误差理论与测量平差 Surveying Adjustment

误差理论与 测量平差 第一章 绪论 第二章 精度指标与误差传播 第三章 平差最小二乘模型与最小二乘原理 第四章 条件平差 第五章 间接平差 第一章 绪论 第二章 精度指标与误差传播 第三章 平差最小二乘模型与最小二乘原理 第四章 条件平差 第五章 间接平差 第六章 附有参数的条件平差 第七章 附有限制条件的间接平差 第八章 概括平差函数模型 第九章 误差椭圆 退出

专业基础主要课程： 测量学（5）、测量平差基础（5）、控制测量学（5）、摄影测量学（4）、测绘数据计算机处理（3） 测绘工程专业主干课： 专业基础主要课程： 测量学（5）、测量平差基础（5）、控制测量学（5）、摄影测量学（4）、测绘数据计算机处理（3） 专业课： GPS（4）、GIS（3）、工程测量（4）、数字制图（3）、近代平差（2）等

测绘科学与技术 大地测量与测量工程 摄影测量与遥感 地图制图与地理信息系统工程 数学 政治 英语 测量平差

课程安排 前修课程：高数、几何与代数、概率与数理统计 课程分两个学期进行： 第二学年上学期：3学分 第三学年下学期：2学分 后续课程：测绘数据的计算机处理、控制测量、近代平差

教学方式与内容 讲授为主，例题、习题相结合。 内容：本学期主要讲前五章的内容。 参考书目： 测量平差原理，於宗俦等，测绘出版社 误差理论与测量数据处理，测量平差教研室，测绘出版社。

第一章 绪论 第一节 观测误差 第二节 补充知识 停止 返回

第一章 绪论 第一节：概述 1、测量平差的研究对象——误差 任何量测不可避免地含有误差 闭合、附合水准路线 闭合、附合导线 距离测量 第一章 绪论 第一节：概述 1、测量平差的研究对象——误差 任何量测不可避免地含有误差 闭合、附合水准路线 闭合、附合导线 距离测量 角度测量……….. 停止 返回

误差：测量值与真值之差 由于误差的存在，使测量数据之间产生矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛盾，或者说是将误差分配掉，因此称为平差。 停止 返回

产生误差的原因 测量仪器：i角误差、2c误差 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、气压、大气折光等 三者综合起来为观测条件 停止 返回

误差的分类 系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 系统误差的存在必然影响观测结果。 削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数 停止 返回

误差的分类 偶然误差/随机误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。 不可避免，测量平差研究的内容 粗差：错误 停止 返回

测量平差的任务： 对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求未知量的最可靠值。 评定测量成果的质量 停止 返回

18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未知数的最佳估值？ 测量平差产生的历史 最小二乘法产生的背景 18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未知数的最佳估值？ 最小二乘的产生 1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘 1806年，A.M. Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。《决定彗星轨道的新方法》 1809年， C.F.GUASS，《天体运动的理论》 停止 返回

1912年，A.A.Markov， 对最小二乘原理进行证明，形成数学模型： 测量平差产生的历史 最小二乘法原理的两次证明 形成测量平差的最基本模型 1912年，A.A.Markov， 对最小二乘原理进行证明，形成数学模型： 最小二乘解： 测量平差理论的扩展 停止 返回

补充知识 一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵 （1）由 个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵 通常用一个大写字母表示，如： 停止 返回

(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22……ann 称为对角元素。 (3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。 (4)对于 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。如： (5)对于 对角阵，若a11=a22=……=ann =1，称为单位阵，一般用E、I表示。 停止 返回

（6）若aij=aji，则称A为对称矩阵。 停止 返回

矩阵的基本运算： （1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则： （2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换性与可结合性。 （3）设A为m*s的矩阵，B为s*n的矩阵,则A、B相乘才有意义，C=AB，C的阶数为m*n。 OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC， ABC=A（BC） 停止 返回

二、矩阵的转置 对于任意矩阵Cmn: 将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。 用： 停止 返回

矩阵转置的性质： （6）若 则A为对称矩阵。 停止 返回

三、矩阵的逆 给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。记为： A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则为奇异矩阵 停止 返回

矩阵的逆的性质 停止 返回

矩阵求逆方法： （1）伴随矩阵法： 设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，则由n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。 停止 返回

矩阵求逆方法 （2）初等变换法： 经初等变换： 则： 停止 返回

概率与数理统计内容 随机变量 误差分布曲线 概率密度曲线 数学期望 方差 停止 返回

第二章精度指标与误差传播 第一节 概述 第二节 偶然误差的规律性 第三节 衡量精度的指标 第四节 协方差传播律 第一节 概述 第二节 偶然误差的规律性 第三节 衡量精度的指标 第四节 协方差传播律 第五节 协方差传播律在测量上的应用 第六节 协方差传播律 第七节 权与定权的常用方法 第八节 协因数与协因数传播律 停止 返回

第一节 概述 第二节 偶然误差的规律性 一、几个概念 真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用 表示。 第一节 概述 第二节 偶然误差的规律性 一、几个概念 真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用 表示。 观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示 。 真误差：观测值与真值之差， 一般用i= -Li 表示。 停止 返回

观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、L2……Ln可表示为： 停止 返回

停止 返回 二、偶然误差的特性 例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。 误差 区间 —△ +△ 个数K 频率K/n (K/n)/d△ 0.00~0.20 45 0.126 0.630 46 0.128 0.640 0.20~0.40 40 0.112 0.560 41 0.115 0.575 0.40~0.60 33 0.092 0.460 0.60~0.80 23 0.064 0.320 21 0.059 0.295 0.80~1.00 17 0.047 0.235 16 0.045 0.225 1.00~1.20 13 0.036 0.180 1.20~1.40 6 0.017 0.085 5 0.014 0.070 1.40~1.60 4 0.011 0.055 2 0.006 0.030 >1.60 和 181 0.505 177 0.495    

例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。 —△ +△ 个数K 频率K/n (K/n)/d△ 0.00~0.20 40 0.095 0.475 46 0.088 0.440 0.20~0.40 34 0.081 0.405 41 0.085 0.425 0.40~0.60 31 0.074 0.370 33 0.069 0.345 0.60~0.80 25 0.059 0.295 21 0.064 0.320 0.80~1.00 20 0.048 0.240 16 0.043 0.215 1.00~1.20 0.038 0.190 13 0.040 0.200 …… ……. 2.40~2.60 1 0.002 0.010 2 0.005 0.0025 >2.60 和 210 0.499 211 0.501 停止 返回

面积= [(K/n)/d△]* d△= K/n 用直方图表示: (K/n)/d△ 面积= [(K/n)/d△]* d△= K/n 概率密度函数曲线 0.4 0.6 0.8 -0.8 -0.6 -0.4 闭合差 所有面积之和=k1/n+k2/n+…..=1 停止 返回

提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。 频数/d 0.4 0.6 0.8 -0.8 -0.6 -0.4 闭合差 0.630 频数/d 0.4 0.6 0.8 -0.8 -0.6 -0.4 闭合差 0.475 频数/d 0.4 0.6 0.8 -0.8 -0.6 -0.4 闭合差 0.4 0.6 0.8 -0.8 -0.6 -0.4 闭合差 提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。 停止 返回

偶然误差的特性： 1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限； 2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多； 3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等； 4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零， 即Lim—— n  i=1 n i = Lim —— [] =0 停止 返回

第三节 衡量精度的指标 精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。 第三节 衡量精度的指标 精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。 一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。 提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。

可见：左图误差分布曲线较高 且陡峭，精度高 右图误差分布曲线较低 且平缓，精度低 停止 返回 频数/d 频数/d 闭合差 闭合差 0.4 0.6 0.8 -0.8 -0.6 -0.4 闭合差 频数/d 0.4 0.6 0.8 -0.8 -0.6 -0.4 闭合差 频数/d 0.4 0.6 0.8 -0.8 -0.6 -0.4 闭合差 可见：左图误差分布曲线较高 且陡峭，精度高 右图误差分布曲线较低 且平缓，精度低 停止 返回

第三节 衡量精度的指标 一、方差/中误差 方差： 中误差： 面积为1 第三节 衡量精度的指标 一、方差/中误差 f() 0.4 0.6 0.8 -0.8 -0.6 -0.4 闭合差 面积为1 方差： 中误差： 提示： 越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。 停止 返回

方差的估值：

二、平均误差 在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望。 与中误差的关系： 停止 返回

f() 闭合差 50% 三、或然误差 停止 返回

四、极限误差 四、相对误差 中误差与观测值之比，一般用1/M表示。

第四节 协方差传播律 一、协方差 对于变量X，Y，其协方差为： 停止 返回

表示X、Y间互不相关，对于正态分布而言，相互独立。

对于向量X=[X1，X2，……Xn]T，将其元素间的方差、协方差阵表示为： 矩阵表示为： 方差协方差阵 停止 返回

特点：I 对称 II 正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 对角元 相等时，为等精度观测。

若： 若DXY=0，则X、Y表示为相互独立的观测量。

二、观测值线性函数的方差 已知： 那么： 证明：设： 那么： 停止 返回

停止 返回

例1: 设 ，已知 ， 求 的方差 。 例2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已知每公里观测中误差等于±5.0mm,欲使平差后线路中点高程中误差不大于±10mm,问该路线长度最多可达几公里? 停止 返回

二、多个观测值线性函数的协方差阵 已知： 停止 返回

例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。 例4：设有函数， 已知 求 停止 返回

四 、非线性函数的情况 设有观测值X的非线性函数： 已知：

将Z按台劳级数在X0处展开： 停止 返回

例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知点无误差，测角中误差为m，边长中误差ms，试推导P点的点位中误差。 A B P  ms s mu mp 停止 返回

协方差传播应用步骤: 根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式 写出观测量的协方差阵 对函数进行线性化 协方差传播 停止 返回

协方差传播在测量中的应用 一、水准测量的精度 停止 返回 B A a1 b1 a2 b2 a b aN bN … TP1 TP2 TPN-1 1（s) 2(s) … N(s) A B TP1 TP2 TPN-1 停止 返回

作业1、在高级水准点A、（高程为真值）间布设水准路 线，如下图，路线长分别为 ，设每公里观测高差的中误差为 ，试求： （1）将闭合差按距离分配之后的p1、p2点间高差的中误差； （2）分配闭合差后P1点的高程中误差。 A P1 P2 B 作业2、在相同条件下，观测两个角度A=150000，B=750000，设对A观测4个测回的测角精度（中误差）为3，问观测9个测回的精度为多少？ 停止 返回

第七节 权与定权的常用方法 一、权的定义 称为观测值Li的权。权与方差成反比。

（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个0。 （四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。

二、单位权中误差 三、常用的定权方法 1、水准测量的权 或

2、边角定权 停止 返回

第八节 协因数与协因数传播律 一、协因数与协因数阵

不难得出： QXX为协因数阵

特点：I 对称，对角元素为权倒数 II 正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 为等精度观测，单位阵。

二、权阵

第三章 平差数学模型与最小二乘原理 第一节 测量平差概述 第二节 测量平差的数学模型 第三节 参数估计与最小二乘原理 停止 返回

第一节 测量平差概述 一、必要观测、多余观测 确定平面三角形的形状 确定平面三角形的形状与大小 观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有 种选择 确定平面三角形的形状与大小 s1 s3 s2 6个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。 停止 返回

确定如图四点的相对高度关系 必须有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等 A D C B h1 h6 h5 h2 h4 h3 必须有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等 必要观测: 能够唯一确定一个几何模型所必要的观测 一般用t表示。 特点: 给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。 必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。 确定几何模型最大独立观测个数 停止 返回

确定几何模型最大独立观测个数为t, 那么再多进行一个观测就 相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。 观测值: 为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际 观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。 n<t，则无法确定模型 n=t，唯一确定模型，不能发现粗差。 n>t,，可以确定模型，还可以发现粗差。 多余观测: 观测值的个数n与必要观测个数t之差 一般用r表示，r=n-t。

二、测量平差 必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。 停止 返回 实际上： A D C B h1 h6 h5 h2 h4 h3

第二节 测量平差的数学模型 一、条件平差法 二、间接平差法 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。 即为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程个数。 二、间接平差法  选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，成为间接平差法。 停止 返回

上式就是间接平差的函数模型。尽管间接平差法是选了t个独立参数，但多余观测数不随平差不同而异，其自由度仍是r=n-t。 三、 附有参数的条件平差法  设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一个条件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有参数的条件平差法。 上式为附有参数的条件平差法的函数模型。   此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。 停止 返回

四、 附有限制条件的间接平差法 如果进行间接平差，就要选出t个独立量为平差参数，按每一个观测值与所选参数间函数关系，组成n个观测方程。如果在平差问题中，不是选t个而是选定u>t个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。在选定u>t个参数进行平差时，除了建立n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此平差方法为附有限制件的间接平差法。 停止 返回

五、 平差的随机模型 函数模型 数学模型 随机模型： 停止 返回

第三节 函数模型的线性化 条件方程的综合形式为： 将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及以上项： 为了线性化，取X的近似值： 第三节 函数模型的线性化 条件方程的综合形式为： 为了线性化，取X的近似值： 取 的初值： 将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及以上项：

停止 返回

一、条件平差法 二、间接平差法

三、 附有参数的条件平差法 四、 附有限制条件的间接平差法

第四节 参数估计与最小二乘原理 一、 参数估计及其最优性质 对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差为例： 条件的个数r=n-t <n，即方程的个数少，求解的参数多，方程多解。其它模型同。  为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。  数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘估计。 停止 返回

例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为： 实际上：

写成矩阵： 间接平差函数模型

二、 最小二乘原理 按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方和达到最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释，两种估计准则的估值相同。    设观测向量为L，L为n维随机正态向量，其数学期望与方差分别为： 停止 返回

以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与E（）=0得： 其似然函数为： 以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与E（）=0得： 按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大值时的 作为X的估计量。 停止 返回

由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小值时，lnG才能取得极大值，换言之， 的估计量应满足如下条件： 即最小二乘原则。 停止 返回

第 四 章 条件 平 差 第一节 条件平差原理 第二节 条件方程 第三节 精度评定 第四节 水准网平差示例 停止 返回

第一节 条件平差原理 一、基础方程和它的解 数学模型 按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数： 停止 返回

求其一阶偏导数，并令其为0： 上式也称为法方程式 停止 返回

二、条件平差的计算步骤 根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r。 解算法方程，求出联系数K值。 将K值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值 为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。 停止 返回

B A D h1 h4 h2 h3 C

B A D h1 h4 h2 h3 C

h1=+1.596m n1=3 h2=-0.231m n2=4 h3=+4.256m n3=12 h4=-5.642m n4=6 1 2 3

第二节 条件方程 一、水准网 列条件的原则： 1、闭合水准路线 2、附合水准路线 包含的线路数最少为原则 停止 返回

B A F G E D C h1 h7 h5 h6 h3 h4 h2 h8 A O D C B h1 h3 h2 h6 h5 h4 h7 返回 停止

二、测角网 4个必要的起算数据为： 一个已知点（2个坐标） 一个方位（1个） 一个尺度（1个 两已知点（4个坐标） 停止 返回

条件类型：图形条件、圆周条件 、极条件、固定方位条件、固定边长条件、固定坐标条件 停止 返回 列条件的原则： 将复杂图形分解成典型图形。 条件类型：图形条件、圆周条件 、极条件、固定方位条件、固定边长条件、固定坐标条件 三角形 大地四边形 中心多边形 扇形

A F E D C B G 1 6 5 4 3 2 11 10 9 8 7 22 20 21 19 18 17 16 15 14 13 12 S、T

第三节 精度评定     一、计算单位权中误差 二、协因数阵 停止 返回

第四节 水准网平差示例 例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按条件平差求各点的高称平差值。 第四节 水准网平差示例 例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按条件平差求各点的高称平差值。 路线号 观测高差（m） 路线长度（km） 已知高程（m) 1 +1.359 1.1 HA=5.016 HB=6.016 2 +2.009 1.7 3 +0.363 2.3 4 +1.012 2.7 5 +0.657 2.4 6 +0.238 1.4 7 -0.595 2.5 h2 A h1 h3 h4 h5 h6 h7 P1 P2 P3 B 停止 返回

解： 1、列条件方程 停止 返回

2、定权 取C=1，则： 3、形成法方程 停止 返回

4、解算法方程 5、计算改正数 6、计算平差值 7、计算高程平差值 停止 返回

如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表 作业1： 如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表 A  o B C 1 2 3 4 5 6 P1 P2 P3 线号 高差（m） 路线长度（km） 点号 高程（m） 1 1.100 4 A 5.000 2 2.398 B 3.953 3 0.200 C 7.650 1.000   5 3.404 6 3.452 试用条件平差法求P1、P3、P3点高程的平差值 。

第 五 章 间 接 平 差 第一节 间接平差原理 第二节 误差方程 第三节 精度评定 第四节 平差示例 停止 返回

第一节 间接平差原理 一、基础方程和它的解 按函数极值的求法，极值函数： 求其一阶偏导数，并令其为0： 停止 返回

代入误差方程： 即为法方程式 停止 返回

二、间接平差法平差步骤 1、选择t个独立的未知参数 2、将每个观测值表示成未知参数的函数，形成误差方程。 3、形成法方程 4、求解法方程 5、计算改正数 6、精度评定

第二节 误差方程 一、确定待定参数的个数 水准网 测角网 测边网边角网 GPS网 采用GPS尺度与方位 不采用GPS尺度与方位 停止 返回

二、参数的选取 高程控制网：待定点的高程 平面控制网：待定点的二维坐标 三维控制网：待定点的三维坐标 停止 返回

三、误差方程的组成 i j Xi Xj hij 1、水准路线的误差方程 当i点已知时： 当j点已知时： 停止 返回

2、方向的误差方程 设j、k的坐标为未知参数： N 零方向 j k l ——定向角未知数 即：零方向的方位角 jk的方位角为： 停止 返回

Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项： 为非线性函数，要进行线性化。 对上式在初始近似值 处进行 Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项： 停止 返回

停止 返回

停止 返回

停止 返回

停止 返回

停止 返回

当j点已知时： 停止 返回

当k点已知时： 停止 返回

2、距离的误差方程 设j、k的坐标为未知参数： k jk的距离为： j 停止 返回

Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项： 为非线性函数，要进行线性化。 对上式在初始近似值 处进行 Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项： 停止 返回

停止 返回

停止 返回

停止 返回

当j点已知时： 当k点已知时： 停止 返回

第三节 精度评定 一、计算单位权中误差 二、协因数阵 停止 返回

第四节 平差示例 测角网间接平差算例： C P2 B D P1 A 第四节 平差示例 A B D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 11 10 13 14 15 16 17 18 P2 P1 测角网间接平差算例： 设有一测角三角网，A、B、C、D为已知点，P1、P2为待定点，同精度观测了18个角度，按间接平差求平差后P1、P2点的坐标及精度。已知数据见下表。 停止 返回

点名 坐标（m） 边长 方位角 X（m) Y（m) A 9684.28 43836.82 B 10649.55 31996.50 11879.60 274°39’38.4" C 19063.66 37818.86 10232.16 34°40’56.3" D 17814.63 49923.19 12168.60 95°53’29.1" 10156.11 216°49’06.5" 角度 编号 观测值 1 126°14’24.1" 7 22°02’43.0" 13 46°38’56.4" 2 23°39’46.9" 8 130°03’14.2" 14 66°34’54.7" 3 30°05’46.7" 9 27°53’59.3" 15 66°46’08.2" 4 117°22’46.2" 10 65°55’00.8" 16 29°58’35.5" 5 31°26’50.0" 11 67°02’49.4" 17 120°08’31.1" 6 31°10’22.6" 12 47°02’11.4" 18 29°52’55.4" 停止 返回

设P1、P2点的坐标作为未知参数X1、Y1、X2、Y2，根据前方交会可以求出P1、P2的近似坐标： 解：n=18, t=2*6-4-4=4, r=18-4=14 设P1、P2点的坐标作为未知参数X1、Y1、X2、Y2，根据前方交会可以求出P1、P2的近似坐标： 根据角度的误差方程： 停止 返回

V B x l 停止 返回

停止 返回 定权，P为单位阵，形成法方程为：

精度评定： 停止 返回

例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间接平差求各点的高程平差值。 路线号 观测高差（m） 路线长度（km） 已知高程（m) 1 +1.359 1.1 HA=5.016 HB=6.016 2 +2.009 1.7 3 +0.363 2.3 4 +1.012 2.7 5 +0.657 2.4 6 +0.238 1.4 7 -0.595 2.5 h2 A h1 h3 h4 h5 h6 h7 P1 P2 P3 B

解： 1、列误差方程 n=7, t=5-1-1=3, r=7-3=4 求相应的近似值 设P1、P2点的高程为未知参数 列误差方程： P1 h2 A h1 h3 h4 h5 h6 h7 P1 P2 P3 B

写成矩阵的形式： 定权，取C=1

如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表 例： 如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表  B o A C 1 6 5 4 2 3 P1 P2 P3 线号 高差（m） 路线长度（km） 点号 高程（m） 1 1.652 4.5 A 34.788 2 -0.418 3.1 B 35.259 3 0.714 3.4 C 37.825 4 1.243 3.8   5 -0.577 4.2 6 -0.786 2.5 试用间接平差法求P1、P3、P3点高程的平差值估算精度 。

解： 1、列误差方程 n=6, t=6-1-2=3, r=6-3=3 设P1、P2、P3点的高程为未知参数 求相应的近似值 列误差方程：  B o A C 1 6 5 4 2 3 P1 P2 P3 列误差方程：

定权，取C=1

第 六 章 附有参数的条件平差 第一节 基础方程和它的解 第二节 精度评定 停止 返回

一、测量平差方法回顾 （1）条件平差法 观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，条件方程个数c。 在最小二乘原则下有： 停止 返回

（2）间接平差法 观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，设t个相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n,即n个误差方程： 在最小二乘原则下有：

（3） 附有参数的条件平差法  设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一个条件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有参数的条件平差法。 上式为附有参数的条件平差法的函数模型。   此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。 停止 返回

设定未知参数的目的： （1）为了方便列立条件。 （2）为了在条件平差过程中，直接估计一 些量以及其精度。如： C P2 B D P1 A 1 3 4 5 6 7 8 9 12 11 10 13 14 15 16 17 18 P2 P1

如图： 1 2 3 4 5 6 条件平差： 其中： 其它条件如何列？

设未知参数X1 1 2 3 4 5 6 X1

特点：方程中即有观测量又有未知参数。采用改正数表示。 1 2 3 4 5 6 X1 X2 特点：方程中即有观测量又有未知参数。采用改正数表示。 将观测值的估值写成观测值与改正数之和，对非线性条件进行线性化，可形成基础方程。

二、 基础方程和它的解 基础方程： 按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数： 停止 返回

求其一阶偏导数，并令其为0： 联立 即为法方程式 停止 返回

将法方程写成矩阵的形式： 也可分别求解：

第二节 精度评定 一、计算单位权中误差

二、协因数阵 三、平差值函数的协因数 线性化：

四、附有参数的条件平差的计算步骤 根据平差问题的具体情况，设定参数（相互独立，个数小于t，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r与设定未知参数之和。 根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式。 解算法方程，求出联系数K与x值。 将K与x值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值与参数平差值。 精度评定。 为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。

第 七 章 附有限制条件的间接平差 第一节 基础方程和它的解 第二节 精度评定 停止 返回

一、 基础方程和它的解 间接平差：观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，设t个相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n，即n个误差方程： 从而可以唯一求出 由于未知参数u>t，则u个未知参数间肯定存在u-t个函数关系，称为约束条件。

联合 基础方程

按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数： 基础方程线性化形式： 按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数： 停止 返回

求其一阶偏导数，并令其为0： 法方程式 停止 返回

写成矩阵形式：

显式表示：

第二节 精度评定 一、计算单位权中误差 二、协因数阵 停止 返回

三、平差值函数的协因数

四、附有限制条件平差的间接平差计算步骤 根据平差问题的具体情况，设定参数，列出误差方程式与限制条件。 根据观测值的权组成法方程式。 解算法方程，求出联系数X与K值。 将K与x值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值与参数平差值。 精度评定。

例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间接平差求各点的高程平差值。 路线号 观测高差（m） 路线长度（km） 已知高程（m) 1 +1.359 1.1 HA=5.016 hAB=1.000 2 +2.009 1.7 3 +0.363 2.3 4 +1.012 2.7 5 +0.657 2.4 6 +0.238 1.4 7 -0.595 2.5 h2 A P3 h1 h3 h4 h5 h6 h7 P1 P2 B

解： 1、列误差方程 n=7, t=5-1-1=3, r=7-3=4 设B、P1、P2、P3点的高程为未知参数 相应的近似值 列误差方程： U=4，S=1 n=7, t=5-1-1=3, r=7-3=4 设B、P1、P2、P3点的高程为未知参数 相应的近似值 h2 A P3 h1 h3 h4 h5 h6 h7 P1 P2 B 列误差方程：

定权，取C=1 限制条件：

第 八 章 概括平差函数模型 第一节 概述 第二节 基础方程和它的解 第三节 精度评定 停止 返回

一、平差模型的回顾 （1）条件平差法 （2）间接平差法 观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，条件方程个数c。 观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，设t个相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n,即n个误差方程： 停止 返回

（3） 附有参数的条件平差法 （4）附有限制条件的间接平差法  观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有u个独立量作为参数，而0<u<t，方程总数c=r+u个。 （4）附有限制条件的间接平差法 观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，现有u个参数u>t，包含t个独立参数，则条件个数r+u,其中，有s个限制条件： 停止 返回

二、条件方程式形式 一般条件方程式,用C表示个数 限制条件式 停止 返回

（1）条件平差法: （2）间接平差法: （3） 附有参数的条件平差法 （4）附有限制条件的间接平差法 停止 返回

三、概括平差模型的引入 对于一个几何模型，独立参数的个数u 满足： 条件平差 间接平差 附有参数的条件平差 停止 返回

包含独立参数数=t 相关 附有限制条件的间接平差 概括平差 包含独立参数数<t 对于一个几何模型，可选参数的个数u： 包含独立参数数=t 相关 附有限制条件的间接平差 概括平差 包含独立参数数<t 停止 返回

四、概括平差模型 观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，现有u个参数，则条件个数r+u,其中，设u 个参数中其中可以形成s个限制条件，一般条件个数为：c=r+u-s: 线性化 c+s=r+u 停止 返回

第二节 基础方程和它的解 一、基础方程： 条件平差

独立 间接平差

独立 附有参数的条件平差

包含 t 个独立 附有限制条件的间接平差

二、基础方程的解： 按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：

代入第二式得：

条件平差

独立 间接平差

独立 附有参数的条件平差

包含 t 个独立 附有限制条件的间接平差

第三节 精度评定 一、计算单位权中误差 二、协因数阵 停止 返回

第九章 误差椭圆 第一节 概述 第二节 点位误差 第三节 误差曲线 停止 返回

y o x 第一节：概述 真位置 平差后位置 点位真位差

对 两边取数学期望： 点位方差

y o x X/ y/ 同理： 点位中误差与坐标系的选择无关。

第二节 点位误差 一、 点位误差的计算 在平面网的间接平差中，设点的坐标为未知参数：

测角网间接平差算例： A B D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 11 10 13 14 15 16 17 18 P2 P1 设有一测角三角网，A、B、C、D为已知点，P1、P2为待定点，同精度观测了18个角度，按间接平差求平差后P1、P2点的点位精度。 停止 返回

停止 返回 平差得：

停止 返回

二、任意方向的位差 y x p

第三节 误差曲线 x E y F O P

第四节 误差椭圆 x E P D F o y