單元設計 單元主題:兩圓的位置關係 授課時數:5節（225分鐘） 適用年級:八九年級 應用軟體:PowerPoint 及 JavaSketPad 課程設計:鄒慶雄 tsou@mail.csjh.tpc.edu.tw 任教學校:台北縣中山國中 www.csjh.tpc.edu.tw

兩圓的位置關係

單元介紹 本單元分五個重點,探討幾何中直線與圓 及兩圓的位置關係,從生活中的圓形及徒 手畫圓的歷史故事引入主題,以問答的方 式互動教學,並適時以JavaSketchpad動態 幾何呈現,協助學生理解數學概念,提高 學習興趣,對教學成效的提昇有很大的幫 助. 單元重點

單元重點 重點一 生活中的圓形 重點二 點與圓位置關係 重點三 直線與圓位置關係 重點四 圓與圓位置關係 重點五 公切線 到單元重點回顧

重點一 生活中的圓形 生活中有哪些圓形? 圓形給人的感覺是什麼? 看解說

生活中的圓形 圓形是一種很對稱的圖形,常被用 在標誌的設計上或是物品的外形上. 例如 : 圖片來源:自製

圓形給人的感覺是…. 相傳英國亞瑟王用圓桌宴請騎士,是因為圓 桌不易區分上下席,沒有階級高低的區別, 所以每一位圓桌武士都是貴賓. 中國人過年圍爐,以圓形桌居多,其象徵的 文化意義是圓滿,團圓,圓融和樂. 說故事

徒手畫圓的歷史故事 義大利教宗班納迪九世想找最好的畫家 來布置羅馬的聖彼得大教堂,當喬托聽到 探訪員訴說教宗的要求時,立刻在一張白 紙上徒手畫圓,請他帶去給教宗,教宗和 他的藝術顧問看了喬托大師的徒手畫作, 驚為繪畫天才,於是請喬托到羅馬為教宗 繪畫…….. 隨堂練習

隨堂練習 請你也試試看,在紙上徒手畫圓. 有這麼圓嗎? 重點二 回單元重點

重點二 點與圓的位置關係 射飛鏢時,飛鏢的落點如何描述? 看解說

點與圓的三種位置關係 結論是: 點與圓有三種位置關係 (1)點在圓外 (2)點在圓上 (3)點在圓內 隨堂練習 飛鏢靶的最內圈(紅心)是圓形的,飛鏢的落點位置 可能在圓形外部,圓周上或是在圓形內部. 結論是: 點與圓有三種位置關係 (1)點在圓外 (2)點在圓上 (3)點在圓內 隨堂練習

隨堂練習 1.請描述 A ,B , C 三點與圓O的位置關係: 點在圓內; 點在圓上; A B 點在圓外. C B O A C 下一題 看解答

隨堂練習 2.承上題,請比較 OA ,OB , OC 三線段與圓O 半徑長的大小關係: OA 半徑; OB 半徑; A 大於 OC 半徑; 等於 小於 A B C O 下一題 看解答

隨堂練習 3.承上題,若圓O直徑長10,OA=10,OB=5,OC=2 那麼 A點在 , B點在 , C點在 . 看解答 圓內 圓上 圓外 重點三 回單元重點

重點三 直線與圓的位置關係 點和點的距離是如何界定的? 點和線的距離又是如何界定的? A L A B 看解說

點和點的距離 點和點的距離以直線距離最短,所以稱 線段的長為兩點的距離 AB兩點的距離 曲線 A B 折線 點線距離

點和線的距離 點和線的距離以垂直距離最短,所以稱最 短線段的長為點和線的距離 由直角三角形商高定理知:斜邊大於股長 A L P H 進一步解說 探索活動一

探索活動一 一條直線和一個圓可能有幾個交點? 進入JSP動態幾何 看結論

直線與圓的位置關係 直線與圓可能沒有交點. 直線與圓可能交於兩點,此線稱為割線. 直線與圓可能相切於一點.此點稱為切 點,此線稱為切線. 切點 切線 割線 進一步討論

切線,切點及圓的半徑有什麼關係? 結論是: 切點 半徑 隨堂練習 切線 看結論 (1)過直徑的端點的垂線即為此圓切線. (2)圓心到切線的距離等於半徑 (3)圓心與切點的連線垂直於過此切點的切線 切點 切線 半徑 隨堂練習

隨堂練習 L N 1.下圖中 ,圓O的割線是 ; 圓O的切線是 ; L N M O 下一題 看解答

隨堂練習 2.承上題圖中 ,L,M,N到圓心O的距離與半徑r 的大小關係如何? L N M O r 看解答

r 圓心O 到 L 的距離 = r 圓心O 到 M 的距離 > r 圓心O 到 N 的距離 < r 作垂直線段啦! L N M 下一題

畫切線 過圓上任一點A怎麼作圓O的切線? A O 進入JSP動態幾何 解題應用

解題應用 例1.已知圓O半徑為10公分,直線L和圓O相 交於兩點,則下列那些可能是圓心O到直 線L的距離? O 2公分 8公分 看解答 15公分 O 2公分 8公分 看解答 隨堂練習

隨堂練習 已知圓O半徑為10公分,圓O到三條直線的 距離分別為 5公分 10公分 13公分 請問這三條直線的和圓O分別有幾個交點? O 5公分的有2個交點 10公分的有1個交點 13公分的沒有交點 看解答 例2

例2 如圖,如果直線AP和圓O相切於A點,圓O 半徑為5公分,OP=6 請問AP的長=? O A P 6 5 看解答 隨堂練習

隨堂練習 如圖,如果直線AP和圓O相切於A點,圓O 半徑為5,AP=12 請問OP的長=? O A P 12 5 看解答 弦心距

弦心距的概念 弦與圓心的距離 或者是圓心到弦的垂直線段 稱為弦心距 O N M ON,OM都是弦心距 探索活動二

探索活動二 通過圓心且與弦垂直的直線會平分此弦嗎? 弦心距會平分此弦嗎? 弦心距的大小和弦有何關係? O B A N 看結論 進入JSP動態幾何 看結論

弦與弦心距的關係 通過圓心且與弦垂直的直線會平分此弦 圓心與弦的中點連線段就是弦心距 弦心距會垂直平分此弦 弦心距愈大,則弦愈小 圓中最大的弦為直徑,其弦心距為0 圓中沒有最小的弦. O N M 解題應用

例3 如圖,弦AB的弦心距OC=3公分 ,AB=8公分 請問圓O的半徑=? C O A B 3 4 看解答 隨堂練習

隨堂練習 如圖,圓O的半徑=5公分,弦AB =6公分 , 請問弦AB的弦心距=? C O A B 5 3 看解答 重點四 回單元重點

重點四 兩圓的位置關係 探索活動三 若大小兩圓若以交點個數為分類依據,請 畫出 (1)交點個數為0的情形 (2)交點個數為1的情形 重點四 兩圓的位置關係 探索活動三 若大小兩圓若以交點個數為分類依據,請 畫出 (1)交點個數為0的情形 (2)交點個數為1的情形 (3)交點個數為2的情形 或 或 進入JSP動態幾何 看結論

結論是 大小兩圓的位置關係有: (1)兩圓外離與內離 (2)兩圓外切與內切 (3)兩圓相交於兩點 或 或 進一步解說

同心圓與等圓 同心圓指圓心相同但半徑大小不同的圓 等圓指圓心不同但半徑大小相同的圓 同心圓 等圓 連心線的長

連心線的長 連心線的長和兩圓的半徑大小有何關係? 請以下列5種情形討論: (1)兩圓外離時 (2)兩圓外切時 (3)兩圓相交於兩點時 (4)兩圓內切時 (5)兩圓內離 看結論

連心線的長和兩圓半徑的關係 (1)兩圓外離時 O1 O2 r R 連心線長 R+r < 外切時

連心線的長和兩圓半徑的關係 (2)兩圓外切時 O1 O2 r R 連心線長 = R+r 相交於兩點時

連心線的長和兩圓半徑的關係 r < R+r R-r < R (3)兩圓相交於兩點時 內切時 O1 O2 兩邊之和大於第三邊 連心線長 < R+r R-r < 兩邊之和大於第三邊 兩邊之差小於第三邊 進一步說明 內切時

連心線的長和兩圓半徑的關係 (4)兩圓內切時 O1 O2 r R 連心線長 = R-r 內離時

連心線的長和兩圓半徑的關係 (5)兩圓內離時 O1 O2 r R 連心線長 < R-r 解題應用

例4 已知兩圓半徑分別為7公分和3公分,若 兩圓外切時,連心線的長為 . 3 7 O1 O2 連心線長 = 7+3 10 看解答 練習題

隨堂練習 已知兩圓半徑分別為7公分和3公分,若 兩圓內切時,連心線的長為 . 連心線長 = 7-3 3 7 O1 O2 4 看解答 動動腦

動動腦 3 <7+3 7-3 < 7 已知兩圓半徑分別為7公分和3公分,若 兩圓相交於兩點時,連心線的長為 . 介於4到10 兩圓相交於兩點時,連心線的長為 . 3 7 O1 O2 連心線長 <7+3 7-3 < 介於4到10 看解答 重點五 回單元重點

重點五 公切線 如果直線L為圓O1及圓O2的切線,稱直線 L為這兩圓的公切線 L3 O2 L4 O1 L1 L2 L1及L2為公切線 重點五 公切線 如果直線L為圓O1及圓O2的切線,稱直線 L為這兩圓的公切線 O1 O2 L4 L3 L2 L1 L1及L2為公切線 進一步說明

內公切線與外公切線 內公切線 外公切線 若兩圓在公切線L的同側,稱直線L為這兩 圓的外公切線 O1 O2 L2 L1 內公切線 外公切線 動動腦

動動腦 已知O1A及O2B均垂直O1O2, 請問 線段AB 是否為兩圓的切線段? O1 O2 A B 進入JSP動態幾何 單元重點回顧

單元重點回顧 重點一 生活中的圓形 重點二 點與圓的位置關係 圓形是一種很對稱的圖形,常被用在標誌的 設計上或是物品的外形上. 下一頁 重點一 生活中的圓形 圓形是一種很對稱的圖形,常被用在標誌的 設計上或是物品的外形上. 重點二 點與圓的位置關係 下一頁 點在圓外 點在圓上 點在圓內 點到圓心距離 大於半徑 等於半徑 小於半徑

單元重點回顧 重點三 直線與圓的位置關係 回上頁 不相交 交於一點 直線稱為切線 交於二點 直線稱為割線 下一頁 直線到圓心距離 大於半徑 重點三 直線與圓的位置關係 不相交 交於一點 直線稱為切線 交於二點 直線稱為割線 直線到圓心距離 大於半徑 等於半徑 小於半徑 下一頁 回上頁

單元重點回顧 重點三 直線與圓的位置關係 回上頁 下一頁 弦心距會垂直平分此弦 弦心距愈大,則弦愈小 圓中最大的弦為直徑, 重點三 直線與圓的位置關係 (1)過直徑的端點的垂線即為此圓切線. (2)圓心到切線的距離等於半徑 (3)圓心與切點的連線垂直於過此切點的切線 弦心距會垂直平分此弦 弦心距愈大,則弦愈小 圓中最大的弦為直徑, 下一頁 回上頁

單元重點回顧 大小兩圓的位置關係有: (1)兩圓外離與內離 (2)兩圓外切與內切 (3)兩圓相交於兩點 重點四 兩圓的位置關係 或 回上頁 重點四 兩圓的位置關係 大小兩圓的位置關係有: (1)兩圓外離與內離 (2)兩圓外切與內切 (3)兩圓相交於兩點 或 下一頁 回上頁

單元重點回顧 兩圓外切時: 連心線長=R+r 兩圓內切時: 連心線長=R-r 兩圓交於兩點時: R-r < 連心線長 < R+r 重點四 兩圓的位置關係 兩圓外切時: 連心線長=R+r 兩圓內切時: 連心線長=R-r 兩圓交於兩點時: R-r < 連心線長 < R+r 下一頁 回上頁

單元重點回顧 重點五 公切線 如果直線L為圓O1及圓O2的切線,稱直線L為這兩圓的公切線 重點五 公切線 如果直線L為圓O1及圓O2的切線,稱直線L為這兩圓的公切線 若兩圓在公切線L的同側,稱直線L為這兩 圓的外公切線 若兩圓在公切線L的異側,稱直線L為這兩 圓的內公切線 單元結束 回上頁 回單元重點

本單元結束 課程設計:鄒慶雄 tsou@mail.csjh.tpc.edu.tw 任教學校:台北縣中山國中 www.csjh.tpc.edu.tw

資料來源 國立編譯館 數學科 第五冊第二章第一節 JSP素材開發:台北縣立中山國中 鄒慶雄 個人網站: 動態幾何展覽館 http://www.csjh.tpc.edu.tw/~tsou