第3章 正弦交流电路 3.1 正弦电压和电流 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 RLC元件VAR的相量形式 3.4 复阻抗 3.5 导纳 3.1 正弦电压和电流 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 RLC元件VAR的相量形式 3.4 复阻抗 3.5 导纳 3.6 正弦交流电路的分析及计算方法 3.7 正弦交流电路的功率 3.8 谐振 3.9 非正弦周期信号的电路

第3章. 正弦交流电路分析 3.1 正弦电压和电流( Sinusoidal Voltage and current) 第3章. 正弦交流电路分析 3.1 正弦电压和电流( Sinusoidal Voltage and current) 随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和电流。统属于正弦波。 1.瞬时值表达式及参考方向 其瞬时值表达式为： （也可用Cosωt） u(t)=VmSin(ωt) (v) 式中 ω=2πf

2.正弦量三要素： (1)最大值（振幅）Um Im; (2)周期T （秒） ; 频率 （HZ） 角频率 （rad/s） (3)相位和初相 例： u(t)=100 Sin(ωt+30o) (v) ωt+30o=0时 ωt=-30o

3.相位差 (即两个同频率正弦波的初相之差) 例： u1(t)=Vm1Sin(ωt+φ1) u2(t)=Vm2Sin(ωt+φ2) 相位差 θ=ωt+φ1-ωt-φ2=φ1-φ2 若：θ>0 u1超前u2 θ<0 u2超前u1 规定 0<θ<π 范围内

4.有效值: 以周期电压u为例，它的有效值（用V表示）定义为 T—周期 当u(t)=VmSinωt时 应用Cos2а=2Cos2а-1得： 当一个周期电流i（t）通过电阻R时，在一个周期内产生的热量为：

若一个量值为I的直流电流也通过同一个电阻R，它在的时间T内 所产生的热量为： Q1=Q2 即： 注：只有正弦量时，才有 倍的关系

3.2 正弦量的相量表示法 3.2.1相量法的基本概念 相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的。故我们先对复 数进行讨论。 1.表示法: 1)直角坐标形式 复数A可表示为 A=a1+ja2; 其中： 虚数的单位 a1 称为复数的实部 （Real part） a2 称为复数的虚部 （Imaginary part）

2)图示法： 由此得到复数的三角函数形式: A=aCosθ+jaSinθ=a(Cosθ+jSinθ) 例：A=5·Cos36.9o+j5Sin36.9o=4+j3

; 3) 极坐标表示法 即用模和幅角来表示复数 2.直角←→极坐标 （互换） 已知：a,θ→a1,a2 ; a1=aCosθ a2=aSinθ 已知：a1,a2→a,θ ; 例：1) A=4+j3

3.2.2 复数的基本运算 ； 若： a=b а=β 则： A=B

2.乘除运算 A·B=(a1+ja2)(b1+jb2) =(a1b1-a2b2)+j(a2b1+a1b2) 显见相加减时，用直角坐标法；乘法、除法时，用极坐标法。

3.2.3 相量概念 看一下两正弦量相加。 i1(t)=Im1Sin(ωt+φ1) i2(t)=Im2Sin(ωt+φ2) i(t)=i1(t)+i2(t) 利用三角公式和差化积 ej（ωt+φ)=Cos(ωt+φ)+jSin(ωt+φ) ∵ i1(t)=Im1Sin(ωt+ф)=Im[Im1ej(ωt+φ)]

上式表明，通过数学方法，把一个实数范围内的正弦时间与一个 复数函数的复指数函数一一对应起来。 有效值： 而： 例：已知

把一个三角运算转换了变成复数运算。 3.2.4 几个定理 1、若A(t)和B(t)为实变量t的任意复值函数，а为实数那么， 对所有的这种函数A(t)和B(t)则有：

Re[aA(t)]=аRe[A(t)]; Im[аA(t)]=аIm[A(t)] 总结：Im[а1A(t)+а2B(t)]=а1Im[A(t)+а2Im[B(t)] 定理2: 若A为—复数，则有： 即：取虚部运算和微分运算可以交换。 定理3：设A、B为复数。ω为角频率，则对所有的t 若等式：Im[Aejωt]=Im[Bejωt] 则：A=B; 反之，若A=B 则：Im[Aejωt]=Im[Bejωt]对所有的t。

3.2.5 KCL、KVL的相量形式 设： 由定理1可知： 故有：

同理于KVL： 3.3 RLC元件VAR的相量形式 3.3.1 电阻元件

式中： ; u=i·R 则有：UmSin(ωt+φu)=Im·Rsin(ωt+φi) 由等式可知，振幅：Um=R·Im； φu=φi （相位） 相量位关系：

3.3.2 电容元件 相量关系：

这就是电容元件的相量关系： I=ωCU 有效值：（模） 相位差： 说明：电容上电流和电压的相位差为90o，且电流超前90o。

例：若C=4μF ；u(t)=500Sin(1000t+40o) (v) i(t)=? 由： ∴ i(t)=2Sin(1000t+130o) (A) 由 可知 ； f↑ Xc↓ f↓ Xc↑ f=0 Xc→∞ 相当于直流电通过。

3.3.3 电感元件

例1：已知：R=4Ω，L=1H，i(t)=2Sin(3t-30o)(A) 求：us(t) ∴ us(t)=10Sin(3t+6.9o) (V)

例2： 解： R： C： L： 由KVL：

3.4 复阻抗 ； 上节我们讨论了三种基本元件VAR的相量形式及基尔霍夫定律的 相量形式：（在一致参考方向下） 3.4 复阻抗 上节我们讨论了三种基本元件VAR的相量形式及基尔霍夫定律的 相量形式：（在一致参考方向下） ； R： ； U=RI，φu=φi L： ； U=XcI，φu=φi+90o C： ； U=IXc，φi=φu+90o RLC串联电路的阻抗

X=XL-XC 称为电路的电抗部分。显见Z=R+jx是个复数。

即： R：ZR=R ; L: C: 对于RLC串联： Z=ZR+ZL+ZC=R+jxL-jxc=R+jX

（1）0<θz<90o 即：XL>Xc时 （UL>Uc）

（3）0>θz≥-90o XL-Xc<0 由以上分析可知，θz的变化也就是阻抗Z的变换。反映了 电路本身的特性。

当X>0时，电路的最简形式为RL串联。 当X<0时，电路的最简形式为RC串联。

3.5 导纳 ; 把阻抗的倒数称为导纳，记为Y（S） G—电导分量 B—电纳分量 感纳 R: ; L: C: ; 容纳 3.5 导纳 把阻抗的倒数称为导纳，记为Y（S） G—电导分量 B—电纳分量 感纳 R: ; ; L: C: ; 容纳 与阻抗有对偶性：串←→并；I→U，U→I；C→L，L→C；R→G 掌握这种规律后，分析方法与阻抗一样。

3.6 正弦交流电路的分析及计算方法 3.6.1相量模型 C→Zc （1/jωc） ; L→ZL （jωL） ; R→ZR （R） 参考方向不变。

3.6.2 分析方法及步骤 (与第二章完全一致) 1、作出相量模型。 2、由相量模型进行计算。 3、根据求得的相量模型写出相应的正弦量。 4、画出对应的相量图。

1) 无源网络的等效电路

显见: 这里注意： ; ∵ A=a+jb (一个复数) 除非b=0; 否则： （这一点要注意） 例 1）求f1=796HZ，f2=1.5f1，f3=2f1，时的等效电路。 解：∵ ω=2лf ∴ ω1=6.28×796=5000rad/s

2)、f2=1.5f1时 ω2=7500rad/s 3)、f3=2f1时 ω3=104rad/s

例2、用网孔分析法求解i1(t),i2(t) 解：先作出相量模型 ω=2 jωL=j2Ω ; ; 根据相量模型列出网孔方程：

解得： ; 故有： ; 例3 用节点法求各支路稳态电流，并作出相量图 解：利用导纳相量模型ω=1 ； 列出节点方程：

故

例4 求代维南等效电路 解：先画出相量模型 1）求 用节点法

故由行列式： 2）求Zab 用短路电流法：

故： 等效电路：

例5：已知： ，且u2在相位上超前u160o 求R及u2(t) 解：先作出相量模型。 设 为参考相量。即 依次画出 。 与 同相， 由相量图可知： （模之间的关系）

u2超前u160o 再求R，在直角Δ中：

例6、已知I=1A XC=16Ω 无论K打开或闭合，电压U始终为10V 电流 ；求R，XL K闭合时： 其有效值分别为：

故有：R2+XL2=R2+（XL-XC）2 ; XL2=XL2-2XCXL+XC2 2XLXC=XC2 K闭合时： 故有：R2+XL2=R2+（XL-XC）2 ; XL2=XL2-2XCXL+XC2 2XLXC=XC2 由： 故R=6（Ω） 方法2、用相量图分析 （∵U不变，故有相量图）

3.7 正弦交流电路的功率 感兴趣的并不是他们的瞬时值，而是它们的平均值——电路中 消耗功率的平均值，以及贮存能量的平均值。 3.7 正弦交流电路的功率 正弦稳态时的功率和能量都是随时间变化的，但通常我们 感兴趣的并不是他们的瞬时值，而是它们的平均值——电路中 消耗功率的平均值，以及贮存能量的平均值。 瞬时功率P（t） 在时间 to~t1 内 能量：

在一致参考方向下，p(t)>0表示该网络吸收功率。 3.7.1 电阻元件 a.瞬时功率 p(t)=u(t)·i(t)=UmSin(ωt+φu)·ImSin(ωt+φi) =2UI[Sin2(ωt+φu)] =UI[1-Cos2(ωt+φu)] (φu=φi)

b. 平均功率 （有功功率） 瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率

3.7.2 电感元件 1.瞬时功率： P(t)=u(t)·i(t)=UISin2(ωt+φu)

2.平均功率 （有功功率） 4.无功功率 定义：瞬时功率的振幅定义为无功功率。Q（Q表示贮能元件与电源 能量交换的规模） (乏)Var 上式表明，电感所吸收的无功功率等于磁场贮能平均值的2ω倍。

3.7.3 电容元件 1.瞬时功率: P(t)=-UISin2(ωt+φu) 波形与电感相同。 2.平均功率: 3. 平均贮能:

4. 无功功率: 3.7.4 二端网络的功率问题

1.瞬时功率 p(t)=u·I=UmImCos(ωt+φu)·Cos(ωt+φi) 利用: 可知：p(t)=UI[Cos(φu-φi)+Cos(2ωt+φu+φi)] 由电路波形可知，P（t）有时为正，有时为负。 在一个周期内，p（t）>0部分大于p（t）<0部分，故平均看N是吸 收功率的。

2.平均功率 QZ为阻抗角 故：P=VICosθZ 当二端网络为R时：CosθZ=1 θZ=0 P=UI 当二端网络为L时：CosθZ=0 θZ=90o P=0 当二端网络为C时：CosθZ=0 θZ=-90o P=0 平均功率还可以用阻抗来计算 U=ZI （模之间关系）

3. 无功功率 由瞬时功率： p(t)=UICos(φu-φi)+UICos(2ωt+φu+φi); 第1项可写成 P=UICosθZ 第2项可写成 UICos(2ωt+2φi+θZ) 由：Cos(а+β)=CosаCosβ-SinаSinβ 可得：UICos(2ωt+2φi)CosθZ-UISin(2ωt+2φi)SinθZ

∴ P(t)=UICosθZ[1+Cos(2ωt+2φi)]-UISinθZSin(2ωt+2φi)

其最大值定义为无功功率Q。 Q=UISinθZ (Var) 单个元件来说 R时 θZ=0 Q=0 L、C时 QL=IU Qc=-UI 与平均功率一样：Q=I2Im[Z] 4. 视在功率 各种电器设备的容量是由它们的额定（能提供的最大功率）电流和电压（均为有效值）的乘积决定的。为此引入视在功率的概念，用S表示。

5、功率因数 θZ—功率因数角; 一般情况下 Cosθz≤1 以发电机为例。设计按额定电压、电流设计的，不能超过此数值。在使用时，要看负载的pf多大，才能决定发电机提供多大的平均功率。 例：有一台S=104KVA的发电机，当负载pf=1时； 输出功率 P=S=104kw 。 Pf=0.6时； 输出功率P=6000kw

6. 复功率 视在功率S, 无功功率Q, 有功功率P及CosθZ, 可用一个复数来表示。称为复数功率. ;

3.7.5 功率因数的提高 1. 电源设备的容量得不到充分利用 这一点是显见的 ; 越小，利用 率就越低。 S=1000KVA P=900kw

2.增加了供电线路的电压，功率损耗 当P一定时： 这时越小，I越大。线路压降增大。用户端电压下降，影响供电质量。同理线间所耗功率增大。所以说提高功率因素可以节约能源并提高供电质量。如何提高功率因数。在感性负载中加容性阻载，使之交换在动态元件之间进行。

并联电容之后 注意：未并C之前 ; 并电容之后 变小，线路损耗少了，但有功分量不变。

3.7.6 最大功率传递定理 在直流电路中，我们曾讨论过 在交流电路中也有关类似的结论：

有效值： 负载吸收的功率： 而当电路的电抗 XL+Xs=0时, 即XL=-Xs时：负载吸收功率为最大，其值为： 再令：

从而得到（Rs+RL）2-2(Rs+RL)RL=0 ; 即：RL=Rs 故，此时。负载获得最大功率的条件是： XL=-Xs Rs=RL 即： 由此得到结论：当负载阻抗与信号源内阻成一对共轭复数时，负 载吸收的功率为最大。这就是通常所说的负载与信号源匹配的状 态。——共轭匹配。这时：

3.8 谐振（Resonant ） 定义：在RLC组成的电路中，只要X=0（串联），B=0（并联）电路呈现电阻性的现象叫做谐振。 （即电路中Z的虚部为0） 3.8.1 RLC串联电路的谐振 (Resonant of RLC series circuit) 1.串联谐振条件

式中：X，XL，XC均随ω变化。 当ω=ωo时 XL=Xc X=0 即： 电路此时的工作状态称为谐振，由于发生在串联电路中，故称为串联谐振。 ωo——谐振角频率 实际也反映了电路本身一种固有性质。

2.谐振特点： 谐振时，电抗X(ωo)=0 ; Z=R+jx=R 1) 即谐振时：Zmin=R θZ=0 虽然X=0，但 2) 称为串联谐振电路的特性阻抗，单位为Ω， 与ωo无关完全由电 路参数决定的。 用Q表示它们的比值： Q称为谐振回路的品质因素。工程上简称Q值。

3) 谐振时，电路中电流为最大。（有效值） 总电压与总电流同相，有效值为最大 I=U/R。 谐振时各元件的电压相量分别为： ;

4) 看一下阻抗的变化规律 那么阻抗角θz是怎么变化的。由容性→感性

3.8.2 并联谐振 (RLC Parallel resonance） 如果ω、L、C满足一定的条件，使并联电路的BC容纳和感纳BL 相等，即BL=BC。总电压与总电流将同相。这种情况称为R、L、C并 联电路的谐振——并联谐振。 即：

产生并联谐振的条件和产生串联谐振的条件是相同的。在并联谐振 中，电路的阻抗最大，导纳最小。 Ymin=G → 电流 故电流最小，而支路电流大于总电流Q倍。 Ic=QI IL=-QI (完全用对偶关系)

由此可知，这种电路在谐振的情况下相当于一个高阻，利用这一 特点可以达到选频的目的。 例： 超外差收音机的中频放大器，利用电路的谐振现象，保证其 工作频率为465KC的。

3. 9 非正弦周期信号的电路 分析思路: 把非正弦的周期信号利用付里叶级数展开,把信号分 解成多个(一系列)频率成倍数的正弦分量,求得每一个谐振分量 单独作用时的稳态响应,再根据迭加定理求得总响应. 3.9.1不同的频率正弦激励下电路的稳态响应 思路：让各个电源单独作用，根据迭加定理，求得总结果。 注意：此时由于不同频率的正弦波之和不是正弦波。故不能称为正 弦稳态响应。

例：求电路的稳态响应 u(t) 已知： 分别求解：当us(t)单独作用时，相量图为 （Sinωt） ω=1

3.9.2 波形的对称性与伏里叶系数的关系 (Waveform system and Fourier coefficient relation) 表达式： 式中： 1) 纵轴对称 （偶函数） f(t)=f(-t) ; Bk=0

2) 原点对称 （奇函数） f(-t)=-f(t);这时：Ao=0 3)镜象对称此时：Ao=0 ; A2n=0 ; B2n=0; 只有奇次谐振 （偶次波为0） （n=1.2……）

几种常用波形的付氏级数表达式 1)偶函数 2)奇函数

3)镜象对称 （半波对称）

例： 已知：f=2000HZ , R=20kΩ, C=0.47μF,求uR(t)到三次谐波. 解：将u(t)展开为付氏级数 u(t)=50+63.7Sinωt+21.2Sin3ωt (v) 分别求解： 1)Uo=50(v) 单独作用时 uR(t)=0 Xc→∞

2)u1(t)=63.7Sinωt(v) 单独作用 3)

付里叶级数，便可由迭加定理得到电路的稳定响应。 由以上分析可知。不论电路的激励形式是什么，只要找出它的 付里叶级数，便可由迭加定理得到电路的稳定响应。