ò ò ò ò ò òò 第九章自测题 òòò z z òòò dx dy sin dx sin dy dx e dy y x + + d 2 1 dx ò x y dy 2 1 sin p ò 4 2 dx ò 2 1 sin x y dy p 1.计算 + . ò 1 y dx e dy x 2.求 2 y x + òò + D d y x s ) ( 2 3.设 D ： 2 x £ £ 4 x ，求 4. 求圆锥面 被柱面 所截下部分的面积 5 . 设W 由 构成，试用适当的 坐标系求立体 W 的体积 òòò W zdv W 2 y x + 2 z 6. 计算 ，其中 由 + ≤ 与 z ≥ 构 成 . W 2 y x + 2 z 是 z z 2 y x + òòò W f + ) , ( z y x dv 7. ≤ 2 与 ≥ 的公共部分 , 将 分别在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下化为三次积 分
ò ò ò ò î í ì £ 1 y x sin 1 dx x p dy p 2 )] ( sin [ dy y x d p p 2 - 解答： 1. î í ì £ 2 1 y x o x y x y = 即 D ： ò 2 sin 1 y dx x p 2 2 y x = ò 2 1 dy 原式 = 1 1 2 4 p 2 ò 2 1 )] ( sin [ dy y x d p = p 2 ò - 2 1 cos dy y p 2 4 p = =
ò ò ò ò òò ò ò ò òò dx e dy dy e dx - ) ( dx e x + d y x s ) ( r q d 1 y dx e dy x 2. 2 x y = o 1 dy e x y ò 2 ò 1 dx = ò - 1 ) ( dx e x 2 1 = = òò + D d y x s ) ( 2 òò y 3. = r 2 D o 2 · 4 D x ò 2 p q d ò q cos 4 2 3 dr r =2 ò 2 4 cos p q 3 1 p p 2 45 q d =8 × 15 =8 × 15 × × × = 4 2 2
4.由 得投影柱面为： 故所论曲面在 平面上的投影域为 D 2 o x y 由锥面： 于是，所求面积为：
ò òòò òò ò òò ò ò ò î í ì = + z y x az y x + a ===== dz v dv [ ] s d 2 z y x az 5. 由 2 y x + 2 a 得投影域 = 用柱面坐标得： 对称性 ===== ò - + 2 y x a dz 体积 v = òòò W dv 4 òò 1 [ D ] s d ò - + 2 r a dz q rd =4 òò 1 [ D ] dr ò 2 p q d ò a r ò - + 2 r a dz 3 a = 4 dr p =
òòò òòò òò òòò òòò ò ò y x + z zdv z y x + zdv dz d s p dz zdv r r j 2 y x + 2 z 6. 计算 òòò W zdv ，其中 W 由 + ≤ 与 z ≥ 构 成 . 解 法一 用“先一后二”的次序 解 法二 用“先二后一”的次序 . 2 y x + 设 z D ： ≤ òòò W zdv = dz òò Z D d s p = ( ) dz = 解 法三 ：用球坐标 . òòò W zdv òòò W r r 2 j sin j q d = dr ò 2 p q d ò 2 sin p j j cos j d =4 dr =
ò ò òòò ò ò ò òòò f ) , ( z y x dv ) , ( z f dy dx dz ( f rdr d q , 7. òòò W f ) , ( z y x dv ò - + 2 1 ) , ( y x z f dy dx dz = ò - + 2 1 ( r f rdr d p q , sin cos q r = z ) dz òòò W f q j cos sin r j sin r q sin j cos r 2 r j sin j q d = ( , , ) dr ò p q 2 d ò 4 sin p j ò j cos 2 f j d q j cos sin r j sin r q sin j cos r 2 r = ( , , ) dr