简单的轴对称图形 角和角平分线性质

轴对称图形的性质 l垂直平分 l垂直平分 l垂直平分

成轴对称的性质 M A' A B' B C C' N

轴 对 称 的 性 质 在轴对称图形和两个成轴对称图形中， 1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分 2.对应线段相等,对应角相等

腰 顶角 底边 底角 ( ) 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称为“三线合一”）

线段的垂直平分线 1 定义：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 2 线段的对称轴是这条线段的 垂直平分线 O A B

3垂直平分线的性质：垂直平分线上的任意点到这条线段两个端点的距离相等。 线段的垂直平分线 M 3垂直平分线的性质：垂直平分线上的任意点到这条线段两个端点的距离相等。 O A B 用几何语言表达 ∵ AO=BO,MO⊥AB (已知) (线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等) ∴ MA=MB

作法：(1)以点A为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧； (2)以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧的交点记为C、D； 尺规作线段的中垂线 作法：(1)以点A为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧； C (2)以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧的交点记为C、D； (3)经过点C、D作直线CD． A B 直线CD即为所求． D

2、用直尺做垂直平分线 已知线段的垂直平分线的作法： 用直尺找出线段AB的中点O. 2.再过点O画出与线段AB 垂直的直线CD， 直线CD就是线段AB的垂直平分线

一、复习引入 1．点到直线的距离的定义是什么? 2．角的定义。角平分线定义 角是不是轴对称图形？ A O B

(3) 过点C折OA边的垂线， 得到新的折痕CD， 将这个角对折，使角的两边重合。 做一做 (3) 过点C折OA边的垂线， （1）在一张纸上任意画一个角∠AOB （2） 在折痕(即角平分线)上任意取一点C; 4) 将纸打开，新的折痕与OB 的交点为 E 。 A B A B B C B B B A B A B B A B A B B 得到新的折痕CD， 沿角的两边剪下, B A C E A B B C D B C 将这个角对折，使角的两边重合。 其中点D是折痕与OA的交点，即垂足 O A A O

角平分线的性质 （1）角是轴对称图形吗？ 如果是，请找出它的对称轴 角是轴对称图 角的对称轴是角的平分线所在的直线。 A B A B B C D B A B A B B A B A B B B A C E A B 如果是，请找出它的对称轴 B C D B A C O A A O 角是轴对称图 角的对称轴是角的平分线所在的直线。

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 角平分线的性质 A B A B B C （2）在上述的操作过程中，你发现了哪些线段相等？说说你的理由。 B B D B A B A B B A B A B B B A C E A B B C D B A C O A A O CE=CD 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

角平分线上的点到角两边的距离相等. 角平分线的性质： 几何表达： ∵OC平分∠ AOB， CD⊥OB, CE⊥OA ∴CD=CE A E O Ｄ

角平分线逆定理 P在∠AOB的内部，PC⊥OA于A,PD⊥OB于D，且PC＝PD，能判断点P的位置？ 点P在角平分线上。

角的集合定义：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 几何语言： ∵点P在∠AOB的内部， PC⊥OA于A，PD⊥OB于D， 且PC＝PD， ∴点P在∠AOB的平分线上．

怎样用尺规作一个角的平分线？ A B N M C E O

用尺规作角的平分线的方法 作法： A Ｍ Ｃ Ｏ Ｂ Ｎ 则射线ＯＣ即为所求． １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ． 　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ． A Ｍ 　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ． Ｃ Ｂ Ｏ Ｎ ３．作射线OC． 则射线ＯＣ即为所求．

判断题 （1）角平分线上存在到这个角的两边距离不相等的点 （ ） （2）到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上（ ） （3）角是轴对称图形，对称轴是角平分线 （ ） × √ ×

已知：点P为∠AOB的角平分线上的一点，它到OA的距离为2cm，那么它到OB的距离是__________________。 ？ 已知：点P为∠AOB的角平分线上的一点，它到OA的距离为2cm，那么它到OB的距离是__________________。 2cm

A E D B C 解： DE＝DC ∵ ＢD是∠ABC的平分线 DE⊥AB DC⊥BC ∴ DE＝DC 如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB ,垂足为E。DE与DC相等吗？为什么？ 解： DE＝DC ∵ ＢD是∠ABC的平分线 DE⊥AB DC⊥BC ∴ DE＝DC

如图：D是∠B与∠C的平分线的交点，有人说D点也在∠A的平分线上你同意吗？

其中有四个班的同学分别在M、N两处参加劳动，另外四个班的同学分别在道路AB、AC两处劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P ，使P到两条道路的距离相等，且使 PM= PN，请你找出点P的位置，并说明理由。 B P M N A C

A P B C 1、分别连接AB、BC 2、分别作线段AB、BC的垂直平分线 两直线交于点P 则点P为所求的变电所的位置 A、B、C三点表示三个镇，随着乡镇外资、集体、个体工业的发展需要，现三镇联合建造一个变电所，要求变电所到三镇的距离相等，请你作出变电所的位置（用点P表示） 1、分别连接AB、BC 2、分别作线段AB、BC的垂直平分线 两直线交于点P 则点P为所求的变电所的位置 A P B C

直线a,b,c表示三条相交叉的公路若在三条公路围成的区域内修建一处加油站,使加油站到三条公路a,b,c的距离相等,则加油站应建在何处？ Ｆ Ｅ Ｐ b a B A c Ｄ

三条公路的交叉处为一个三角形区域，现在要在此区域内建一个加油站，使得该加油站到三条路的距离相等。请你运用所学知识，帮助设计者确定此加油站的位置。 A

求作一点P，使它和已△ABC的三个顶点距离相等. 比较 B A C p PA=PB=PC

到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ） A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 D

到三角形的三条边距离相等的点是（ ） A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 A

对于任意△ABC，是否能找到一点P，使得： （1）该点P与△ABC的三个顶点的距离相等？ （2）该点P与△ABC的三条边的距离相等？

■在正方形ABCD上,P在AC上,E是AB上一定点,则当点P运动到何处时,△PBE的周长最小?