3.5 連鎖律

3.5 連鎖律 學習目標 用連鎖律求導數。 用廣義乘冪律求導數。 寫出最簡化的導數。 用導數求解實際生活問題。 用微分法則來微分代數函數。 第三章　微分 P.3-43

連鎖律 在本節，我們將學到一個很好用的微分法則，即連鎖律 (Chain Rule)。它可用來求合成函數的導數，且增加在 3.2 和 3.4 節法則的新功能。 第三章　微分 P.3-43

連鎖律 例如，比較下列的函數時，在左邊的函數不用連鎖律就可微分，在右邊的函數最好用連鎖律來微分。 第三章　微分 P.3-43

連鎖律 第三章　微分 P.3-43

dy/dx ＝ (dy/du)(du/dx) 連鎖律 基本上，連鎖律是指如果 y 的變化量為 u 的 dy/du 倍快，而 u的變化量為 x 的 du/dx 倍快，則 y 的變化量為 x 的 倍快，如圖 3.28 所示。使用 dyYdx 表示導數的好處就是容易記住微分法則 (如連鎖律)。例如，在公式 dy/dx ＝ (dy/du)(du/dx) 中，可想像 du 被約掉。 第三章　微分 P.3-43~3-44

連鎖律 第三章　微分 P.3-43 圖3.28

連鎖律 使用連鎖律時，可將合成函數 y ＝ f(g(x)) 或 y ＝ f(u) 看成兩部分——內部和外部，見以下的說明。 連鎖律指出 y ＝ f(u) 的導數等於外部函數對內部函數 u 的導數，再乘以內部函數的導數，也就是 y = f (u)  u 。 第三章　微分 P.3-44

範例 1　分解合成函數 將各函數寫成兩個函數的合成。 第三章　微分 P.3-44

分解函數的正確方法不只一種，以下只是其中的一種。 範例 1　分解合成函數 （解） 分解函數的正確方法不只一種，以下只是其中的一種。 第三章　微分 P.3-44

將各個函數寫成兩個函數的合成，其中 y ＝ f(g(x))。 檢查站 1 將各個函數寫成兩個函數的合成，其中 y ＝ f(g(x))。 第三章　微分 P.3-44

範例 2　使用連鎖律 求 y ＝ (x2 ＋ 1)3 的導數。 第三章　微分 P.3-44

使用連鎖律，務必先確認何者為內部函數 u。 範例 2　使用連鎖律 （解） 使用連鎖律，務必先確認何者為內部函數 u。 由連鎖律，可得到導數如下所示。 第三章　微分 P.3-44

並求導數來驗算範例 2 的結果，是否得到相同的答案？ 學習提示 試著展開函數得到 y ＝ x6 ＋ 3x4 ＋ 3x2 ＋ 1 並求導數來驗算範例 2 的結果，是否得到相同的答案？ 第三章　微分 P.3-44

檢查站 2 求 y ＝ (x3 ＋ 1)2 的導數。 第三章　微分 P.3-44

廣義乘冪律 範例 2 的函數為合成函數的一般類型，也就是形式如下的冪函數。 y = [u(x)]n 微分這種函數的法則稱為廣義乘冪律 (General Power Rule)，它是連鎖律的一種特例。 第三章　微分 P.3-45

廣義乘冪律 第三章　微分 P.3-45

廣義乘冪律（證明） 應用連鎖律和基本乘冪律如下所示。 第三章　微分 P.3-45

範例 3　使用廣義乘冪律 求 f(x) ＝ (3x － 2x2)3 的導數 第三章　微分 P.3-45

內部函數為 u ＝ 3x － 2x2，所以，由廣義乘冪律可得 範例 3　使用廣義乘冪律 （解） 內部函數為 u ＝ 3x － 2x2，所以，由廣義乘冪律可得 第三章　微分 P.3-45

檢查站 3 求 y ＝ (x2 ＋ 3x)4 的導數。 第三章　微分 P.3-45

範例 4　在微分前改寫 求 的圖形在 x ＝ 2 的切線。 第三章　微分 P.3-45~3-46

再以 u ＝ x2 ＋ 4 為內部函數，然後應用廣義乘冪律。 範例 4　在微分前改寫 （解） 首先改寫函數成有理指數型。 y ＝ (x2 ＋ 4)2/3 改寫原函數 再以 u ＝ x2 ＋ 4 為內部函數，然後應用廣義乘冪律。 第三章　微分 P.3-46

當 x ＝ 2 時，y ＝ 4，圖形在 (2, 4 )的切線斜率為 。利用點斜式，可求得切線方程式為 。函數圖形和切線如圖 3.29 所示。 範例 4　在微分前改寫 （解） 當 x ＝ 2 時，y ＝ 4，圖形在 (2, 4 )的切線斜率為 。利用點斜式，可求得切線方程式為 。函數圖形和切線如圖 3.29 所示。 第三章　微分 P.3-46

範例 4　在微分前改寫 （解） 第三章　微分 P.3-46 圖3.29

檢查站 4 求 的圖形在x ＝ 4 的切線，並描繪此切線。 第三章　微分 P.3-46

範例 5　求商的導數 求以下函數的導數。 第三章　微分 P.3-46

a. 首先改寫函數成 y ＝ 3(x2 ＋ 1)－1 改寫原函數 然後應用廣義乘冪律得 範例 5 求商的導數 （解） 第三章 微分 範例 5　求商的導數 （解） a. 首先改寫函數成 y ＝ 3(x2 ＋ 1)－1 改寫原函數 然後應用廣義乘冪律得 第三章　微分 P.3-46

b. 首先改寫函數成 y ＝ 3(x ＋ 1)－2 改寫原函數 然後應用廣義乘冪律得 範例 5 求商的導數 （解） 第三章 微分 範例 5　求商的導數 （解） b. 首先改寫函數成 y ＝ 3(x ＋ 1)－2 改寫原函數 然後應用廣義乘冪律得 第三章　微分 P.3-46

求商的導數時使用廣義乘冪律可能要比使用商律更簡單，特別是分子為常數，如範例 5 所示。 學習提示 求商的導數時使用廣義乘冪律可能要比使用商律更簡單，特別是分子為常數，如範例 5 所示。 第三章　微分 P.3-46

檢查站 5 求以下函數的導數。 第三章　微分 P.3-46

化簡技巧 本章強調將導數寫成簡化式，原因是大部分導數的應用要求簡化式。下面兩個範例示範一些有用的化簡技巧。 第三章　微分 P.3-46

範例 6　化簡因式分解出最小的次方 求 的導數。 第三章　微分 P.3-47

範例 6　化簡因式分解出最小的次方 （解） 第三章　微分 P.3-47

在範例 6 中，提出因式時指數是相減，也就是，由 (1 － x2)1/2提出 (1 － x2)－1/2 時，剩下因式的指數為 ，所以 代數技巧 在範例 6 中，提出因式時指數是相減，也就是，由 (1 － x2)1/2提出 (1 － x2)－1/2 時，剩下因式的指數為 ，所以 (1－x2)1/2 = (1－ x2)－1/2 (1－ x2)1 範例 6 的計算過程，可參考本章的代數複習。 第三章　微分 P.3-47

檢查站 6 求 的導數並化簡。 第三章　微分 P.3-47

範例 7　商的次方的導數 求 的導數。 求 f x 3x 1 x2 32 的導數。 第三章　微分 P.3-47

範例 7　商的次方的導數 （解） 第三章　微分 P.3-47

學習提示 在範例 7 中，試著使用商律對 求 f (x)，將會比較喜歡那一種方法？ 第三章　微分 P.3-47

檢查站 7 求 的導數。 第三章　微分 P.3-47

範例 8　求變化率 從 1996 到 2005 年，U.S. Cellular 每股股價 R (美元) 可用R ＝ (－0.009t2 ＋ 0.54t － 0.1)2，6 ≤ t ≤ 15 為模型，其中 t 表示年，t ＝ 6 代表 1996 年。用此模型估計在 1997、1999 以及 2003 年每股股價的變化率。如果從 1996 到 2005 年您是 U.S. Cellular 的股東，是否滿足這支股票的表現？(資料來源：U. S. Cellular) 第三章　微分 P.3-47

R 的變化率為 dR/dt，可用廣義乘冪律求導數。 範例 8　求變化率 （解） R 的變化率為 dR/dt，可用廣義乘冪律求導數。 第三章　微分 P.3-48

1997 年每股股價的變化率為 1999 年每股股價的變化率為 2003 年每股股價的變化率為 範例 8 求變化率 （解） 範例 8　求變化率 （解） 1997 年每股股價的變化率為 [－0.036(7) + 1.08]－0.009(7)2 + 0.54(7) － 0.1]  $2.68 /年 1999 年每股股價的變化率為 [－0.036(9) + 1.08]－0.009(9)2 + 0.54(9) － 0.1]  $3.05 /年 2003 年每股股價的變化率為 [－0.036(13) + 1.08]－0.009(13)2 + 0.54(13) － 0.1]  $3.30 /年 第三章　微分 P.3-48

每股股價的圖形顯示在圖 3.30 。對大多數的投資人而言，U.S. Cellular 股票的表現算是令人滿意的。 範例 8　求變化率 （解） 每股股價的圖形顯示在圖 3.30 。對大多數的投資人而言，U.S. Cellular 股票的表現算是令人滿意的。 第三章　微分 P.3-48 圖3.30

從 1996 到 2005 年，Dollar Tree 每股銷售額可用 檢查站 8 從 1996 到 2005 年，Dollar Tree 每股銷售額可用 S ＝ (－0.002t2 ＋ 0.39t ＋ 0.1)2，6 ≤ t ≤ 15 為模型，其中 t 表示年，t ＝ 6 代表 1996 年。用此模型估計在 2003年每股銷售額的變化率。(資料來源：Dollar Tree Stores 公司) 第三章　微分 P.3-48

微分法則的總結 前面已經學到所有微分任何代數函數的法則，總結如下。 第三章　微分 P.3-48~3-49

微分法則的總結 第三章　微分 P.3-49