EM算法 一种参数估计的方法

提纲 高斯混合模型 EM算法的思想 EM算法的应用 总结 参考文献

高斯混合模型 混合模型(Mixed Model)： 其中 ，满足 即混合模型由K个成分组成，每个成分 的权重为 其中 ，满足 即混合模型由K个成分组成，每个成分 的权重为 若混合模型中每个成分为高斯分布， 则为高斯混合模型(Gaussian Mixture Model)

GMM的例子 例1：一个班级每个学生的身高为 假设男生和女生的身高分别服从高斯分布 则 其中 为男生的比例， 问题：给定独立同分布(independent and identically distributed----IID)的数据 ，求参数 混合模型的参数估计是EM(Expectation Maximization)算法最典型的应用

GMM的例子 例2： 分布的随机数的直方图 n = 10000; z = zeros(1,n); pw1 = 0.6; u1 = -2; 例2： 分布的随机数的直方图 n = 10000; z = zeros(1,n); pw1 = 0.6; u1 = -2; std1 = 2; pw2 = 0.4; u2 = 3; std2 = 1; y1 = randn(1,floor(n*pw1))*std1 + u1; y2 = randn(1,floor(n*pw2))*std2 + u2; z(1,1:floor(n*pw1)) =y1; z(1,(floor(n*pw1)+1):n) = y2;

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极大似然估计与EM算法的关系 计算极大似然估计(maximum likelihood estimate,MLE)，需要求似然函数的极值 值计算：如高斯混合模型 EM算法

极大似然估计(MLE) 独立同分布(IID)的数据 其概率密度函数为 似然函数定义为 log似然函数定义为 的极大似然估计为

完整数据 观测数据：观测到的随机变量 的IID样本 缺失数据：未观测到的随机变量 的值 在GMM中，若 来自第k个成分，则 缺失数据：未观测到的随机变量 的值 在GMM中，若 来自第k个成分，则 完整数据：包含观测到的随机变量 和未观测到的随机变量 的数据，

完整似然函数 若隐含变量 的值已知，得到完整数据的log似然函数为：

EM—Expectation 观测数据X已知，参数的当前值 已知，在完整似然函数中，缺失数据(隐含变量) Y未知，完整log似然函数对Y求期望。 定义 其中 是待确定的参数 通过求期望，去掉了完整似然函数中的变量Y。即EM的E步。

EM—Maximization 对E步计算得到的完整似然函数的期望求极大值（EM的M步），得到参数新的估计值，即 每次参数更新会增加非完整似然值 反复迭代后，会收敛到似然的局部最大值

EM的收敛性 其中， 当Q取极大值时，观测数据的似然也在相同点取极大值 EM算法会收敛到似然的局部极大值

混合模型中的EM算法 完整似然函数： 根据贝叶斯公式，Y的条件分布：

混合模型中的EM算法 E步 将完整似然函数和Y的条件分布代入Q函数中，经过复杂的变换得到， M步 求Q函数最大时的参数 反复迭代，直到收敛

GMM中的EM算法 高斯分布： 代入高斯分布的密度函数，计算得到如下的迭代公式： 第t次的估计为 则第t+1次的估计为

GMM中EM算法的迭代过程

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GMM_EM求的参数为 (0.5958,-2.0767,1.9973,0.4042,2.9956,1.0044) 答案为 调用的接口为： estS = gmmb_em(rawdata', 'init', 'cmeans1', 'components', 2, 'thr', 1e-8); Matlab程序包的网址： http://www.it.lut.fi/project/gmmbayes/downloads/src/gmmbayestb/gmmbayestb-v1.0.tar.gz

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总结 EM会收敛到局部极值，但不保证收敛到全局最优 对初值很敏感：通常需要一个好的、快速的初始化过程 适合的情况： 如K-均值 缺失数据不能太多 数据维数不能太高

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参考文献 [1]http://icl.pku.edu.cn/yujs/papers/pdf/EM.pdf [2]http://www.jdl.ac.cn/user/lyqing/teaching/StatLearning/10_23ParametersEstimate3_EM.pdf [3] J. A. Bilmes (1998).A General Tutorial of the EM Algorithm and its Application to Parameter Estimation for Gaussian Mixture and Hidden Markov Models. [4]http://www.it.lut.fi/publications/files/publications/192/laitosrap95.pdf

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