正态分布

频率和概率概念复习 关于频率和概率： 频率：对于随机事件A，在相同的条件下进行了n次实验，事件A发生的次数为ｍ，比值ｍ/n为频率 ，记为fn(A) 概率:描述某随机事件Ａ发生的可能性大小，记为P(A) 当ｎ时，频率fn(A) 概率 P(A)

扔“硬币”实验 实验者 n m正 f n（正） 德.摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 0.5069 K.皮尔逊 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 频率具有波动性,但当n越来越大时，频率趋于某个稳定的常数(概率)，所以只要观察单位数充分多，可以将频率作为概率的估计值。

例:在某地区7岁正常发育的男孩中随机抽110个人，测量他们的身高，并以身高观察值(cm)为数据，试刻画７岁男孩身高分布。 通过例子介绍概率密度曲线的意义 例:在某地区7岁正常发育的男孩中随机抽110个人，测量他们的身高，并以身高观察值(cm)为数据，试刻画７岁男孩身高分布。

复习频数分布和频率分布性质 各个组段的频率之和（累计频率）＝１

各个直方条的面积之和＝各个组段的频率之和＝１ 频率密度图(纵坐标为频率/组距) 每个直方条的面积=纵坐标×组距=（频率/组距）×组距=频率 各个直方条的面积之和＝各个组段的频率之和＝１

频率密度图性质 身高<112cm的频率=组段[106,109)和[109,112)的频率之和＝[106,112)的直方条面积。 112cm身高<118cm的频率=[112,118)的直方条面积

频率密度图性质(n∞) 现(n110),假定在该地区随机抽了ｎ个７岁男孩并且n∞，则各个组段的频率各自的概率 身高为各个组段的概率＝各个组段的直方条面积 各个组段的面积（概率）之和为１

频率密度图性质(n∞) [115,118)的直方条面积(概率)为0.064 [118,121)的直方条面积(概率)为0.073 则身高在[115,121)的概率为 [115,121)的直方条面积= 0.064+0.073= 0.137

频率密度图性质(n∞) 身高在[115,121)的概率为[115,121)的直方条面积=0.409 问题１：能否利用组段的直方条面积计算身高在[115,122)的概率？要采取什么措施才能计算？ 问题２：身高在[115,122.5)的概率如何计算啊？

概率密度曲线 当n∞，直方条面积(频率)各自的概率 probability density curve 当n∞，直方条面积(频率)各自的概率 然后组距０时，直方条的宽度０，直方条垂直线，各个直方条顶点间的连线构成一条光滑的曲线，即：概率密度曲线，而曲线下(直方条)的总面积始终为１，身高在区间[a,b]的概率＝对应曲线段下的面积(直方条面积) 。

正态分布的概率密度 正态曲线（normal curve）：高峰位于中央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两段永远不与横轴相交的钟型曲线。 正态曲线的函数表达式 称为正态分布密度函数：

正态分布的参数 如果变量X的概率密度函数服从上述函数，则称该变量服从正态分布。记做 总体均数(位置参数) ：描述正态分布的集中趋势的位置 总体均数(位置参数) ：描述正态分布的集中趋势的位置 总体标准差(变异度参数) ：描述正态分布离散趋势， 越小，分布越集中，曲线形状越“瘦高”；反之越“矮胖”。 正态曲线的形状由 , 两个参数决定

不同参数的正态分布曲线

不同参数的正态分布曲线

正态分布曲线的特点 始终位于横轴上方 关于 左右对称，正态高峰位于中央 在 处取得该概率密度函数的最大值，在 处有拐点，表现为钟形 关于 左右对称，正态高峰位于中央 在 处取得该概率密度函数的最大值，在 处有拐点，表现为钟形 靠近 处曲线下面积较为集中,两边减少,意味着正态分布变量取值靠近 处的概率较大,两边逐渐减少 正态分布的总体偏度系数和峰度系数均为0

正态分布曲线下面积 正态分布变量X的取值为(-∞,∞) 任意两点x1，x2且(x1x2)，X在 (x1, x2)范围内取值的概率P,即正态分布曲线在(x1, x2)下面积 　特别：　　 ，则称Ｘ服从为标准正态分布 记为N(0,1) 问题：设Ｘ～N(120,4.52),求概率P(X=120)

正态分布曲线的对称性质 设Ｘ服从 ，则正态曲线在Ｘ=处对称，正态曲线(-∞, )处的曲线下面积为0.5, 更一般的情况：概率

正态分布曲线下面积 求概率 相当于正态分布曲线段(a,b)下的面积 例：求 范围内曲线下面积 理论频率(概率) 实际频率 0.90 例：求 范围内曲线下面积 理论频率(概率) 实际频率 0.90 0.8909 0.95 0.9273 0.99 0.9818

正态分布曲线下的特殊位置的面积

标准正态分布N(0,1) 对任意一个正态分布可以进行标准化变换，U变换 变换后的随机变量U服从标准正态分布, 　　　即：Ｕ~N(0,1)

标准正态分布曲线下面积 表、图

正态分布的特色点的概率

标准正态分布的概率计算 例2.18：设Ｘ服从标准正态分布， 求概率P(-0.3 <X <-1.83) 解：即：求标准正态分布曲线下在 　（-1.83，-0.30）范围内的面积

标准正态分布的概率计算 是 又如：设Ｘ服从标准正态分布，求概率 P(X>0.3) 解：标准正态分布关于X=0对称，所以 P(X>0.3)=P(X<-0.3)=

正态分布的概率计算 例2.19 例2.1中已得110名7岁男孩身高 (121.94.5)，现欲估计该地1995年身高界于 116.7cm 到119.1cm范围内的7岁男童的概率。 解：由该例的频数图可知， 可以认为7岁男孩 身高近似服从正态分布，由于本例样本量较大， 不妨假定：

正态分布的概率计算 作标准化变换： X１=116.7 X2=119.1

正态分布的概率计算(续) 7岁男童的身高界于116.7cm 到119.1cm的概率为 解：用标准化变换，得到u1=-1.16,u2=1.8

正态分布的概率计算(续) 计算概率为

正态分布应用 确定医学参考值范围 医学参考值范围---决大多数正常人的某项指标值范围 统计方法 ”正常”人群：排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群 大多数个体；90%，95%，99%等 统计方法 百分位数法:任何分布的指标 正态分布法:服从正态分布的指标 注意:根据研究背景确定单双侧范围

确定医学参考值范围 例2.21 估计某地健康成年女子的血红蛋白的95%医学参考值范围 具体步骤如下： 根据研究背景确定研究对象的入选标准和排除标准。这类研究一般要求参加体检并且要求除研究指标血红蛋白指标外，其他指标均正常的对象。 根据研究背景，确定血红蛋白过高或过低均属于不正常（双侧范围）。

确定医学参考值范围（续） 血红蛋白检测的容许误差和研究背景容许 误差的范围，确定受检者的样本量。 由于在实际研究中，总体均数和方差均不 知道的，需要用样本资料进行估计，所以 一般至少在100人以上，这样参数估计的 平均误差是资料的离散程度的１/10以下。

确定医学参考值范围（续） 如果受检指标血红蛋白近似服从正态分布，则可以用 确定其95%参考值范围； 如果受检指标血红蛋白近似服从正态分布，则可以用 确定其95%参考值范围； 如果受检指标血红蛋白呈偏态分布，则可以用百分位数P2.5～P97.5确定95%参考值范围，但样本量要充分大。 样本量充分大是相对与指标的变异程度，指标变异大，要求样本量大；指标变异程度小，要求样本量可以相对小一些。

确定医学参考值范围（续） 本例：成年正常女子200人的血清总蛋白含量（近似正态分布），得到均数 =73.5克/升，标准差S=3.9克/升。 由于样本量很大，可以用样本均数和标准差近似总体均数和标准差，按下式计算：

确定医学参考值范围（续） 下限： 上限： 即：该地成年正常女子的95%参考值范围为65.9～81.1( g/L)

确定医学参考值范围（续） 例2.22 估计某地110名健康成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围,已知 =4.2L,s=0.7L. 实现步骤如下： 确定入选标准和排除标准 由于第一秒肺通气量过低才是异常，不存在过高不正常，所以只需考虑过低的异常标准（单侧范围）

确定医学参考值范围（续） 本例：95%参考值范围计算如下： 下限： 即：健康成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围3.05Ｌ 依据原始资料，考查资料是否近似服从正态分布，本例假定近似服从正态分布，样本量也较大，采用正态分布方法确定95%参考值范围。 本例：95%参考值范围计算如下： 下限： 即：健康成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围3.05Ｌ

确定医学参考值范围小结 正态分布法 百分位数法 双侧 单侧 90 95 99 % 只有 下限 上限 只有下限 只有上限 P5~P95 P10

正态分布应用 估计频数 例2.20 某地婴儿出生平均体重为3200g，标准差为350g，如出生体重低于2500g为低体重儿，估计当年该地低体重儿所占的比例。 求出生体重X<2500的比例　 进行标准化变换 Ｐ(X<2500)=P(U<-2)， 查标准正态表得φ(-2)=0.023,即：估计当年该地低体重儿所占的比例为2.3%。

正态分布应用 质量控制图 原理：如果波动仅由个体差异或随机误差所致，则结果应服从正态分布 为控制实验误差,以 为警戒线，以 为控制线

STATA命令 模拟正态分布 set memory 20m 设Stata内存为20兆 set obs 100000 设模拟数据的样本含量为10万 gen x=invnorm(uniform()) 产生10万个服从标准正态分布的数据(x) gen y= invnorm(uniform())

STATA命令 模拟正态分布 gen z1=x+2*y 产生新的变量z1=x+2y gen z2=x-2*y 产生新的变量z1=x-2y summarize x y z1 z2,d 计算x、y、z1、z2的均数，标准差，方差