指數函數之微分及其 相關之積分 MCU-應用統計資訊系 14講

課程內容摘要 指數觀念複習 指數函數定義 指數函數公式 自然指數函數 指數函數性質 指數函數的導函數 指數積分 指數函數應用 MCU-應用統計資訊系 14講

課程內容 指數觀念複習 指數函數定義 指數函數公式 自然指數函數 指數函數性質 指數函數的導函數 指數積分 指數函數應用 MCU-應用統計資訊系 14講

指數觀念複習 (1) 指數函數是超越函數的一種，如前所述，超越函數（Transcendental Functions）就是指數函數、對數函數、三角函數及反三角函數的統稱。 MCU-應用統計資訊系 14講

同義，其中b > 0，b≠1，且x為任意實數 指數觀念複習 (2) 對數符號 是與 同義，其中b > 0，b≠1，且x為任意實數 MCU-應用統計資訊系 14講

注意到對數等於x，且x為指數。故對數就是指數，亦即x為b要乘方得a的指數。 指數觀念複習 (3) 注意到對數等於x，且x為指數。故對數就是指數，亦即x為b要乘方得a的指數。 MCU-應用統計資訊系 14講

正底b的x乘方得a，故在bx=a中永遠為正。換句話說，在x=logba中a必為正，於是logba只在a > 0時有定義。 指數觀念複習 (4) 正底b的x乘方得a，故在bx=a中永遠為正。換句話說，在x=logba中a必為正，於是logba只在a > 0時有定義。 MCU-應用統計資訊系 14講

指數觀念複習 (5) 以下為某些寫成對數型式之方程式，其右為相等的指數型式。 MCU-應用統計資訊系 14講

指數觀念複習 (6) 同時，由定義a-m = 1 / am。 因此，很容易可看出 MCU-應用統計資訊系 14講

指數觀念複習 (7) m可為任意整數 MCU-應用統計資訊系 14講

指數觀念複習 (8) 您對指數是否已瞭解了呢? 若瞭解試作下列各題: MCU-應用統計資訊系 14講

指數觀念複習 (9) 解答 MCU-應用統計資訊系 14講

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指數函數定義 (1) 設a > 0且 x 為任一實數， 則 ax = exlna 。 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數定義 (2) 定理A 指數的性質 若 a > 0 ，b > 0 ，且 x 及 y 皆為實數， MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數定義 (3) 證明 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數定義 (4) 證明 MCU-應用統計資訊系 14講

以上證明 (ii) 及 (iii) ，其餘可以同理證得。 指數函數定義 (5) 以上證明 (ii) 及 (iii) ，其餘可以同理證得。 MCU-應用統計資訊系 14講

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指數函數公式(1) 定理B 指數函數公式 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(2) 證明 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(3) 積分公式顯然由微分公式可導出 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(4) 解答 [令u = , 利用連鎖法則 ] MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(5) 解答 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(6) 解答 [令u = x3, du = 3x2dx , 則] MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(7) 為什麼還有其他底數? 除e外真需要其他底數嗎? 否 公式 使我們討論任何以a 為底之指數函數或對數 指數函數及自然對數函數。此一說明許多近 發現函數在高等研究上廣泛應用。 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(8) 函數ax，xa 及 xx 首先比較右圖三條曲線: MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(9) 函數ax，xa 及 xx 一般而言，設 a 為一常數且 x 為一變數，不要搞混 f (x) = ax ，此為指數函數與 g (x) = xa ，此為羃函數，且不可混淆它們的導函數，已知: 是什麼? 若 r 為有理數，可證明為乘羃法則 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(10) 函數ax，xa 及 xx 在此證明當 a 為無理數，此亦可成立。 欲知此事實， 可寫成: MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(11) 函數ax，xa 及 xx 最後考慮 f (x) = xx，一變數的變數乘羃。Dx(xx)有公式，但有學者建議不要記它，可用下列兩種方法來求。 方法1: 寫成 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(12) 函數ax，xa 及 xx 由連鎖法則 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(13) 函數ax，xa 及 xx 方法2: 對數微分法 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(14) 函數ax，xa 及 xx 解答 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(15) 函數ax，xa 及 xx 解答 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(16) 由ax至[f(x)]g(x) 注意所考慮函數的遞增性，類型如 ax 至 xa 至 xx，是一種連鎖。另一種較複雜連鎖是 af(x) 至[f(x)]a 至 [f(x)]g(x) 。 現在知道如何求出這些函數的導函數，可用對數微分完成。 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(16) 函數ax，xa 及 xx [令u = 1 / x, du = (-1 / x2 , 則] 解答 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數公式(17) 函數ax，xa 及 xx 解答 MCU-應用統計資訊系 14講

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自然指數函數(1) 3 2 自然對數函數圖形 f (x) = ln x MCU-應用統計資訊系 14講

自然指數函數(2) 上面為自然對數函數f (x) = ln x的圖形，自然對數函數在定義域 D = (0, ∞) 上可微分 (當然連續)且遞增，其值域為 R = (- ∞ , ∞) ，它具有一反函數ln-1 ，含有定義域 (- ∞ , ∞) 且值域為 (0, ∞) ，這種函數特別重要，我們必須給予特別的名稱與符號。 MCU-應用統計資訊系 14講

自然指數函數(2) 定義 ln的反函數稱為自然指數函數且記作exp，則 MCU-應用統計資訊系 14講

自然指數函數(3) 從上面的定義，可以得知下列結果: exp (ln x) = x, x > 0 ; ln (exp y) = y, y。 MCU-應用統計資訊系 14講

自然指數函數(4) 因為exp及ln互為反函數， y = exp x 的圖 形，就是y = ln x 的圖形對直線 y = x 的鏡射之 圖形 (見下圖) 。 MCU-應用統計資訊系 14講

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指數函數性質(1) Why取名為指數函數呢? MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數性質(2) 首先我們介紹一個新數， 如同 一樣，在 數學上相當重要的一數，特別給予一個記號e， 首先我們介紹一個新數， 如同 一樣，在 數學上相當重要的一數，特別給予一個記號e， 用字母 e 是很合適的，因為Leonhard Euler最 早承認這個數有意義。 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數性質(3) 定義 字母 e 表示一個唯一正實數使得 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數性質(4) 1 e R 2 y = 1 / x 3 面積 = 1 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數性質(5) 上圖可以解釋指數函數的定義，在 y = 1 / x 之下方介於 x = 1 及 x = e 之間的面積為 1。因 為 ln e = 1 ，所以 exp 1 = e 。數e ，如同 一樣都為無理數，小數點後有無限多個位數， 前面幾位數為: MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數性質(6) 現在我們進一步由下列前述事實觀察: 上面結果顯示，對有理數 r 而言，exp r 相當於 er ，它如其自然對數的逆一樣都很抽象，雖然 由積分式定義出，但已轉變成一個簡單的乘羃。 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數性質(7) 若 r 為一無理數則如何? MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數性質(8) 上面的問題使得其性質成為代數中一個問 題，沒有一個嚴謹的方法可以定義無理指數， 究竟是什麼意義？ 可能在尋找正確答案時會偏 向代數方面，但在此只要承認它是有意義的， 若想討論諸如 的結果，根據以上談論所 知，我們只要定義 ex 為 ( ) MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數性質(9) 注意在前面所提到的自然指數函數定義所提 到的 (i) exp (ln x) = x, x > 0 及 (ii) ln (exp y) = y, y ，現在可表為: MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數性質(10) 不同作者對於字母 e 有不同的方法加以定義 e 的定義 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數性質(11) 上述定義 2 及 3 已變成定理 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數性質(12) 定理A 令 a 及 b 為任意實數，則 ， 且 。 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數性質(13) 證明 (i) 寫成 對數定理 (ii)' 由於exp x =ex MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數性質(14) 同理可證出 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數性質(15) 故事: A Phoenix MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數性質(16) A Phoenix The number e appears throughout mathematics, but its importance rests most securely on its use as the base for the natural exponential function. And what makes this function so significant? “Who has not been amazed to learn that the function y = ex , like a phoenix rising again from its own ashes, is its own derivative?” - Francois Le Lionnais - MCU-應用統計資訊系 14講

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ex 的導函數(1) 因 exp 及 ln 互為反函數，由定理 exp x = ex 為 可微分。 欲求 的公式，可以用此定理，令 可微分。 欲求 的公式，可以用此定理，令 y = ex ，所以 兩邊對 x 微分，得出 連鎖法則 MCU-應用統計資訊系 14講

ex 的導函數(2) 因此 我們已證出ex有名的事實，ex為它自己的 導函數，即 MCU-應用統計資訊系 14講

ex 的導函數(3) 於是 為微分方程式 的一個解。 若 u = f (x) 為可微分，則由連鎖法則知 MCU-應用統計資訊系 14講

ex 的導函數(4) 解答 [利用 ，得 ] MCU-應用統計資訊系 14講

ex 的導函數(5) 解答 MCU-應用統計資訊系 14講

ex 的導函數(6) 例3. 設 ，求f在何處遞增，遞減，且在 何處向上凹，向下凹，指出所有極值及反區點， 然後畫出 f 的圖形。 解答 MCU-應用統計資訊系 14講

ex 的導函數(7) 且 MCU-應用統計資訊系 14講

ex 的導函數(8) 因為 > 0 ， ， 當 x < -2 ， f’(x) < 0； f’(-2) = 0 ； 且當 x > -2 ， f’(x) > 0 ，因此 f 在 (- ∞, -2] 遞減， 在[-2 , ∞)上遞增，在 x = -2 有極小值 f (-2) = -2 / e 約等於 -0.7。 同時 ，當 x < -4 ， f’’(x) < 0； f’’(-4) = 0 ； 且當 x > -4 ， f’’(x) > 0 ，所以 f 的 圖形在 (- ∞, -4) 向下凹， 在 (-4 , ∞) 向上凹 且在點 (- 4, -4e-2) ~ (-4 , -0.5) 有一反區點。 MCU-應用統計資訊系 14講

ex 的導函數(9) 因 ，故直線 y = 0 為一條 水平漸進線。以上有關例3的探討，歸納如下圖: MCU-應用統計資訊系 14講

ex 的導函數(8) 因為 > 0 ， ， 當 x < -2 ， f’(x) < 0； f’(-2) = 0 ； 且當 x > -2 ， f’(x) > 0 ，因此 f 在 (- ∞, -2] 遞減， 在[-2 , ∞)上遞增，在 x = -2 有極小值 f (-2) = -2 / e 約等於 -0.7。 同時 ，當 x < -4 ， f’’(x) < 0； f’’(-4) = 0 ； 且當 x > -4 ， f’’(x) > 0 ，所以 f 的 圖形在 (- ∞, -4) 向下凹， 在 (-4 , ∞) 向上凹 且在點 (- 4, -4e-2) ~ (-4 , -0.5) 有一反區點。 MCU-應用統計資訊系 14講

課程內容 指數觀念複習 指數函數定義 指數函數公式 自然指數函數 指數函數性質 指數函數的導函數 指數積分 指數函數應用 MCU-應用統計資訊系 14講

ex 的積分(1) 由導函數公式 顯然得出積分公式 或以 u 代替 x MCU-應用統計資訊系 14講

ex 的積分(2) 解答 [令u = -4x, du = -4 dx，則 ] MCU-應用統計資訊系 14講

ex 的積分(3) 解答 [令u = -x3, du = -3x2 dx，則 ] MCU-應用統計資訊系 14講

ex 的積分(4) 解答 [令u = -3x2, du = -6x dx，則 ] MCU-應用統計資訊系 14講

ex 的積分(5) 因此，由微積分學基本定理， 最後一次計算可利用計算器獲得 MCU-應用統計資訊系 14講

課程內容 指數觀念複習 指數函數定義 指數函數公式 自然指數函數 指數函數性質 指數函數的導函數 指數積分 指數函數應用 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(1) 在現實的生活中有許多自然界的現象和社會 的活動，如放射性元素的衰變、人口的增加、 複利息的計算等等，都可以用指數函數來 描述並得到解決。 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(2) 指數函數的應用範圍甚廣，我們先討論在商 學上的應用，如連續複利，最佳持有時機等。 再介紹其他模式之應用。 複利法 指數函數的應用範圍甚廣，我們先討論在商 學上的應用，如連續複利，最佳持有時機等。 再介紹其他模式之應用。 在銀行開立帳戶，存入一筆款項，此金額稱 為本金或現值，經過一段時間後，銀行所給付 之報酬款稱為利息。本金加利息稱為本利和或 終值，而利息與本金的比例稱為利率，一般而 言，利率指的是年利率，即一年的利息與本金 之比例。 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(3) 設 P = 現值或本金 A = 終值或本利和 I = 利息 r =年利率 m = 一年之複利次數 複利法 設 P = 現值或本金 A = 終值或本利和 I = 利息 r =年利率 m = 一年之複利次數 t = t年（不一定是整數） 按照計算方式的不同，可分為單利法、複利法 及連續複利。單利法的利息等於本金、利率與 期數之積。 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(4) 單利法 本金P，年利率r ，t年後的利息與本金為 I = Prt A = P + I = P (1 + rt) 複利法 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(5) 若一年終複利m次，每個計算期的利息為 r/m ，第一個計算期末，利息I1 = 本金*利率* 複利法 若一年終複利m次，每個計算期的利息為 r/m ，第一個計算期末，利息I1 = 本金*利率* 期數 = P*(r/m)*1 ，則第一個計算期末的本利 和A1 = P + I1 = P (1 + r/m) 。複利法是以前期的 本利和作為下一個計算期的本金， 所以第二個 計算期期末的利息I2 = 本金*利率*期數 = A1 *(r/m)*1 ，所以第二個計算期期末的本利和A2 = A1 + I2 = P (1 + r/m) 2。依此類推，一年後的 本利和為P (1 + r/m) m 。 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(6) 複利法 本金P元，年利率r ，一年複利 m 次， t年後 的本利和及利息為 A = P [1 +(r/m )mt ] I = A - P MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(7) 實利率(複利法) 年利率(虛利率)為r時，若一年複利 m 次， 則實利率為 α = 1 +(r/m )m -1 複利法 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(8) 實利率(複利法) 本金 P 元，年利率為 r，以連續複利方式計算 t 年後的本利和及利息為 A = Pert I = A - P MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(9) 實利率(連續複利) 年利率(虛利率)為r時，若以連續複利計算時， 則實利率為 β = er -1 複利法 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(10) 現值 複利法的現值 P = A(1 + r/m)-mt 連續複利的現值 P = Ae-rt 複利法 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(11) 指數模式在自然界有很多的應用，諸如: 指數成長模式 指數衰退模式 傳播媒體訊息的擴散 後勤曲線模式 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(12) 指數模式在自然界有很多的應用，諸如: 指數成長模式 指數衰退模式 傳播媒體訊息的擴散 後勤曲線模式 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(13) 指數成長模式 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(14) 指數模式在自然界有很多的應用，諸如: 指數成長模式 指數衰退模式 傳播媒體訊息的擴散 後勤曲線模式 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(15) 指數衰退模式 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(16) 指數模式在自然界有很多的應用，諸如: 指數成長模式 指數衰退模式 傳播媒體訊息的擴散 後勤曲線模式 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(17) 學習曲線模式 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(18) 指數模式在自然界有很多的應用，諸如: 指數成長模式 指數衰退模式 傳播媒體訊息的擴散 後勤曲線模式 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數應用(19) 後勤曲線模式 MCU-應用統計資訊系 14講

課程回顧 MCU-應用統計資訊系 14講

指數函數之微分及其 相關之積分 MCU-應用統計資訊系 14講

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觀念複習(1) 問題1 以 e 及 ln 表示， ( ) 。一般而言 ax = ( ) 。 MCU-應用統計資訊系 14講

觀念複習(2) 解答 以 e 及 ln 表示， ( ) 。一般而言 ax = ( ) 。 MCU-應用統計資訊系 14講

觀念複習(3) 問題2 ln x = logax ，其中 a = ( )。 MCU-應用統計資訊系 14講

觀念複習(4) 解答 ln x = logax ，其中 a = (1n x / ln a)。 MCU-應用統計資訊系 14講

觀念複習(5) 問題3 logax 可用 ln 表示為logax = ( )。 MCU-應用統計資訊系 14講

觀念複習(6) 解答 logax 可用 ln 表示為logax = (ln x / ln a)。 MCU-應用統計資訊系 14講

觀念複習(7) 羃函數 f (x) = xa之導函數為f '(x) = ( ); 問題4 羃函數 f (x) = xa之導函數為f '(x) = ( ); 指數函數 g (x) 之導函數為g '(x) = ( ) 。 MCU-應用統計資訊系 14講

觀念複習(8) 羃函數 f (x) = xa之導函數為f '(x) = ( axa-1); 解答 羃函數 f (x) = xa之導函數為f '(x) = ( axa-1); 指數函數 g (x) 之導函數為g '(x) = (ax ln a ) 。 MCU-應用統計資訊系 14講

觀念複習(9) 函數 ln 在(0, ∞) 上嚴格 ( ) ，且因而由 反函數記為 ln-1 或為 ( ) 。 問題5 MCU-應用統計資訊系 14講

觀念複習(10) 函數 ln 在(0, ∞) 上嚴格 (遞增) ，且因而由 反函數記為 ln-1 或為 ( exp ) 。 解答 MCU-應用統計資訊系 14講

觀念複習(11) 問題6 e以 ln 定義為 ( ) ; 其值有效小數第二位為 ( ) 。 MCU-應用統計資訊系 14講

觀念複習(12) e以 ln 定義為 ( ln e = 1) ; 其值有效小數第二位 為 (2.72) 。 解答 MCU-應用統計資訊系 14講

觀念複習(13) 由於 ex = exp x =ln-1x，得知elnx = ( )且 ln(ex) = ( )。 問題7 MCU-應用統計資訊系 14講

觀念複習(14) 由於 ex = exp x =ln-1x，得知elnx = ( x )且 ln(ex) = ( x )。 解答 MCU-應用統計資訊系 14講

觀念複習(15) 問題8 有關 ex ，兩有名事實是Dx(ex )= ( ) 及 = ( )。 MCU-應用統計資訊系 14講

觀念複習(16) 解答 有關 ex ，兩有名事實是Dx(ex )= (ex ) 及 = (ex + C )。 MCU-應用統計資訊系 14講