯量和回转半径

表2-1 简单形状匀质构件的转动惯量和回转半径 第四节　动力学方程 表2-1　简单形状匀质构件的转动惯量和回转半径

第四节　动力学方程 (3)平行轴定理　工程中转动构件的转轴有时并不通过构件的质心，如旋转凸轮等。 (4)组合匀质构件的转动惯量　由转动惯量的定义Jz=Σmii可得出结论，对于复杂形状的匀质构件，如能看作是简单形状刚体的组合，则可用组合法计算其转动惯量，即组合构件对某轴的转动惯量，等于所有各组成部分对该轴的转动惯量的总和。 例2-8钟摆简图如图2-26所示。已知匀质细直杆和匀质圆盘的质量分别为m1和m2。杆长为l，圆盘直径为d。求摆对于通过悬挂点O并垂直于摆平面的轴的转动惯量。

第四节　动力学方程 2M26.tif 解　钟摆可看成匀质细直杆和匀质圆盘两部分组成。

第五节　动 能 定 理 2M27.tif 一、功和功率 (1)功的概念　功是度量力的作用的一个物理量。

第五节　动 能 定 理 2M28.tif

第五节　动 能 定 理 2M29.tif 1)重力的功。 2)弹性力的功。

第五节　动 能 定 理 2M30.tif

第五节　动 能 定 理 2M31.tif

第五节　动 能 定 理 3)作用于转动构件的力及力偶的功。 (2)功率 1)功率。 2)机械效率。

第五节 动 能 定 理 例2-9原长为l，刚度系数为k的弹簧，与长为l，质量为m的均质杆OA连接，直立于铅直面内，如图2-32所示。 第五节　动 能 定 理 2M32.tif 例2-9原长为l，刚度系数为k的弹簧，与长为l，质量为m的均质杆OA连接，直立于铅直面内，如图2-32所示。

第五节　动 能 定 理 如OA杆受到常力矩M作用，求杆由铅直位置绕 O轴转动到水平位置时，各力所做的功及合力的功。 解　以OA 杆为研究对象，杆在运动过程中只有重力、弹性力和力矩做功。 现分别计算各力的功。 例2-10如图2-33所示为一起重装置，已知吊起重物的重量FG＝100kN，上升速度齿轮减速箱的机械效率，η1＝0.94，滑轮组的机械效率η2＝90，试选择电动机的功率。 解　起重装置的输出功率为吊起重物的功率，输入功率为电动机的输出功率，其效率取决于变速箱和滑轮装置的效率。

第五节　动 能 定 理 2M33.tif 例2-11在车床上车削直径d＝0.2m的零件外圆，如图2-34所示。 车床齿轮的传动效率η＝0.8，主轴的转矩M＝250N·m，

第五节　动 能 定 理 2M34.tif 解　以零件为研究对象，其受力与运动情况如图2-34所示。

第五节　动 能 定 理 图中未表示零件的约束反力，因为它们通过旋转中心，对中心不产生力矩。先求切削力 二、 动能 (1)平动构件的动能　当构件作平动时，在同一瞬时构件内各质点的速度都相等。 (2)绕定轴转动构件的动能　设构件瞬时角速度为ω，其上任一质点到转轴的垂直距离为 ri，则该点的速度值vi=riω。 三、动能定理 1.质点的动能定理

第五节　动 能 定 理

第五节　动 能 定 理 2M36.tif 例2-12如图2-36所示，摆锤重为FG，摆线长为l。已知摆锤位于最低位置时的速度为v0，求摆锤摆到任意位置时的速度v的值。

第五节　动 能 定 理 解　取摆锤为研究对象。 将摆锤由最低位置开始到转角为φ的位置终止作为研究的运动过程。 作用于摆锤上的力有重力FG和摆线的拉力FT(图2-36)，由于拉力FT始终与运动方向垂直，故拉力FT不做功，而重力的功为-mgl(1-cosφ)，按式(2-64)有 解得 例2-13欲测两材料间的滑动摩擦因数。 将一材料做成规定粗糙度的物块，设其质量为m;另一材料做成平面和倾角为α的斜面，如图2-37所示。物块自M1点以初速度为零下滑，运动至水平面上M2处停止，测出两段滑行距离s1与s2即可确定两材料的滑动摩擦因数f。

第五节　动 能 定 理 2M37.tif 解　以物块为研究对象，分别画出它在斜面上和平面上的受力图，如图2-37所示。

第五节　动 能 定 理 由于物块在M1处和M2 处的速度均为零，因而物块在两处的动能均为零，故只要计算出各力在运动过程中所做的功，即可确定摩擦因数。 解得 2.质点系的动能定理

第五节　动 能 定 理 2M38.tif 例2-14如图2-38所示为一在水平面内的匀质偏心轮机构，偏心轮使从动杆件D作往复运动，弹簧E保证从动杆件始终与偏心轮接触，其刚度系数为k。

第五节　动 能 定 理 当从动件在极左位置时，弹簧已有压缩变形δ0=0.2r，设偏心轮质量为m，半径为 r，偏心距e ＝Oc＝r/2，不计从动杆件的质量，要求从动杆件由极左位置至极右位置时，偏心轮的初角速度ω至少应为多少？ 解　从动件位置的变化是由偏心轮的动能提供的。 选偏心轮为研究对象，根据题意设轮在极左位置时其角速度为ω0，在极右位置时角速度为零，偏心轮的动能用来克服弹性力做功，重力及约束反力(理想约束)在运动过程中不做功。 解得

第五节　动 能 定 理 例2-15自动送料机构的小车(图2-39)连同矿石的重量为FG；卷扬机鼓轮的半径为R ，重量为FG1，可视为匀质圆盘; 轨道的倾角为α。若在鼓轮上作用一常力矩M将小车提升，求小车由静止开始上升距离为s时的速度和加速度。 略去摩擦及钢丝绳的质量。

第五节 动 能 定 理 解 取小车和鼓轮构成的系统为研究对象。 钢丝绳被看作是不可伸长的，故系统的内力功之和为零。解得v=2 第五节　动 能 定 理 2M39.tif 解　取小车和鼓轮构成的系统为研究对象。 钢丝绳被看作是不可伸长的，故系统的内力功之和为零。解得v=2