平行四边形判定（3） 三角形的中位线 A B C D E
回顾与联想： □ ABCD (1)AB∥CD, BC∥AD (2) AB=CD，BC=AD (3) AB∥CD,AB=CD (4) ∠A= ∠C ， ∠ B=∠ D (5) AO=OC, BO=OD □ ABCD A D O C B
定义：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在图中画出多少个平行四边形？ B A F E D C 三条中位线把原三角形分成了几个小三角形？这些三角形有什么关系？
探究： 1、如图，线段DE是ΔABC的中位线，这条中位线与边BC有什么关系？（位置、数量） 2、你能证明这一结论吗？ A B C D E
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线 求证：DE ∥ BC，且DE= BC 。 证明：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF. A ∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、AE=EC∴△ADE ≌ △CFE ∴AD=FC 、∠A=∠ECF ∴AB∥FC D E F 又AD=DB ∴BD∥ CF且 BD =CF 所以 ，四边形BCFD是平行四边形 B C ∴DF∥BC，DF＝BC 即DE∥BC 又∵ 还有另外的证法吗？
已知：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，求证DE∥BC且DE= BC 证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF. ∵AE=EC A ∴四边形ADCF是平行四边形 CF∥DA，CF=DA E ∴CF∥BD，CF=BD D F ∴四边形DBCF是平行四边形 DF∥BC，DF=BC 又DE= DF B C ∴DE∥BC且DE= BC
三角形的中位线的定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 用几何语言表示 D A B C E 1 2 ∵DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC， DE= BC. 2 1
练一练 1.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， BC=10cm，则DE=______. ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____. A A D E D E C C B B (2) (1)
思考： 三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？ 中位线是两个中点的连线，而中线是一个顶点和对边中点的连线。
2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？ D C B E
例1：求证顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。 任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是平行四边形。 已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中AB、BC、CD、DA的中点。求证：EFGH是平行四边形。
例2：已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连结OF. 求证: AB= 2 OF A D O G 提示:证明△ABF≌ △ECF, 得BF=CF,再证OF是 △ABC的中位线. B C F E
例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点。求 证：∠HEF＝ ∠FGH。
3、△ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE=2AC，CD、BE交于O点. 求证：OE= BE.
∟ 走进中考 1.如图1,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D,F分别为AC，BC的中点，CE是斜 边的中线，如果DF=3cm， 则CE=_______cm。 C D F 走进中考 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 A B E 图1 2.已知如图2，BD、CE分别是 △ABC的外角 平分线，过点A作AF⊥BD,AG ⊥CE，垂足分别是F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交,求证: FG=1/2（AB+BC+AC） ∟ A D E F G H H K B C
思考题：已知如图：在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高。求 证：∠EDG＝ ∠EFG。 分析：EF是△ABC的中位线 DG是Rt△ADC斜边上的中线 ∴EF＝DG 你还想到了什么？
小 结 三角形中位线定义 三角形中位线定理 三角形中位线定理应用
⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 1/2提供了一个新的途径 定 理 应 用： ⑴定理为证明平行关系提供了新的工具 ⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 1/2提供了一个新的途径 注意： 在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线 ①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线