第七章 电磁现象 学习本章的目的及要求： 重点掌握磁感应强度及其求解方法和思路 重点掌握磁场对电流的作用 重点掌握感应电动势

§7－1 磁感应强度、磁通量 任何运动电荷和电流除产生电场外，在其周围空间还会产生一种特殊的场——磁场。 磁场是客观存在的一种特殊物质，处于磁场中的任何运动电荷和电流都会受到磁场所施加的作用力。

一.磁感应强度 在研究磁场的性质时，在磁场中引入一个运动着的正电荷—检验电荷，简称运动电荷。它的磁场很弱，不会影响原来的磁场，研究运动电荷在磁场中受力的情况来了解磁场的性质。设运动电荷的电量为q ，运动速度为v，它在磁场中运动时受到的磁场力用F表示，通过磁场对运动电荷的作用力的实验，可得到下面的规律：

磁场力F的大小与电荷的运动方向有关。当运动电荷沿着或逆着磁场方向运动时，所受的磁场力F=0；当运动电荷垂直磁场方向运动时，所受的磁场力最大，F=Fmax。

Fmax的大小与运动电荷的电量和速度成正比，但比值Fmax/qv只与磁场的位置有关，而与qv无关，对于磁场中某定点来说比值Fmax/qv为一常数，因此它反映了磁场中给定点的性质。 　同电场中引入电场强度来描述电场中某点电场的大小一样，在磁场中引入一个描述磁场中某点磁场大小的物理量，这就是磁感应强度，用 表示，它是一个矢量。

　大小由下式定义： V Fm B 方向用右手螺旋定则确定:四指指向正电荷受力 的方向,沿小于 的角度转向电荷运动的方向(的方向),则拇指指的就是该点磁感应强度的方向。

在SI制中， 的单位是特斯拉，用T表示 　常用单位还有高斯，用G表示， 1G=10-4T

二. 磁感应线.磁通量 磁场中的高斯定理 1、磁感应线 二. 磁感应线.磁通量 磁场中的高斯定理 1、磁感应线 为了使磁感应线能定量描述磁感应强度的大小，规定（画图时）：通过磁场中某点垂直于磁场方向的单位面积上的磁感应线的条数等于该点磁感应强度B的大小。

定义：通过磁场中任一给定曲面的磁感应线的总条数，称为通过该曲面的磁通量，用Φ表示。 ds q n B S 2、磁通量 定义：通过磁场中任一给定曲面的磁感应线的总条数，称为通过该曲面的磁通量，用Φ表示。

在SI制中，磁通量的单位是韦伯， 用Wb表示, 1Wb=1Tm2 。 3.磁场中的高斯定理 因为磁感应线是闭合的，所以穿进闭合曲面的磁感应线等于穿出闭合曲面的磁感应线,即通过磁场中任一闭合曲面的总磁通量为零。 高斯定理表达式 它表明磁场是涡旋场。

§7－2毕奥—沙伐尔定律 及其应用 一.毕奥—沙伐尔定律 电流或运动的电荷所产生的磁场中的磁 感应强度的计算是 由毕奥—沙伐尔定律给出的。

如图，电流元Idl是矢量，写做Idl，方向是dl处I的方向，电流元Idl在空间任一点p产生的磁感应强度dB的大小为: q P

m = k p 4 A Tm 10 4 = m 在SI制中，比例系数   称为真空磁导率， 毕奥—沙伐尔定律 = 在SI制中，比例系数 A Tm 10 4 1 7 - = m   称为真空磁导率， 毕奥—沙伐尔定律 dB的方向为 的方向由右手螺旋定则确定

二、毕奥-萨伐尔定律的应用 利用毕萨定律求 确定 的方向,写出 的表示式 确定 的方向,写出该方向 的分量式 统一变量,积分求解。 取电流元 确定 的方向,写出 的表示式 确定 的方向,写出该方向 的分量式 统一变量,积分求解。 三种典型载流导线的磁场 载流直导线的磁场(I、a、q1 、q2 、)

r a I q2 q P q1 由毕-萨定律, P 点 的 大小为 由于直导线上所 dl 有电流源在P点产生 的 方向都相同， l 所以 的 大小为 l O q1 q2 q a r I P dl 由于直导线上所 有电流源在P点产生 的 方向都相同， 所以 B的方向垂直板面向内

l O q1 q2 q a r I P dl

结论： 上式变为 对于长直导线L来说，只要 a«L，即在导线的附近，都可以应用上式。 电流源或一段载流直导线在其延长线上不产生磁场。 若导线为无限长,则 上式变为 对于长直导线L来说，只要 a«L，即在导线的附近，都可以应用上式。 电流源或一段载流直导线在其延长线上不产生磁场。 无限长载流直导线周围的磁感应线是一些同心圆。

1、如图，电流I=4A的无限长直导线，中部弯成半径为a=0.11m的半圆环形，求环中心O点处的磁感应强度。(B=1.110-5T) 作业： 1、如图，电流I=4A的无限长直导线，中部弯成半径为a=0.11m的半圆环形，求环中心O点处的磁感应强度。(B=1.110-5T) I O P b r I 2、如图：一宽为b的薄金属板，其电流为I，试求在薄板的平面上，距板的一边为r的P点的磁感应强度？

圆形载流导线(圆电流)轴线上的磁场 （I、R、a、S)  R O a P r I dl x

解：

的方向沿X轴正向，可用右手螺旋定则确定。如图  R O a P r I dl x 的方向沿X轴正向，可用右手螺旋定则确定。如图 I

结论： 在圆心O处，a=0，则 在远离线圈的轴线上，a»R,即a=r，则

载流直螺线管的磁场（l、I、R、n） 解： 由右手定则知每一圆形电流在P点产生的dB方向都相同，沿轴线向右。 .A l dl r ß1 ß ß2 ß1 ß dl 解： 由右手定则知每一圆形电流在P点产生的dB方向都相同，沿轴线向右。 .A

应用圆形电流轴线上任一点 将dB、Indl、R2＋l2代入

（ß1, ß2为螺线管两端对P点的张角）

结论： 若螺线管为无限长，则 ß1＝π, ß2＝0，管内各点的B＝μ0nI，方向与轴线平行。 半无限长螺线管的一端，如A点，则 ß1＝π/2, ß2＝0，管内各点的B＝μ0nI/2，方向与轴线平行。

作业： 1、半径为R的园片均匀带电，电荷面密度为σ，令该园片以角速度ω绕通过 其中心且垂直于园平面的轴旋转，求：轴线上距园片中心为x处的P点的磁感应强度。 R 2、环形螺线管线圈的平均直径为0.15m,环的截面积为7.010-4m2，环上绕有500匝导线。导线的电流强度为0.60A,求通过圆环截面的磁通量。(5.610-7wb)

§7－3安培环路定律及其应用 一、安培环路定律 问题： 静电场中的环路定理 以无限长载流直导线为例讨论安培环路定律。 如图

积分结果只与包围在闭合曲线内的电流有关，而与闭合曲线的形状无关，这一结论对任何形式的电流和多个电流产生的磁场都成立，即 r I dl d A 由图： 则 积分结果只与包围在闭合曲线内的电流有关，而与闭合曲线的形状无关，这一结论对任何形式的电流和多个电流产生的磁场都成立，即

安培环路定律：在电流周围的磁场中，磁感应强度沿任何闭合曲线的积分与通过闭合曲线内电流强度的代数和成正比。 电流I的正负由右手螺旋定则确定。 I1 I2 L 二.安培环路定律的应用 计算具有对称性磁场的磁感应强度。

具体计算方法： 选取积分回路，规定积分方向 判断电流正负 3)由安培环路定律求B 典型磁感应强度的计算： 求长直螺线管内的磁场（n、I） a b d c P

管外磁场很弱，B＝0 管内由安培环路定律得 方向沿轴线向右

无限长载流圆柱导体内外的磁场 （ R，I 均匀分布） I r >R R r B P L

r < R I R r B P L 仿此例，可以算无限长载流直导线、 圆柱面、圆管及其共轴组合的磁场。

例题： 如图，一半径为R2＝0.05m的 I 金属薄圆筒，通以I＝20A的电 流。电流由圆筒轴处的半径为 R2 筒的长度l＝20m，求： 筒内距轴r＝0.02m处P点的B值， 筒外距轴r＝0.10m处Q点的B值。 I R2 r H P L

解： ＝2.010－4 T

§7－4 磁场对电流的作用 一、磁场对运动电荷的作用 洛仑兹力：磁场对运动电荷的作用力。 大小： 方向：用右手定则， 如图： q>0

作业： 1、电流I均匀地流过半径为R的园形长直导线，试计算单位长度导线内的磁场通过 图中所示剖面的磁通量。 2、如图同轴电缆，两导体中的电流均匀分布，电流强度均为I，流向相反，试计算以下各处的B值。(1)r<R1(2)R1< r<R2(3) R2< r<R3(4)r>R3 R r dr l R1 R2 R3

二、洛仑兹力的应用 霍耳效应 当电流沿垂直于外磁场的方向流过导体时，在垂直于电流和磁场方向的导体两侧将出现电势差，这种现象称为霍耳效应，相应的电势差称为霍耳电势差。如图：

设导电板宽l，厚d，电流I，载流子浓度n 漂移速度v。 推导： 设导电板宽l，厚d，电流I，载流子浓度n 漂移速度v。 l B I v A X Z d fm fe 即 又

K称为霍尔系数 应用 三、磁场对电流的作用 1、磁场对载流导线的作用 磁场对载流导线的作用力称为安培力。

导线上任一线元dl所受磁场力 即： 方向由右手定则确定

所以载流导线在磁场中受安培力为： 2、磁场对载流平面线圈的作用

以矩形线圈为例,如图： F1 F2 a I j q b c d l1 l2 F2’ F1’ q j F2 F2’

向上 向下 F2=IBl2 F2’=IBl2 两者形成力偶，产生使线圈绕轴转动的磁力矩 若线圈有N匝，则

为载流线圈的磁矩 它反映载流线圈本身的特性，则 此式适用于任意形状的载流平面线圈， 即平面载流线圈整体在均匀外磁场中 不受力，但受到一磁力矩的作用，它 总是力图使线圈的磁矩转到外磁场的 磁感应强度的方向。

时，平面线圈所受力矩最大 时，M=0，线圈处于稳定平衡状态。 ＝时，M=0，线圈处于非稳定平衡状态。

作业： 1、一束带电粒子，电量均为e，以相同的速率v=1.0×105m·s-1垂直入射到一均匀磁场B中，绕半周后打到一照相底片上，这束粒子含有质量为m1、m2的两种粒子，且m1- m2=1.67×10-27kg。今欲使它们在底片上分开5.2mm，求B应多大。 (B=0.40T) I2 I1 d b l 2、如图，一根长直导线载流I1=30A，矩形回路载流I2=20A，试计算作用在回路上的合力，已知d=1.0cm b=8.0cm l=0.12m。 (F=1.2810-3N)

3、半径为R的半圆形闭合线圈N匝，通有电流I，线圈放在均匀外磁场B中，B方向与线圈法线成600角，求：（1）线圈磁矩 （2）此时线圈所受磁力矩。 (P=NIR2/2 M=

§7－5 电磁感应及其基本规律 一、电磁感应现象 导体回路中的磁通量发生变化时产生感应电动势的现象，称为电磁感应现象。 二、电磁感应定律 1、法拉第电磁感应定律—试验定律 导体回路中感应电动势的大小与穿过该回路的磁通量的时间变化率d/dt成正比。

用公式表示 方向的确定： 任意标定回路的绕行方向，并规定回路中的方向与标定的绕行方向一致时， 为正；反之为负。 规定标定回路的绕行方向与回路的正法线 满足右手定则。则当磁场由下向上穿过回路，即 与 的夹角为锐角，>0， 为正；反之为负。

方向的确定： >0，且磁场在增加， d/dt >0，则<0， 与标定方向相反 >0，且磁场在减小， d/dt <0，则>0， 与标定方向相同

是使得它所激发的磁场阻碍引起感应电流的磁通量的变化。 若回路共有n匝线圈，且每匝的磁通量 均相等，则有 2、楞次定律 表述一 闭合回路中所产生的感应电流，总 是使得它所激发的磁场阻碍引起感应电流的磁通量的变化。 S N

表述二： 感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。 用楞次定律判定感应电流的方向 三、感应电动势 磁场不变 导体运动 动生电动势 导体不动 磁场变化 感生电动势 1、动生电动势

c d 方向：在电源内部由负极指向正极。 导体中每个电子受洛伦兹力为： 结论：导体（闭合或 不闭合）在磁场中运动，切割磁感应线时产生动生电动势。 洛伦兹力提供动生电 动势的非静电场力， 与之对应的场强为：

例题：长为L的导体棒在匀强磁场 中绕其一端 以 逆时针转动，求棒两端的动生电动势。 以 逆时针转动，求棒两端的动生电动势。 解： l dl L A O 方向由A指向O

例题：一长直导线通有电流I，一长为l的导体 棒AD以 平行直导线匀速运动，棒的近端距 导线为a，求：棒AD中的动生电动势。 解： x dx a l A D I V 方向由D指向A，A为正极，D为负极

当导体回路不动,磁场变化时,回路 麦克斯韦认为：变化磁场在其周围 2、感生电动势 中有感应电流，说明回路中有感应电动 势存在。驱使电荷运动的力既不是洛仑 兹力,也不是静电力,而是一种新的力。 麦克斯韦认为：变化磁场在其周围 空间产生涡旋状电场，称为涡旋电场或 感生电场，场强记为 的存在与导 体无关,其在闭合回路中产生的感生电动势

涡旋电场与静电场比较： 相同：对电荷有力的作用。 不同： 涡旋电场由变化磁场激发 静电场由电荷激发

例题：在半径R的圆柱形区域内有一匀强 磁场 ，且 正以 的速率增加 求空间涡旋电场的分布。 解：做圆形闭合回路，半径为r，取顺时针为感生电动势标定方向。

柱内：r < R r E涡 L R O

柱外：r >R r E涡 L R O

习题课 z 一、如图，一个半径为R的无限长半圆柱面导体，沿长度方向的电流I在柱面上均匀分布，求半圆柱面轴线OO’上的磁感应强度。 R O’ x y R z 一、如图，一个半径为R的无限长半圆柱面导体，沿长度方向的电流I在柱面上均匀分布，求半圆柱面轴线OO’上的磁感应强度。

解：本题可将半圆柱面分割成宽度为dl=Rd的细直电流，将细电流在轴线上产生的磁感应强度叠加，即为半圆柱面轴线上的磁感应强度。 长直细线中的电流 它在轴线上一点激发的 磁感应强度大小为 方向如下图示，

与dl的对称的dl’在轴线上激发的dB’方向如图示，两者在Y轴方向分量抵消，即 O x y θ dl’ dB’ I 则轴线上总的磁感应强度的大小为 B的方向指向X轴。

二、电流I均匀地流过半径为R的圆形长直导线，试计算单位长度导线内的磁场通过 图中所示剖面的磁通量。 dr l 解：由安培环路定理知导线内部距轴线为r处的磁感应强度 故穿过面元ds(ds=ldr)的磁通量

三、求图中导线所受到的安培力为多少？ R B O I l

B O I l θ dθ x y dF dFy dFx dF’ 解：两段直线部分所受的安培力大小相等，方向相反，当导线形状不变时，两力平衡，由对称性可知，半圆弧受安培力F的水平分量相互抵消为零，故有：

I2 I1 F1 F4 F2 F3 I2 I1 d b l 解：由题知，上下两段导线受安培力F1，F2大小相等，方向相反，相互抵消。

故合力大小为 方向指向直导线。

r R O B 任取横截面 四、一半径为R的薄圆盘，放在均匀磁场B中，B的方向与盘面平行，圆盘表面上电荷面密度为σ，圆盘以角速度ω绕通过盘心并垂直盘面的轴转动，求作用在圆盘上的磁力矩的大小。

解：旋转的带电圆盘可等效为一组同心圆电流，在圆盘上取宽度为dr的细圆环，其等效圆电流为dI。 在细圆环上取一截面，若圆环旋转一周，则通过此截面的电量为 而圆环旋转一周所用的时间

其磁矩为 所以圆盘的磁力矩为

五、如图，半径为R的半圆形导线OP置于均匀磁场B中，导线以速率v水平向右运动，求导线中的感应电动势ε的大小，哪端电势较高？

解：建立如图坐标系在导体上任取电流元dl，则 v P O R θ dθ x y dl P端电势较高。