第一章 随机事件及其概率

第一章 随机事件及其概率 随机事件与样本空间 随机事件的概率 条件概率与乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 事件的独立性 第一章 随机事件及其概率 随机事件与样本空间 随机事件的概率 条件概率与乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 事件的独立性 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1.1 随机事件与样本空间 上一讲中, 我们了解到, 随机现象有其偶然性的一面, 也有其必然性的一面, 这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性, 称为随机现象的统计规律性. 而概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科. 研究随机现象, 首先要对研究对象进行观察试验. 这里的试验, 指的是随机试验. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果每次试验的可能结果不止一个, 且事先不能肯定会出现哪一个结果, 这样的试验称为随机试验. 随机试验(简称“试验”) 如果每次试验的可能结果不止一个, 且事先不能肯定会出现哪一个结果, 这样的试验称为随机试验. 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

随机试验特点: 1. 可在相同条件下重复进行; 2. 试验可能结果不止一个, 但能确定所有 的可能结果; 3. 一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现. 随机试验记为E. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

E1: 将一枚硬币连抛三次, 分别用“H” 和“T” 随机试验的例子 E1: 将一枚硬币连抛三次, 分别用“H” 和“T” 表示正面和反面, 考虑正反面出现的情况; E2: 掷一颗骰子, 考虑可能出现的点数； E3: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E4: 在一批灯泡中任取一只, 测其寿命; E5: 任选一人, 记录他的身高和体重. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

对每一随机试验, 总是在一定的试验目的下讨论试验结果的规律性. 随机试验的目的 对每一随机试验, 总是在一定的试验目的下讨论试验结果的规律性. 对于一只灯泡, 如果试验目的是检验产品是否合格, 则对其进行通电试验, 此时试验结果有“合格”和“不合格”两种情况. 如果试验目的为寿命, 则测定其寿命, 试验结果为非负实数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

试验E的所有可能结果所组成的集合称为样本空间, 记为S={e}; 试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点, 记为e. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果试验是将一枚硬币抛掷两次, 则样本空间由如下四个样本点组成: 如果试验是将一枚硬币抛掷两次, 则样本空间由如下四个样本点组成:　　 S={(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)} (H, T): (T, H): (T, T): (H, H): 其中 样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型: 第1次 第2次 H H H 在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现. T T H T T 机动 目录 上页 下页 返回 结束

则样本点是一非负数, 由于不能确知寿命的上界, 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果, 故样本空间 如果试验是测试某灯泡的寿命: 则样本点是一非负数, 由于不能确知寿命的上界, 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果, 故样本空间 S = {t : t ≥0｝ 机动 目录 上页 下页 返回 结束

调查城市居民(以户为单位)烟、酒的年支出, 结果可以用(x, y)表示, x, y分别是烟、酒年支出的元数. 这时, 样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成 . 也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档. 这时, 样本点有(高,高), (高,中), …, (低,低)等9种, 样本空间由这9个样本点构成. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

引入样本空间后, 事件便可以表示为样本空间的子集. 例如, 掷一颗骰子, 观察出现的点数 样本空间： S = {i: i=1, 2, 3, 4, 5, 6｝ 事件B就是S的一个子集 B发生当且仅当B中的样本点1, 3, 5中的某一个出现. B = {1, 3, 5} 机动 目录 上页 下页 返回 结束

随机事件 在随机试验中, 我们往往会关心某个或某些结果是否会出现. 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件”. 记作A、B、C 等. 任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

基本事件 (相对于观察目的 事 件 复合事件 如在掷骰子试验中,观察掷出的点数. 不可再分解的事件) 事件 Ai ={掷出i点} (两个或一些基本事件并在一起, 就构成一个复合事件) 复合事件 事件 B={掷出奇数点} 机动 目录 上页 下页 返回 结束

即在试验中必定发生的事件, 常用S或Ω表示; 然 事 件 两个特殊的事件: 即在试验中必定发生的事件, 常用S或Ω表示; 能 不 可 事 件 即在一次试验中不可能发生的事件, 常用φ表示. 例如, 在掷骰子试验中, “掷出点数小于7”是必然事件; 而“掷出点数8”则是不可能事件. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

对于试验E1: 将一枚硬币连抛三次, 分别用“H” 和“T” 表示正面和反面, 考虑正反面出现的情况. 以下A 、B、C即为三个随机事件: = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH}; B = “三次出现同一面”={HHH, TTT}; C = “恰好出现一次正面”={HTT, THT, TTH} 机动 目录 上页 下页 返回 结束

对于试验E4: 在一批灯泡中任取一只, 测其寿命. D = “灯泡寿命超过1000小时” = {x: 1000<x<T (小时)} 可见, 可以用文字表示事件, 也可以将事件表示为样本空间的子集, 后者反映了事件的实质, 且更便于今后计算概率. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

还应注意, 同一样本空间中, 不同的事件之间有一定的关系, 如试验E1, 当试验的结果是HHH时, 可以说事件A和B同时发生了; 但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生. 易见, 事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的, 这种关系可以用集合之间的关系来描述. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

事件的关系与运算 1. 包含关系: “A发生必导致B发生”, 记为 2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”, 记作 n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

??? 3.积事件: A与B同时发生, 记作 n个事件A1, A2,…, An同时发生, 记作 4. 差事件: A-B称为A与B的差事件, 表示事件A发生而B不发生. ??? 思考: 何时A-B= ? 何时A-B=A? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5. 互斥事件: A与B不能同时发生 6. 互逆事件 记为 , 称为A的对立事件; 易见 机动 目录 上页 下页 返回 结束

事件的运算律 1、交换律: 2、结合律: 3、分配律: 4、对偶(De Morgan)律: 推广 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹, 以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标, 试用A、B、C的运算关系表示下列事件: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

研究随机现象,不仅关心试验中会出现哪些事件,更重要的是想知道事件出现的可能性大小,也就是事件的概率. 1.2 随机事件的概率 研究随机现象,不仅关心试验中会出现哪些事件,更重要的是想知道事件出现的可能性大小,也就是事件的概率. 事件发生的可能性 越大, 概率就 越大! 概率是随机事件发生可能性大小的度量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

我们用P(A)表示事件A发生的概率,则 0≤P(A)≤1 事件发生的可能性 最大是百分之百, 此时 概率为1. 事件发生的可能性 最小是零, 此时 概率为0. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义 事件A在n次重复试验中出现nA次, 则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率, 记为fn(A). 即 概率的统计定义 定义 事件A在n次重复试验中出现nA次, 则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率, 记为fn(A). 即 实践证明: 当试验次数n增大时, fn(A) 逐渐趋向一个稳定值. 可将此稳定值记作P(A), 作为事件A的概率. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

历史上曾有人做过试验, 试图证明抛掷匀质硬币时, 出现正反面的机会均等. 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005 机动 目录 上页 下页 返回 结束

频率的性质: (1) ; (2) ; (3) 可加性: 若AB= , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义 若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A, 均赋予一实数P(A), 集合函数P(A)满足条件: 概率的公理化定义 注意到不论是对概率的直观理解, 还是频率定义方式,作为事件的概率, 都应具有前述三条基本性质, 在数学上, 我们就可以从这些性质出发, 给出概率的公理化定义. 定义 若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A, 均赋予一实数P(A), 集合函数P(A)满足条件: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(3) 可列可加性: 设A1, A2, …, 是一列两两互不相容的事件, 即AiAj＝, (ij), i, j＝1, 2, …, 有 (1) 非负性: 1≥P(A)≥0; (2) 规范性: P(S)＝1; (3) 可列可加性: 设A1, A2, …, 是一列两两互不相容的事件, 即AiAj＝, (ij), i, j＝1, 2, …, 有 则称P(A)为事件A的概率. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

公理3说明, 对于任何互不相容(互斥)的事件序列, 这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和. 公理 2 P(S)=1 　 (2)　 公理 3 若事件A1, A2 ,…两两互不相容, 则有 　　 (3) 这里事件个数可以是有限或无限的. 公理 1 0 P(A) 1 　　 (1) 公理1说明, 任一事件的概率介于0与1之间; 公理2说明, 必然事件的概率为1; 公理3说明, 对于任何互不相容(互斥)的事件序列, 这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

由概率的三条公理, 我们可以推导出概率的若干性质. 下面我们就来给出概率的一些简单性质. 在说明这些性质时, 为了便于理解, 我们常常借助于文氏图. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设边长为1个单位 的正方形的 面积表示样本空间 S 文氏图 其中封闭曲线 围成的一切点 的集合表示事件 A 把图形的面积理解为相应事件的概率　　　　 Ａ 机动 目录 上页 下页 返回 结束

概率的性质 性质1　对任一事件A, 有　　　　 　　　　　　　　 (1) Ａ 因为 Ａ 1=P(S)=P(A)+P( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

性质1在概率的计算上很有用, 如果正面计算事件A的概率不容易, 而计算其对立事件 的概率较易时, 可以先计算 , 再计算P(A). 　　　　　　　　 (1) 性质1在概率的计算上很有用, 如果正面计算事件A的概率不容易, 而计算其对立事件 的概率较易时, 可以先计算 , 再计算P(A). 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 将一颗骰子抛掷4次, 问至少出一次“6”点的概率是多少? 令事件A={至少出一次“6”点} A发生 {出1次“6”点} {出2次“6”点} {出3次“6”点} {出4次“6”点} 直接计算A的概率较麻烦, 我们先来计算A的对立事件 ={4次抛掷中都未出“6”点} 的概率. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

由于将一颗骰子抛掷4次, 共有 =1296种等可能结果, 而导致事件 ={4次抛掷中都未出“6”点} 的结果数有 =625种 而导致事件 ={4次抛掷中都未出“6”点} 的结果数有 =625种 因此 = =0.482 于是 =0.518 机动 目录 上页 下页 返回 结束

性质2　　　　　 　　　　　　　　 (2) 即不可能事件的概率为0.　　 令 再利用性质1及公理2即得. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

性质3 设Ａ、B是两个事件, 若 , 则 有 (3) (4) 由可加性 再由 移项得(3), 便得(4). 有 (3) (4) 由可加性 移项得(3), 再由 便得(4). 机动 目录 上页 下页 返回 结束

性质4　对任意两个事件A、B, 有 (5) 又因 再由性质3便得(5). 机动 目录 上页 下页 返回 结束

加法公式及其应用 事件互斥时的加法公式 A B 事件相容时的加法公式 B 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC) -P(AC) + P(ABC) 推广到多个事件 三个事件和的概率为 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC) -P(AC) + P(ABC) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

n个事件和的概率为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

B={所取元件中至少有一电感} 所求概率为P(AB) 例 设元件盒中装有50个电阻, 20个电感, 30个电容, 从盒中任取30个元件, 求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率. 理解题意, 用字母表示事件 解: 设A={所取元件中至少有一电阻} B={所取元件中至少有一电感} 所求概率为P(AB) 导出所求事件概率 的计算公式 …... 电阻50个, 电容30个,电感20个 机动 目录 上页 下页 返回 结束

从盒中任取30个元件, 求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率. 代入数据计算 电阻50个, 电容30个,电感20个 …... 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 某市有甲、乙、丙三种报纸, 订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%, 其中有10%的人同时定甲、乙两种报纸 例 某市有甲、乙、丙三种报纸, 订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%, 其中有10%的人同时定甲、乙两种报纸. 没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人, 他至少订有一种报纸的概率. 解 设A、B、C分别表示选到的人订了甲、 乙、丙报 机动 目录 上页 下页 返回 结束

假定某个试验有有限个可能的结果 e1, e2, …, eN , 古典概型与概率 假定某个试验有有限个可能的结果 e1, e2, …, eN , 假定从该试验的条件及实施方法上去分析, 我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei , 比任一其它结果, 例如ej , 更有优势, 则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会, 即1/N的出现机会. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

试验结果 e1, e2, …, eN 常常把这样的试验结果称为“等可能的”. 我无所 偏爱！ e1, e2, …, eN 你认为哪个 结果出现的 可能性大？ 常常把这样的试验结果称为“等可能的”. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如, 一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1－10. 把球搅匀, 蒙上眼睛, 从中任取一球 例如, 一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1－10. 把球搅匀, 蒙上眼睛, 从中任取一球. 10个球中的任一个被取出的机会是相等的, 均为1/10. 8 5 9 6 1 4 2 3 10 7 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(1) 有限性: 样本空间S＝{e1, e2, … , en}; (2) 等可能性: P(e1)=P(e2)=…=P(en). 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1－10. 把球搅匀, 蒙上眼睛, 从中任取一球. 古典概型中事件的概率 一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1－10. 把球搅匀, 蒙上眼睛, 从中任取一球. 记 A={摸到2号球} P(A)=? 2 P(A)=1/10 2 3 4 7 9 10 8 6 1 5 记 B={摸到红球} P(B)=? 1 3 2 4 5 6 P(B)=6/10 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当我们要求“摸到红球”的概率时, 只要找出它在静态时相应的比例. 记 B={摸到红球} P(B)=6/10 这里实际上是从“比例” 转化为“概率” 2 3 4 7 9 10 8 6 1 5 当我们要求“摸到红球”的概率时, 只要找出它在静态时相应的比例. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成, 事件A由k个样本点组成. 则定义事件A的概率为: P(A)=k/n= S中的样本点总数 称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法. 这样就把求概率问题转化为计数问题. 排列组合是计算古典概率的重要工具. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上, 并且将卡片放入同一盒中, 现从盒中任意一张一张地将卡片取出, 并将其按取到的顺序排成一列, 假设排列结果恰好拼成一个英文单词: 问: 在多大程度上认为这样的结果 是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术?

这个概率很小, 这里算出的概率有如下的实际意义: 如果多次重复这一抽卡试验, 则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次. 解 七个字母的排列总数为7! 拼成英文单词SCIENCE 的情况数为 故该结果出现的概率为: 这个概率很小, 这里算出的概率有如下的实际意义: 如果多次重复这一抽卡试验, 则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了, 人们有比较大的把握怀疑这是魔术. 具体地说, 可以有99.9%的把握怀疑这是魔术. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 设有N件产品, 其中有M件次品, 现从这N件中任取n件, 求其中恰有k件次品的概率. 解：令B={恰有k件次品} P(B)=? 次品 正品 M件次品 N-M件 这是一种无放回抽样. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 (分球问题)将3个球随机的放入3个盒子中去, 问: (1)每盒恰有一球的概率是多少? (2)空一盒的概率是多少? 解 设A: 每盒恰有一球, B:空一盒 一般地, 把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm), 则每盒至多有一球的概率是: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

实际上, 许多随机试验的结果并不都是有限个, 而且, 即使是有限个, 也未必是等可能的. 只考虑有限个等可能样本点的古典方法显然是不够的. 概率的几何意义 实际上, 许多随机试验的结果并不都是有限个, 而且, 即使是有限个, 也未必是等可能的. 只考虑有限个等可能样本点的古典方法显然是不够的. 把等可能推广到无限个样本点场合, 人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法——几何方法. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1、设样本空间S是平面上某个区域, 它的面积记为 ; 几何方法的要点是: 1、设样本空间S是平面上某个区域, 它的面积记为 ; 2、向区域S上随机投掷一点, 这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入S 内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例, 而与这部分区域的位置和形状无关. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

, 则向区域S上随机投掷一点, 该点落在区域A的概率为 3、设事件A是S的某个区域, 它的面积为 , 则向区域S上随机投掷一点, 该点落在区域A的概率为 (*) 4、假如样本空间S可用一线段, 或空间中某个区域表示, 并且向S上随机投掷一点的含义如前述, 则事件A的概率仍可用(*)式确定, 只不过把 理解为长度或体积即可. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解 设X、Y分别表示甲乙两人的到达时刻, 从9时算起, 单位取分钟, 则 两人会面的条件是 例 (约会问题)甲乙两人约定于9时到10时之间在某地会面, 先到的等20分钟, 过时离去. 假定每个人在指定的1小时内的任一时刻到达是等可能的, 求这两人能会面的概率. 解 设X、Y分别表示甲乙两人的到达时刻, 从9时算起, 单位取分钟, 则 两人会面的条件是 y 60 A 20 20 60 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1.3 条件概率与乘法公式 条件概率 在解决许多概率问题时, 往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率, 将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) ≠ P(A) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

已知事件B发生, 此时试验所有可能结果构成的集合就是B, 例如, 掷一颗均匀骰子, A={掷出2点}, B={掷出偶数点}, P(A)=1/6, P(A|B)=? 掷骰子 已知事件B发生, 此时试验所有可能结果构成的集合就是B, B中共有3个元素, 它们的出现是等可能的, 其中只有1个在集A中, 于是P(A|B)= 1/3. 容易看到 P(A|B) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义 设A、B是两个事件, 且P(B)>0, 则 称 (1) 为在事件B发生的条件下, 事件A的条件概率. 定义 设A、B是两个事件, 且P(B)>0, 则 称 (1) 若事件B已发生, 则为使A也发生, 试验结果必须是既在B 中又在A中的样本点, 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间, 于是有(1). 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P[(A1+…+An )| B] = P(A1|B)+ …+P(An|B) 条件概率的性质 设B是一事件, 且P(B)>0, 则 1. 对任一事件A, 0≤P(A|B)≤1; 2. P (S | B) =1; 3.设A1, …, An互不相容, 则 P[(A1+…+An )| B] = P(A1|B)+ …+P(An|B) 前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率. 请自行写出. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P(B)>0 1) 用定义计算: 掷骰子 P(A|B）= 条件概率的计算 P(B)>0 1) 用定义计算: 2) 从加入条件后改变了的情况去算 掷骰子 例：A={掷出2点}, B={掷出偶数点} P(A|B）= 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数 B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解: 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 例 掷两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 应用定义 解法1: 解法2: 在B发生后的 缩减样本空间 中计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 乘法公式 由条件概率的定义: 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 将A、B的位置对调, 有 (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率 若 P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A) 而 P(AB)=P(BA) 故 P(A)>0, 则P(AB)=P(A)P(B|A) (3) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意P(AB)与P(A|B)的区别！ 设B={零件是乙厂生产} A={是标准件} 例 甲乙两厂共同生产1000个零件, 其中300件是乙厂生产的. 而在这300个零件中, 有189个是标准件, 现从这1000个零件中任取一个, 问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少? 设B={零件是乙厂生产} 甲、乙共生产 1000 个 300个 乙厂生产 189个是 标准件 300个 乙厂生产 A={是标准件} 所求为P(AB). 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设B={零件是乙厂生产} A={是标准件} B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件. 求的是 P(A|B). 甲、乙共生产 1000 个 189个是 标准件 300个 乙厂生产 所求为P(AB). 若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?” B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件. 求的是 P(A|B). 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解：设A={能活20年以上}, B={能活25年以上} 例 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少? 解：设A={能活20年以上}, B={能活25年以上} 所求为P(B|A). 依题意, P(A)=0.8, P(B)=0.4 机动 目录 上页 下页 返回 结束

=P(A1)P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1) 推广到多个事件的乘法公式: 当P(A1A2…An-1)>0时, 有 P (A1A2…An） =P(A1)P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ” 一场精彩的足球赛将要举行, 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去, 只好用抽签的方法来解决.　　　 入场 券 5张同样的卡片, 只有一张上写有“入场券”, 其余的什么也没写. 将它们放在一起, 洗匀, 让5个人依次抽取. “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ” 后抽比先抽的确实吃亏吗? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.” “大家不必争先恐后, 你们一个一个 按次序来, 谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.” 到底谁说的对呢? 让我们用概率论的知识来计算一下, 每个人抽到“入场券”的概率到底有多大? “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.” 机动 目录 上页 下页 返回 结束

则 表示“第i个人未抽到入场券” 也就是说, 第1个人抽到入场券的概率是1/5. 我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1, 2, 3, 4, 5. 则 表示“第i个人未抽到入场券” 显然, P(A1)=1/5，P( )＝4/5 也就是说, 第1个人抽到入场券的概率是1/5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

也就是要想第2个人抽到入场券, 必须第1个人未抽到, 由于 因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到. 由乘法公式 也就是要想第2个人抽到入场券, 必须第1个人未抽到, 计算得: P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5 机动 目录 上页 下页 返回 结束

＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 也就是说, 抽签不必争先恐后. 同理, 第3个人要抽到“入场券”, 必须第1、第2个人都没有抽到. 因此 ＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5. 这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 也就是说, 抽签不必争先恐后. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

这一讲, 我们介绍了条件概率的概念, 给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式, 它在计算概率时经常使用, 需要牢固掌握. 我们说, 在事件B发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于A的无条件概率. 但是, 会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢? 这个问题留待下一节讨论. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1.4 全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B) 例 有三个箱子, 分别编号为1, 2, 3, 1号箱装有1个红球4个白球, 2号箱装有2红3白球, 3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱, 从中任意摸出一球, 求取得红球的概率. 解：记 Ai={球取自i号箱}, i=1, 2, 3; B ={取得红球} 1 2 3 B发生总是伴随着A1, A2, A3 之一同时发生, 即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B两两互斥 运用加法公式得 P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B) 对求和中的每一项 运用乘法公式得 将此例中所用的方法推广到一般的情形, 就得到在概率计算中常用的全概率公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

全概率公式 　 设A1, A2,…, An是两两互斥的事件, 且P(Ai)>0, i =1, 2,…, n, 另有一事件B, 它总是与A1, A2,…, An之一同时发生, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

则对任一事件B, 有 称满足上述条件的A1, A2, …, An为完备事件组. 　 设S为随机试验的样本空间, A1, A2, …, An是两两互斥的事件, 且有P(Ai)>0, i =1, 2, …, n, 则对任一事件B, 有 称满足上述条件的A1, A2, …, An为完备事件组. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和. 全概率公式的来由, 不难由上式看出: “全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和. 它的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下直接计算P(B)不易, 但B总是伴随着某个Ai出现, 适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1, 2,…, n), 如果B是由原因Ai所引起, 则B发生的概率是 P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 每一原因都可能导致B发生, 故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和, 即全概率公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

由此可以形象地把全概率公式看成为 “由原因推结果”, 每个原因对结果的发生有一定的“作用”, 即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 . A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 B 诸Ai是原因 B是结果 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3) 例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落的概率为0.2, 被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 设B={飞机被击落} Ai={飞机被i人击中}, i=1, 2, 3 求解如下: 则 B=A1B+A2B+A3B 依题意， P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

为求P(Ai ), 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1, 2, 3 可求得: 将数据代入计算得: P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B |A3) 于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B |A3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 即飞机被击落的概率为0.458. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

实际中还有下面一类问题, 是 “已知结果求原因” 1 2 3 或者问: 某人从任一箱中任意摸出一球, 发现是红球, 求该球是取自1号箱的概率. 1 2 3 1红4白 或者问: 该球取自哪号箱的可能性最大? 这一类问题在实际中更为常见, 它所求的是条件概率, 是已知某结果发生条件下, 求各原因发生可能性大小. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

有三个箱子, 分别编号为1, 2, 3, 1号箱装有1个红球4个白球, 2号箱装有2红球3白球, 3号箱装有3红球 有三个箱子, 分别编号为1, 2, 3, 1号箱装有1个红球4个白球, 2号箱装有2红球3白球, 3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱, 从中任意摸出一球, 发现是红球, 求该球是取自1号箱的概率. ? 1红4白 2 3 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

某人从任一箱中任意摸出一球, 发现是红球, 求该球是取自1号箱的概率. 2 3 1红4白 ? 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B={取得红球} 求P(A1|B) 运用全概率公式 计算P(B) 将这里得到的公式一般化, 就得到 贝叶斯公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下, 寻找导致B发生的每个原因的概率. 贝叶斯公式 　 设A1, A2,…, An是两两互斥的事件,且P(Ai)>0, i=1, 2,…, n, 另有一事件B, 它总是与A1, A2,…, An 之一同时发生, 则 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下, 寻找导致B发生的每个原因的概率. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

贝叶斯公式在实际中有很多应用, 它可以帮助人们确定某结果(事件B)发生的最可能原因. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 某一地区患有癌症的人占0. 005, 患者对一种试验反应是阳性的概率为0. 95, 正常人对这种试验反应是阳性的概率为0 例 某一地区患有癌症的人占0.005, 患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95, 正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04, 现抽查了一个人, 试验反应是阳性, 问此人是癌症患者的概率有多大? 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}， 求解如下: 则 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04 求P(C|A). 机动 目录 上页 下页 返回 结束

代入数据计算得: P(C｜A)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 由贝叶斯公式, 可得 代入数据计算得: P(C｜A)= 0.1066 现在来分析一下结果的意义. 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义? 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果不做试验, 抽查一人, 他是患者的概率 P(C)=0.005 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义? 如果不做试验, 抽查一人, 他是患者的概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是0.95, 若试验后得阳性反应, 则根据试验得来的信息, 此人是患者的概率为 P(C｜A)= 0.1066 从0.005增加到0.1066, 将近增加约21倍. 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性, 此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066 即使检出阳性, 尚可不必过早下结论有癌症, 这种可能性只有10.66% (平均来说, 1000个人中大约只有107人确患癌症), 此时医生常要通过再试验来确认. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在贝叶斯公式中, P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的验前概率和验后概率. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化. P(Ai)(i=1, 2,…, n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下, 人们对诸事件发生可能性大小的认识. 当有了新的信息(知道B发生), 人们对诸事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如, 某地发生了一个案件, 怀疑对象有甲、乙、丙三人. 在不了解案情细节(事件B)之前, 侦破人员根据过去的前科, 对他们作案的可能性有一个估计, 设为 偏小 P(A1) P(A2) P(A3) 但在知道案情细节后, 这个估计就有了变化. 知道B 发生后 P(A1 | B) P(A2 | B) P(A3 | B) 最大 比如原来认为作案可能性较小的某甲, 现在变成了重点嫌疑犯. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

小结 条件概率 缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1.5 事件的独立性 先看一个例子: 将一颗均匀骰子连掷两次, A={第二次掷出6点}, B={第一次掷出6点}, 设 显然 P(A|B)=P(A) 这就是说, 已知事件B发生, 并不影响事件A发生的概率, 这时称事件A、B独立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性, 比用 P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B) P(AB)=P(B)P(A|B) 用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性, 比用 P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B) 更好, 它不受P(B)>0或P(A)>0的制约. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

两事件独立的定义 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A)P(B) 则称A、B独立, 或称A、B相互独立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

问事件A、B是否独立? 解： P(B)=26/52=1/2 P(AB)=2/52=1/26 说明事件A、B独立. 例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 问事件A、B是否独立? 解： 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2 P(AB)=2/52=1/26 可见, P(AB)=P(A)P(B) 说明事件A、B独立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的, 也可以通过计算条件概率去做: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 则 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 P(A)= P(A|B), 说明事件A、B独立. 在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 甲、乙两人向同一目标射击, 记 A={甲命中}, B={乙命中}, A与B是否独立? 例如 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率, 故认为A、B独立. (即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

又如: 因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响. 一批产品共n件, 从中抽取2件, 设 Ai={第i件是合格品} i=1, 2 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的, 则A1 与A2不独立. 因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

即: 若A、B互斥, 且P(A)>0, P(B)>0, 请问: 如图的两个事件是独立的吗? 我们来计算: P(AB)=0 而P(A) ≠0, P(B) ≠0 P(AB) ≠ P(A)P(B) 即 故A、B不独立 即: 若A、B互斥, 且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立. 反之, 若A与B独立, 且P(A)>0, P(B)>0, 则A 、B不互斥. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P( S) =P( )P(S)=0 与S独立且互斥 不难发现, 与任何事件都独立. 不难发现, 与任何事件都独立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设A、B为互斥事件, 且P(A)>0, P(B)>0,下面四个结论中, 正确的是： 根据独立与互斥的区别和联系, 做如下练习. 设A、B为互斥事件, 且P(A)>0, P(B)>0,下面四个结论中, 正确的是： 1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 设A、B为独立事件, 且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中, 正确的是： 1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

=P(A)[1- P(B)]= P(A) P( ) 容易证明, 若两事件A、B独立, 则 也相互独立. A、B独立 证明: 仅证A与 独立 P(A )= P(A - A B) 概率的性质 = P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B) =P(A)[1- P(B)]= P(A) P( ) 故A与 独立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P(AB)= P(A)P(B) 四个等式同时 P(AC)= P(A)P(C) 成立, 则称事件 多个事件的独立性 将两事件独立的定义推广到三个事件: 对于三个事件A、B、C, 若 P(AB)= P(A)P(B) 四个等式同时 P(AC)= P(A)P(C) 成立, 则称事件 P(BC)= P(B)P(C) A、B、C相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 独立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推广到n个事件的独立性定义, 可类似写出: 包含等式总数为： 设A1, A2, …, An是 n个事件, 如果对任意k (1<k n), 任意1 i1<i2< …<ik n, 具有等式 则称A1, A2, …, An为相互独立的事件. 包含等式总数为： 机动 目录 上页 下页 返回 结束

请注意多个事件两两独立与相互独立 的区别与联系 对n(n>2)个事件 相互独立 两两独立 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

独立性的概念在计算概率中的应用 记 Ai={第i个人破译出密码} i=1, 2, 3 所求为 P(A1+A2+A3) 对独立事件, 许多概率计算可得到简化： 例 三人独立地去破译一份密码, 已知各人能译出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4, 问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少? 解：将三人编号为1, 2, 3, 记 Ai={第i个人破译出密码} i=1, 2, 3 所求为 P(A1+A2+A3) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

已知P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4 记 Ai={第i个人破译出密码} i=1, 2, 3 所求为 P(A1+A2+A3) 1 已知P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3) 3 2 =1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)] 机动 目录 上页 下页 返回 结束

n个独立事件和的概率公式: 设事件 相互独立,则 P(A1+…+An) 也就是说, n个独立事件至少有一个发生 设事件 相互独立,则 P(A1+…+An) 也相互独立 也就是说, n个独立事件至少有一个发生 的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P(A1+…+An) =1- (1-p1 ) …(1-pn ) 发生的 概率分别为 则“ 至少有一个发生”的概率为 P(A1+…+An) =1- (1-p1 ) …(1-pn ) 类似可以得出: 至少有一个不发生”的概率为 “ =1-p1 … pn 机动 目录 上页 下页 返回 结束