第七章 动态电路的状态变量分析 7.1 电路的状态和状态变量 7.2 状态方程及其列写 7.3 状态方程的解法 第七章 动态电路的状态变量分析 7.1 电路的状态和状态变量 7.2 状态方程及其列写 7.3 状态方程的解法 7.4 应用实例：解微分方程电路

本章将给出电路的状态和状态变量的定义，讨论状态方程的列写方法和求解方法。 状态变量法不仅适用于分析线性非时变电路，而且适合用来分析线性时变电路和非线性电路。 7.1 电路的状态和状态变量 一、状态变量 状态的定义：一个电路的状态是指在某个给定时刻必须具备最少量的信息，这些信息与该时刻以后的激励，就能够完全确定以后任何时刻该电路的行为。 状态变量(state variable)：一组能够确定电路行为的最少变量。

表示成矩阵形式 是以iL和uC为变量的一阶微分方程组。 初始值iL(0+)= I0、uC(0+)=U0也可表示成 称这一阶微分方程组为RLC并联电路动态过程的状态方程(state equations)，并可简写成

其中x=[ iL uC]T称为电路的状态 x中的元素iL和uC称为状态变量 A、B —为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数 W —为输入向量 x(0+)=[ I0 U0]T —为电路的初始状态 x(0-) —电路的原始状态 根据换路定律有 x(0+)=x(0-)=x(0)=x0

（1）当w = 0，x0  0时，状态方程描述零输入响应； (a) 过阻尼情况的时域波形 (b) 过阻尼情况的状态空间轨迹 RLC并联电路的零输入响应

状态轨迹从t=0+ 的初始状态x0=[I0 U0]T开始，在t= 时终止于坐标原点 (c) 发散情况 (a) 欠阻尼情况 (b) 无阻尼情况 电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性 1.过阻尼情况: 状态轨迹从t=0+ 的初始状态x0=[I0 U0]T开始，在t= 时终止于坐标原点

（2）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线 (c) 发散情况 (a) 欠阻尼情况 (b) 无阻尼情况 （2）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线 （3）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆 （4）响应为增幅振荡情况：在t趋于 时，零输入响应成为无界，状态轨迹是向外发散的。

注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必需的初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电流完全确定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立的电感电流iL作为状态变量 即电路独立状态变量的个数 电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)。 （1）无源（RLC）电路的复杂度为n = nC + nL  lC  qL （2）有源电路复杂度的上下限为0  n  nC + nL  lC  qL

7.2 状态方程及其列写 7.2.1状态方程和输出方程 一、状态方程—一阶微分方程组 其一般形式为 矩阵形式为 7.2 状态方程及其列写 7.2.1状态方程和输出方程 一、状态方程—一阶微分方程组 其一般形式为 矩阵形式为 线性非时变动态电路，状态方程是一阶线性微分方程组 其形式为

矩阵形式为 初始条件 状态向量 —初始状态 n—状态变量xi的个数 m—输入激励wj的个数

二、输出方程的一般形式为 矩阵形式 线性非时变动态电路，输出方程是线性代数方程组 其形式为 矩阵形式 r—为输出变量yi的个数 —为输出向量

C=[cik]rn和D=[dij]rm —系数矩阵 如果电路中存在 （1）C与电压源uS组成的回路 （2）L与电流源iS组成的割集 则输出方程中将出现输出向量导数 此时输出方程的形式为

7.2.2 线性非时变动态电路状态方程的列写 直接观察 置换方法 系统法 不太复杂的电路 列写方法 复杂的电路 这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。 一、直接观察法 步骤 (1) 选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路）而不含电感（和无伴电流源支路）。 (2) 对每个电容树支确定的基本割集列写KCL方程；对每个电感连支确定的基本回路列写KVL方程。

(3) 消去以上两组方程中的非状态变量（就是将非状态变量用状态变量和激励来表示），并整理成标准形式的状态方程。 二、输出方程的列写 （1）用置换定理将每个电容C用电压源uC置换 将每个电感L用电流源iL置换 （2）将非状态变量用状态变量和输入激励表示 （3）整理成标准形式的输出方程

例7.2.1 试列出图(a)所示电路的状态方程。 (a) 解：1.直接观察法写状态方程 (1) 选1、3、4作为树支，则2、5为连支。 (2) 对电容C3确定的基本割集1列写KCL方程

对电容C4确定的基本割集2列写KCL方程 对电感L5确定的基本回路列写KVL方程 (3) 用uC3、uC4、iL5和uS表示非状态变量iR1和iR2，得到

代入基本割集和基本回路方程，有 整理成标准形式的状态方程为

2.写输出方程 若以iC3和uL5作为输出变量，则有 整理后可得标准形式的输出方程

例7.2.2 将上例电路中的电感L5改为电压控制电压源uR1，如图(a)所示。试列出电路的状态方程。 解: 按直接观察的步骤列写 （1）受控源可先按独立源处理 (2)列写基本割集1和2的KCL方程

(3) 用uC3、uC4和uS表示非状态变量iR1和iR2，得到 代入基本割集方程，有 标准形式的状态方程为

当 = 1时，状态方程将变成 因为电路中含有受控源，当 = 1时，电容电压uC3 =uS已不再独立所造成的。 由电路复杂度公式可知其独立状态变量的上下限为0  n  2。 若  1，则电路的复杂度为2，电路有两个状态变量； 若 = 1，则电路的复杂度降为1，电路只有1个状态变量

例7.2.3 试列出图(a)所示电路的状态方程。并以uR7和uR9作为输出变量，列写输出方程。 (b) 拓扑图 解：直接观察法 选支路3、4、6、7、8和9为树支；则1、2作为连支

（2）列写基本割集1和2的KCL方程 列写基本回路1和2的KVL方程 (3)非状态变量uR6、uR7、uR8和uR9用iL1、iL2、uC3、uC4和uS表示。可得

uR9的求取可应用置换定理，将电感和电容分别用电流源和电压源置换 (c) 用电流源置换图(a)中间支路 (d) 图(c)的等效电路 可得

经整理可得标准形式的状态方程 其中

因为uR7和uR9为输出 整理后标准形式的输出方程为

例7.2.4 试列出图(a)所示电路的状态方程。已知R1=R2=5，g=0.2，C=1F，L1=2H，L2=3H，M=1H。 解 直接观察列写 （1）列写基本割集KCL方程 对耦合电感支路L1确定的基本回路1列写KVL方程

对耦合电感支路L2确定的基本回路2列写KVL方程 (3) 由两个基本回路方程可解得 其中

可得标准形式的状态方程 代入具体参数，求得状态方程

置换方法：即用电流源iL置换电感L，用电压源uC置换电容C。置换后的电路成为一个电阻性电路 二、用置换法列写状态方程 置换方法：即用电流源iL置换电感L，用电压源uC置换电容C。置换后的电路成为一个电阻性电路 则：“电流源”iL两端的电压 uL=LdiL/dt用状态变量iL、uC和输入激励iS、uS表示 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 “电压源”uC中的电流 iC=CduC/dt用状态变量iL、uC和输入激励iS、uS表示 整理后，即可得出状态方程

例7.2.5 试用置换法重新列出图 (a)所示电路的状态方程 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 (a) 等效电路 由等效电路可得：

于是 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

整理可得标准形式的状态方程 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 可见与通过直接观察的例7.2.3所得结果一致。

描述非线性动态电路的方程是非线性微分方程 7.2.3 非线性动态电路的状态方程列写 描述非线性动态电路的方程是非线性微分方程 状态方程一般可写成 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 或

若储能元件为非线性元件，则选择元件特性中的控制量作为状态变量。 x(t)—为n维状态向量 w(t)—为m维激励向量 若储能元件为非线性元件，则选择元件特性中的控制量作为状态变量。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 例如荷控电容，其库伏特性为uC= f(qC)，则可选qC作为状态变量 例如磁控电感，其韦安特性为iL= f(L)，则可选L作为状态变量

非线性状态方程仍可以直接观察或采用电路分析方法等来列写。 直接观察的步骤是 （1）计算电路的复杂性，选取独立的状态变量； （2）列电路方程； （3）消除非状态变量； （4）写出标准形式的状态方程。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

解：(1)选独立的状态变量。由于图示电路为常态电路，所以独立的状态变量有五个。现选q1 ，q2，q3，4，5作为状态变量。 例7.2.6 试直接观察写出图所示电路的状态方程。已知电压源的电压为uS，两个线性非时变电阻分别为R6和R7，各非线性元件的特性方程分别为u1=f1(q1)，u2=f2(q2)，u3=f3(q3)，i4=f4(4)，i5=f5(5)。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 解：(1)选独立的状态变量。由于图示电路为常态电路，所以独立的状态变量有五个。现选q1 ，q2，q3，4，5作为状态变量。

（2） 对与电容有关的节点写出KCL方程 节点1： 节点2： 节点3： 对含电感的回路写出KVL方程 回路I： 回路II： 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 对含电感的回路写出KVL方程 回路I： 回路II：

（3） 将有关的支路方程u1=f1(q1)，u2=f2(q2)，i3=f3(q3)，i4=f4(4)，i5=f5(5)代入上述 KCL和 KVL方程，得 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

（4）消去非状态变量。由于i6，i7为非状态变量，因此应该消去。从图中可知 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

将上面二式代入（3）内的各式，便得出非线性状态方程 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 初始条件由q1(0+)，q2(0+)，q3(0+)，4(0+)，5(0+)确定。

7.3 状态方程的解法 状态方程是一阶微分方程组，最适合用数值方法（比如龙格库塔法）求解。特别是对于非线性电路和时变电路，其状态方程一般只能用数值方法求解。 线性非时变电路状态方程是一阶线性常微分方程组，其解法有三种，即时域解法、复频域解法（拉氏变换法）和数值解法。这里仅讨论一阶线性常微分方程组，即线性非时变电路状态方程的时域解法和复频域解法 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

7.3.2 线性非时变电路状态方程的时域解法 一、标量一阶微分方程解 线性非时变电路的状态方程 可视为向量一阶微分方程 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 它在形式上和标量一阶微分方程 相同 标量一阶微分方程的解法 用e-at乘式 两端，并移项得 有：

将x(0)移到等式右边，再对等号两端乘eat，得 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 将x(0)移到等式右边，再对等号两端乘eat，得

仿照求解标量一阶微分方程的方式来求解向量一阶微分方程，即求解状态方程。 二、状态方程的时域解法 仿照求解标量一阶微分方程的方式来求解向量一阶微分方程，即求解状态方程。 对状态方程 两端前乘e-At，并移项 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 有 对上式两端从0 到t积分

可见eAt可以将x(0 ) = x0转移成解xzi，所以称eAt为状态转换矩阵(state transition matrix)函数。 当w(t)=0时，有解 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 可见eAt可以将x(0 ) = x0转移成解xzi，所以称eAt为状态转换矩阵(state transition matrix)函数。 当x(0)=0时，有解 该解xzs也与eAt密切相关，所以计算eAt是求解状态方程的关键。

状态转换矩阵函数eAt作为矩阵指数函数仍然仿照指数函数 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 定义为 则状态转换矩阵函数eAt是一个和A同阶的n  n方阵，且当t = 0，eAt= e0 =1。

状态转换矩阵函数eAt的主要性质有以下几点。 (1) (2) 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 (3) (4)

计算状态转换矩阵函数eAt的方法有多种，这里只讨论拉普拉斯变换方法。 设电路的输入为零，状态方程变为 对上式取拉氏变换，得 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 于是 取拉氏反变换，有 ℒ-1 将上式的解与式 进行比较，有 eAt = ℒ-1

例7.3.1 已知 试求状态转换矩阵指数函数eAt。 解:对已知矩阵A先写出 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

取拉氏反变换，得 ℒ-1 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

(1) 对电感L确定的基本回路列写KVL方程 四、电路状态方程的时域求解 例7.3.3 图(a)所示电路中，R1=1，R2=1/4，L=1/3H，C =1/2F，uS(t)=(t)V，iL(0-)=9/5A，uC(0-)=11/5V。试对电路进行状态分析。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 (a) 解: 按直接观察的步骤列写 (1) 对电感L确定的基本回路列写KVL方程

对电容C确定的基本割集列写KCL方程 可得状态方程 代入具体参数 并有x(0+)=x(0-)=x0=[9/5 11/5]T 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 代入具体参数 并有x(0+)=x(0-)=x0=[9/5 11/5]T

然后由eAt = ℒ-1 计算状态转换矩阵函数， 在上例中已经求得 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 求得零输入响应为

求得零状态响应为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 全响应为

拉普拉斯变换方法求解电路的状态方程的步骤 7.3.2 线性非时变电路状态方程的复频域解法 拉普拉斯变换方法求解电路的状态方程的步骤 根据： 进行拉普拉斯变换，有 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 移项后可得 于是 其中 称为预解矩阵(resolvent matrix)

可知， [(s)]= eAt为状态转换矩阵 ℒ-1 对上式拉氏反变换 ℒ-1 + ℒ-1 零输入响应 零状态响应 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 eAt = ℒ-1 = ℒ-1 比较可得 可知， [(s)]= eAt为状态转换矩阵 ℒ-1

和原始状态x(0-)=[9/5 11/5] T，试求该状态方程的解x(t)。 例7.3.4 已知状态方程 和原始状态x(0-)=[9/5 11/5] T，试求该状态方程的解x(t)。 解：在例7.3.1中已求出预解矩阵 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 可得零输入响应的象函数为

零状态响应的象函数为 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。

零输入响应 ℒ-1 零状态响应 ℒ-1 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 全响应

7.4 应用实例：解微分方程电路 以二阶微分方程为例来分析解微分方程电路 图示为四个运算放大器构成的解微分方程电路，其中C1=C2=C。 7.4 应用实例：解微分方程电路 以二阶微分方程为例来分析解微分方程电路 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 图示为四个运算放大器构成的解微分方程电路，其中C1=C2=C。 利用“虚短”的特性，可知节点①、③、⑤、⑦的节点电压为零；

列出节点①、③、⑤、⑦的节点电压方程为 节点①： 节点③： 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 节点⑤： 节点⑦：

如果给出原始状态，就可以求解出状态方程，从状态方程和输出方程得到输入输出方程为 消去 后，可以得到 状态方程 输出方程 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 如果给出原始状态，就可以求解出状态方程，从状态方程和输出方程得到输入输出方程为

如果选择元件R，C的值使之满足RC=1，则 上式是二阶微分方程的一般形式。 若取k1=2，k0=1，R=3.1M，C=0.33F，f(t)取图7.4.2所示的方波时，电路的输出y(t)如图7.4.2所示。 学习不同类型功放的特点，正确识别电路。 图7.4.2 输入为方波时微分方程的解