第四章 正交设计 §4.1 正交表 §4.2 正交试验设计的基本方法 §4.3 考虑交互作用的正交试验设计 §4.4 多指标试验 第四章 正交设计 §4.1 正交表 §4.2 正交试验设计的基本方法 §4.3 考虑交互作用的正交试验设计 §4.4 多指标试验 §4.5 正交试验设计的方差分析 §4.6 重复试验与重复取样的正交试验和方差分析 §4.7 正交试验设计的常用灵活应用方法 §4.8 直积法 §4.9 直和法 §4.10 正交多项式回归在正交设计中的应用

多因子试验问题 在实际问题中，影响指标的因子往往有很多个，要考察它们就要涉及多因子的试验设计问题。 多因子试验遇到的最大困难是试验次数太多，有时让人无法忍受。如果有十个因子对指标有影响，每个因子取两个水平进行比较，那么就有210=1024个不同的水平组合，每个水平组合就是一个试验条件，这里需要对1024个试验条件进行比较，假定每个因子取三个水平的话，那么就有310=59049个不同的试验条件需要进行比较，这在实际中是不可行的，因此我们只能从中选择一部分进行试验。 为了减少试验次数，传统采用“单因子轮换法”，即逐个改变因子的水平，而将其它因子的水平固定，找出最好的水平并将其固定，这样反复进行。它把多因子试验问题化为若干个单因子试验问题。但在每个单因子试验中选出的最好水平其组合不一定是全局最好的水平组合。

这是因为还有四个条件的试验没有进行，如果我们补做另外四个试验，其结果在表4.1.1中的括号内，那么实际上最好的条件是A2B2。 表4.1.1 单因子轮换法的试验结果 A1 A2 A3 B1 50 56 62 B2 （56） （70） 60 B3 （54） （60） 58

从这个例子可以看出，多因子试验问题远比单因子试验问题复杂，它不仅要考察每个因子的作用，还要考察因子间的交互作用。关于“交互作用”将在下一小段给出它的含义。在多因子试验中，试验的设计与分析更为重要. 常用的多因子试验设计方法有： 正交设计法（本章讨论） 参数设计法（第5章讨论） 回归设计法（第7章讨论） 均匀设计法（第6章讨论）

§4.1 正交表介绍 正交表是正交设计的工具。 一、正交表及其特征 下表便是一张9行4列的正交表，记为L9(34)。 　　　　　列号 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

04-08-01 《试验设计》第四章

§4.2 正交试验设计的基本方法

数据的直观分析

数据的方差分析

贡献率分析

§4.3 考虑交互作用的正交试验设计

数据的方差分析

最佳水平组合下指标均值的估计

避免混杂现象—表头设计的一个原则

§4.4 多指标的数据分析

1.综合平衡法

2.综合评分法

§4.6 重复试验与重复取样的正交试验的方差分析 §4.6 重复试验与重复取样的正交试验的方差分析

总平方和分解

对模型的检验

最佳水平组合的选择

§4.7 正交试验设计的常用灵活应用方法

表4.7.1 L16（215） 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

表4.7.1 L16（4×212） 新列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 原列号 1,2,3 14 15 16

直接选用混合水平正交表

L18(2×37)正交表 试验号 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

4.7.2　拟水平法

组合法

4.7.3　拟因素法(赋闲列法)

§4.8 直和法 问题：试验因素较多而水平又不等。若全部因素安排在同一张正交表上，必然试验次数较多，试验周期较长。 解决办法：分阶段进行试验。先把一部分因素和水平安排在第1张正交表上进行试验，若试验结果不达到要求，则在第2张正交表上进行试验，综合两组试验结果进行统一分析。

例4.12　泡沫聚乙烯电线的制造工艺研究。因素与水平如下表所示，试验指标是电线的某种性能，数值越大越好。因素间除交互作用A×B必须考察外，其余的交互作用均可忽略。 20　26　32 机身温度E/0C 140　155　170 螺杆的类型B 甲　 乙 长径比F 2　 3 发泡剂用量C 较少　 较多 螺杆与套筒的简隔G 现在的　 较大 螺杆直径D 稍细的 电线的牵引速度H 20　25　30

4.8.1　直和法设计的基本方法 　　本例是一个八因素试验，其中三个三水平因素、五个二水平因素，另外一个自由度为3的交互作用，可以考虑用拟因素法在L16(215)上来安排。但为了充分利用已做过的信息，采用直和法把全部因素安排在两张L8(27)正交表中分批试验。采用直和法有下列三个基本方法。 （1）减因素－－在第一张正交表中把某些因素固定在一个水平上，到第二批试验时再比较它们各个水平。如本例中，可在第一批试验时将因素固定在一水平G1上。 （2）减水平－－在第一张正交表中先比较某些因素的部分水平，经过分析，挑选出最好的水平，和剩下的水平一起排在第二张正交表中加以比较。如本例中，因素A、E、H都可先比较它们的前两个水平。

（1）减因素－－在第一张正交表中把某些因素固定在一个水平上，到第二批试验时再比较它们各个水平。如本例中，可在第一批试验时将因素固定在一水平G1上。 （2）减水平－－在第一张正交表中先比较某些因素的部分水平，经过分析，挑选出最好的水平，和剩下的水平一起排在第二张正交表中加以比较。如本例中，因素A、E、H都可先比较它们的前两个水平。 （3）复合因素。如果已知C2D2分别不劣于C1D1，所需考察的仅仅是是否明显优于，那么在第一张正交表中可只考虑复合因素(CD)，水平为C1D1和C2D2。如果结果(CD)不显著，则C、D都不显著；如果结果(CD)显著，则第二批试验时安排C和D的复合因素(CD)的另二个水平C1D2和C2D1，最后对两批试验进行总的分析比较

4.8.2 第一批试验的设计和分析 表4.40 第一批试验设计因素水平表 因素 水平 A B (CD) E F G H 1 20 甲 4.8.2　第一批试验的设计和分析 表4.40　第一批试验设计因素水平表 　因素 水平 A B (CD) E F G H 1 20 甲 C1D1 130 50 G1 30 2 26 乙 C2D2 150 65 25 3 缺32 缺170 缺20

表4.41 第一批试验方案及试验结果 A B A×B (CD) E F H yij’= yij --35 合计 试验号 1 2 3 4 5 表4.41　第一批试验方案及试验结果 A B A×B (CD) E F H yij’= yij --35 合计 试验号 1 2 3 4 5 6 7 yi1’ yi2’ yi3’ y -22 -20 -20 -62 -8 6 0 -2 -3 3 -5 -5 12 2 3 17 -9 -5 -17 -31 0 9 7 16 5 13 8 26 8 4 7 12 23 T1 -52 -79 -15 -72 -28 -53 -3 T1 = -18 T2 34 61 54 10 35 Sj2 308 817 662 60 323

表4.42　第一批试验设计方差分析表 方差来源 变动平方和 自由度 平均平方和 F值 显著性 A 308 1 14.00 ** B 817 37.13 A×B 6 0.27 (CD) 662 30.09 E 60 2.72 [*] F 323 14.68 H e2 380 16 24 e 392 18 22

4.8.3 第二批试验的设计与分析 表4.43 第二批试验设计因素水平表 因素 水平 A B (CD) E F G H 1 26 甲 4.8.3　第二批试验的设计与分析 表4.43　第二批试验设计因素水平表 　因素 水平 A B (CD) E F G H 1 26 甲 C1D2 150 65 G1 15 2 32 乙 C2D1 170 G2 20 3 缺20 缺130 缺25、30

表4.41 第一批试验方案及试验结果 A B A×B (CD) E F H yij’= yij --35 合计 试验号 1 2 3 4 5 表4.41　第一批试验方案及试验结果 A B A×B (CD) E F H yij’= yij --35 合计 试验号 1 2 3 4 5 6 7 yi1’ yi2’ yi3’ y -2 4 -4 -2 11 8 15 34 4 7 12 23 23 20 26 69 6 9 12 27 11 8 14 33 14 11 17 42 8 15 11 20 46 T1 124 92 120 90 100 140 142 T2 = 272 T2 148 180 152 182 172 132 130 Sj2 24 323 43 353 216

表4.46 L16（215） 因 素 A B A×B C D E FG H 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因　素 A B A×B C D E FG H 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

因 素 A B A×B C D E FG H yij(- 35) 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因　素 A B A×B C D E FG H yij(- 35) 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 yi1 yi2 yi3 yi -22 -20 -62 -8 -2 -3 -5 17 -9 -17 -31 16 26 23 -4 34 20 60 27 33 42 46 Ii -18 72 96 101 105 137 18 110 144 87 79 139 127 T=254 IIi 272 182 158 241 153 149 117 236 167 175 115 Ii – IIi -290 -110 -228 -52 -44 -218 -34 -80 -96 24 Si2 1752 252 80 1083 56 40 990 133 192

表4.47 方差分析表 方差来源 变动平方和 自由度 平均平方和 F值 显著性 A 332 2 166 9.7 ** B 1083 1 表4.47　方差分析表 方差来源 变动平方和 自由度 平均平方和 F值 显著性 A 332 2 166 9.7 ** B 1083 1 108 63.2 A×B 48 24 1.4 C 990 57.8 D E 276 138 8.1 F 323 18.8 G H 12 6 Ｓe22 586 32 F0.05(1,35)=7.41 Ｓe2 600 35 17.4 F0.01(2,35)=5.27

效应的计算、最优条件的选取

§4.9 直积法 在某些工业试验设计中，试验因素通常可分为两类：一类是配方因素，如原材料条件、配料比例等；二类是工艺因素，像操作方法、加工条件、时间、变化特性等。试验的目的是既要寻求好的配方，又要寻求适合于这种好的配方的工艺条件，因此常常要较多地考察这两类因素间的交互作用，这时常采用直积法（direct multiple technique）。

例4.13　某化工产品提高收率的试验 1）试验方案设计 （1）因素与水平的选择 因　素 水　平 两种原料总量A A1 A2 A3 两种原料的克分子比B 1:1 1:1.5 1:2 催化剂种类C 甲 乙 丙 反应时间D 短 长 反应温度E E1 E2

例4.13　某化工产品提高收率的试验 1）试验方案设计 （1）因素与水平的选择 因　素 水　平 两种原料总量A A1 A2 A3 两种原料的克分子比B 1:1 1:1.5 1:2 催化剂种类C 甲 乙 丙 反应时间D 短 长 反应温度E E1 E2 需研究交互作用：A×D、A×E、B×D、D×E。

（2）选择合适的正交表及表头设计 1 2 3 4 L4(23) D L9(34) A B C E 5 6 7 8 9

2）统计分析 1 2 3 4 L4(23) D L9(34) A B C E -41 -40 -39 -30 -4 -10 -8 yij (- 80) -3 -19 -13 -15 -7 5 7 9 -5 6 -2 -36 -35 -21 8 -6 -17 -9

表4.50 计算表 试验号 1 2 3 4 yij (- 80) 合计 -41 -40 -39 -30 -150 -4 -10 -8 -22 表4.50　计算表 试验号 1 2 3 4 yij (- 80) 合计 -41 -40 -39 -30 -150 -4 -10 -8 -22 -3 -19 -36 -13 -15 -7 -48 5 7 9 -5 14 6 -2 -35 -21 -107 8 -6 -17 -9 Ii -208 -305 -205 -166 IIi -49 -100 -144 T= -434 IIIi -177 -81 -129 -124 CT=T2/36=188356/36 Si2 1184.06 3258.72 490.06 73.56

表4.51 计算表 试验号 D E yij ( - 80) 合计 1 2 3 -41 -4 -3 -13 7 -36 -6 -7 -106 表4.51　计算表 试验号 D E yij ( - 80) 合计 1 2 3 -41 -4 -3 -13 7 -36 -6 -7 -106 -40 -10 -15 9 -2 -35 -17 -113 -30 -8 -19 -5 -126 4 -21 -9 -89 Ii -219 -232 -195 T= - 434 CT=5232.11 IIi -215 -202 -239 Si2 0.44 25.0 53.78

表4.52　A×D：二元表 　　　　A D 1 2 3 和 -102 -17 -100 -219 -106 -32 -77 -215 -208 -49 -177 -434 表4.53　B×D：二元表 　　　　B D 1 2 3 和 -180 -21 -18 -219 -125 -27 -63 -215 -305 -48 -81 -434

表4.54　A×E：二元表 　　　　A E 1 2 3 和 -88 -18 -89 -195 -120 -31 -239 -208 -49 -177 -434 表4.55　B×E：二元表 　　　　B E 1 2 3 和 -148 -10 -37 -195 -157 -38 -44 -239 -305 -48 -81 -434

表4.56 方差分析表 方差来源 变动平方和 自由度 平均平方和 F值 显著性 A 1184.06 2 592.03 25.02 ** B 表4.56　方差分析表 方差来源 变动平方和 自由度 平均平方和 F值 显著性 A 1184.06 2 592.03 25.02 ** B 3258.72 1269.36 68.87 C 490.06 245.03 10.35 D 0.44 1 0.02 E 53.78 2.27 [*] A×D 63.72 31.86 1.35 A×E 45.72 22.86 0.97 B×D 423.39 211.70 8.95 B×E 22.39 11.96 0.51 e 449.61 19 22.66 F0.05(2,19)=5.93 T 5991.89 36 F0.10(1,19)=2.99

试验设计

方差分析

最佳水平的选取