第三章 导数和微分 一、导数的概念 3.1 瞬时速度和切线斜率 第三章 导数和微分 一、导数的概念 3.1 瞬时速度和切线斜率 导数的概念起源于两个著名的问题，一个是求非匀速运动的瞬时速度问题，另一个是求曲线的切线问题。 1 瞬时速度的求法 对于一个运动的物体，位移S是时间t的函数，记 作S＝S(t)，求t＝t0时的瞬时速度可以研究从t＝t0 到t＝t0+△t这一段时间内的平均速度 当△t 越小，v 越接近t0的瞬时速度 v。

例3.1 一辆汽车在开动后的运动规律为s＝3t2，求 ⑴前5秒的平均速度 ⑵第5秒末的瞬时速度 解：⑴Δt＝5－0＝５ Δs＝s(5)－s(0)＝3×52－0＝75 V ＝ ＝75÷5＝15 ⑵研究从t=5到5＋Δt这段时间的平均速度 Δs＝s(5＋Δt)－s(5)＝3(5＋Δt)2－3×52 ＝3Δt(10＋Δt)

2.切线斜率的求法 设曲线方程为 y＝f(x)，在点x＝x0处切线的斜率tgα可以考察经过(x0,y0)和(x0+△x,y0+△y)两点的割线的斜率tgφ。 ∵y1＝f(x0+△x)，∴tgφ 当△x越小时，割线的斜率越接近切线的斜率， 即：

例3.4 求曲线y＝x3在点P(2,8)处的切线方程和法线方程 [预备知识] ⑴已知直线上的点(x0,y0)和直线的斜率k，直线的方程为：y－y0＝k(x－x0) ⑵切线的斜率k1和法线的斜率k2之间的关系是： 解：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(2＋Δx)3－23 ＝12Δx＋6(Δx)2＋(Δx)3 切线方程为：y－8＝12(x－2) 法线方程为：y－8＝ (x－2)

上述两个例子，从不同方面的问题的研究中得出了相同形式的结果，即都是函数的改变量与自变量的改变量之比在自变量的改变量趋于０时的极限。 3.2 平均变化率和导数 设函数y＝f(x)在点x＝x0处及其附近有定义，当自变量x在x0处有增量△x时，则函数y相应地有增量△y＝f(x0＋△x)－f(x0)。 这两个增量的比 叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋△x 之间的平均变化率。

如果当△x→０时，这个比值有极限，我们就称 函数y＝f(x)在x0处可导，并把这个极限叫做函数y＝ f(x)在x0处的导数，记作f’(x0)或y’|x=x0，即 如果当△x→０时，这个比值的极限不存在，则 称函数y＝f(x)在x0处不可导或没有导数。

3.3 导数的几何意义 由切线问题的分析中可知f'(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率，这就是导数的几何意义。 由此可知，如果y＝f(x)在x＝x0处可导，则过(x0,y0)点的切线方程为y-y0＝f'(x0)(x-x0) 若f(x)在x0处连续，但， 则f(x)在点x0处的导数不存在， 切线方程为x＝x0

3.4 导函数 如函数 y＝f(x)在(a,b)内每一点都可导，则在(a,b)内每一点的导数都存在，且与x的值相对应，故 f’(x) 也是x的函数，称为f(x)在(a,b)内的导函数， 或记作y'， 。 [注意] ⑴ f’(x)是函数，但f’(x0)是一个确定的数值，是f’(x) 在 x＝x0时的导函数值 ⑵ 对于闭区间[a,b]，这种说法也成立。

[重要提示] 1.导数的意义 导数是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率。 因此速度是路程对时间的导数，切线斜率是曲线方程对自变量的导数。 ２.求导数的步骤 ⑴求△y，即△y＝f(x＋△x)-f(x) ⑵求△y／△x的比值 ⑶求当△x→0时△y／△x的极限

3.5 几个基本初等函数的导数 ⑴常数函数y＝C的导数 (C)'＝0 ⑵幂函数y＝xn的导数 (xn)'＝nxn-1 [预备知识] 1.组合数的计算方法 2.二项式定理 证明： 设y＝xn，Δy＝(x＋Δx)n－xn 对于幂指数n为任意实数α时也有相同的结论， 即(xα)’＝αxα-1

例3.8 求下列函数的导数 ①y=x ② y=x3 ③ y= ④ y= 解： ① y’=(x)’=1x1-1=1 ② y’=(x3)’=3x3-1=3x2 ③ y’= (x1/2)’= ④ y’=(x1/3)’=

⑶ (sinx)'＝cosx [预备知识] 和差化积公式 sinx＋siny＝ sinx－siny＝ cosx＋cosy＝ cosx－cosy＝ 证明： 设y＝sinx，Δy＝sin(x＋Δx)－sinx ＝

⑷ (cosx)'＝-sinx ⑸ 自然对数函数(lnx)'＝ 证明： 设y＝lnx，Δy＝ln(x＋Δx)－lnx 令 ，当Δx→０时u→∞， ⑹对数函数(logax)'＝

[小结] ⑴常数函数y＝C的导数 (C)'＝0 ⑵幂函数y＝xα的导数 (xα)'＝αxα-1 ⑶三角函数的导数 (sinx)'＝cosx， (cosx)'＝-sinx ⑷对数函数y＝logax的导数(logax)'＝ 特殊地说 (lnx)'＝

3.6 函数的可导性与连续性的关系 [定理2.5] 若函数y＝f(x)在点x0处可导，则它在点x0处一定连续。 [重要提示] 上述命题的逆命题不成立。 即 y＝f(x)在点x0处连续，不 一定可导。 例如 y＝|x| 在x＝0处连续， 但在x＝0处不可导。

二、求导法则 3.7 函数的和、差、积、商的导数 1.和差的导数 [法则１] 两个函数的和或差的导数等于这两个函数的导数的和或差。即：[u(x)±v(x)]'＝u'(x)±v'(x) 设y＝u(x)±v(x)，则△y＝[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)]＝[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x)]＝△u±△v, 由极限的运算法则知 又可简记作：(u±v)’＝u’±v’

例3.9 求下列函数的导数 ① y＝x2＋ ② y＝sin x＋cos x ③ y＝ln x＋ ＋1 解：① y'＝(x2)'＋ '＝2x－ ② y'＝(sin x)'＋(cos x)'＝cos x －sin x ③ y'＝(ln x)'＋ '＋1’ ＝

2.积的导数 [法则2] 两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。 即：[u(x)·v(x)]'＝u'(x)v(x)＋u(x)v'(x) [推论] 常数与函数积的导数等于常数与函数导数的积， 即：[C·u(x)]'＝C·u'(x)，系数可提到求导符号外面来。 ∵　[C·u(x)]'＝C'·u(x)＋C·u'(x)而C’＝0

例3.11 求 y＝xsin x的导数 解：y'＝(x)'sin x＋x(sin x)'＝sin x＋xcos x 又如：求 y＝(ex＋x2)(2x－cos x)的导数 解： y'＝(ex＋x2)'(2x－cosx)＋(ex＋x2)(2x－cosx)'＝(ex＋2x)(2x－cosx)＋(ex＋x2)(2＋sinx) 现在我们来证明 证明： ∵　 　　　∴　

3.商的导数 [法则3] 两个函数商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。 即：

例3.12 求下列函数的导数 ① y＝ ② y＝ ③ y＝tg x 解：① y'＝ ② y'＝ ③ y'＝

[作业] Ｐ.138 4 ⑶⑷，6，13⑶⑷ Ｐ.161 1 ⑵⑶⑸⑹⑾⑿⒀⒂⒅⒇ 2 ⑵⑶ [小结] 导数四则运算的法则为： ⒈ [u(x)±v(x)]'＝u'(x)±v'(x) ⒉ [u(x)v(x)]'＝u'(x)v(x)＋u(x)v'(x) ⒊ [作业] Ｐ.138 4 ⑶⑷，6，13⑶⑷ Ｐ.161 1 ⑵⑶⑸⑹⑾⑿⒀⒂⒅⒇ 2 ⑵⑶