第26章总复习 二次函数

复习要点 例题讲解 巩固训练 能力训练 归纳小结

一般地，如果 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)，那么，y 叫做x的二次函数。

1.特殊的二次函数 y=ax2 (a≠0) 的图象特点和函数性质

(一) 图象特点: (1)是一条抛物线； (2)对称轴是y轴； (3)顶点在原点； (4)开口方向: a>0时,开口向上；

(二) 函数性质： （1） a>0时，y轴左侧，函数值y随x的增大而减小 ； y轴右侧，函数值y随x的增大而增大 。 （2） a>0时，ymin=0 a<0时，ymax=0 (二) 函数性质：

2.一般二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象特点和函数性质

(一) 图象特点: (1)是一条抛物线； (2)对称轴是:x=- (3)顶点坐标是:(- , ) (4)开口方向: (3)顶点坐标是:(- , ) (4)开口方向: a>0时,开口向上； a<0时,开口向下. 2a b 2a b 4a 4ac-b2

(二) 函数性质： （1） a>0时，对称轴左侧(x<- )，函数值y随x的增大而减小 ；对称轴右侧(x>- )，函数值y随x的增大而增大 。 a<0时，对称轴左侧(x<- )，函数值y随x的增大而增大 ；对称轴右侧(x>- )，函数值y随x的增大而减小 。 （2） a>0时，ymin= a<0时，ymax= 2a b 2a b 2a b 2a b 4a 4ac-b2

y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) 使用 范围 解析式 已知任意 三个点 一般式 已知任意 三个点 顶点式 已知顶点（h,k)及另一点 交点式 已知与x轴的两个交点及另一个点 y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2)

(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 c>0 c=0 c<0 (3)a、b确定对称轴 的位置: (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: c>0 c=0 c<0 x=- b 2a (3)a、b确定对称轴 的位置: ab>0 ab=0 ab<0 (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ>0 Δ=0 Δ<0

(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 c>0 c=0 c<0 (3)a、b确定对称轴 的位置: (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: y c>0 c=0 c<0 x x=- b 2a (3)a、b确定对称轴 的位置: ab>0 ab=0 ab<0 (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ>0 Δ=0 Δ<0

(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 c>0 c=0 c<0 (3)a、b确定对称轴 的位置: x y (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: c>0 c=0 c<0 x=- b 2a (3)a、b确定对称轴 的位置: ab>0 ab=0 ab<0 (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ>0 Δ=0 Δ<0

•(0,c) (1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 c>0 c=0 c<0 y (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: •(0,c) c>0 c=0 c<0 x x=- b 2a (3)a、b确定对称轴 的位置: ab>0 ab=0 ab<0 (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ>0 Δ=0 Δ<0

•(0,0) (1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 c>0 c=0 c<0 y (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: c>0 c=0 c<0 •(0,0) x x=- b 2a (3)a、b确定对称轴 的位置: ab>0 ab=0 ab<0 (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ>0 Δ=0 Δ<0

•(0,c) (1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 c>0 c=0 c<0 y (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: c>0 c=0 c<0 x x=- b 2a •(0,c) (3)a、b确定对称轴 的位置: ab>0 ab=0 ab<0 (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ>0 Δ=0 Δ<0

(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 c>0 c=0 c<0 (3)a、b确定对称轴 的位置: (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: x=- b 2a y c>0 c=0 c<0 x x=- b 2a (3)a、b确定对称轴 的位置: ab>0 ab=0 ab<0 (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ>0 Δ=0 Δ<0

(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 c>0 c=0 c<0 (3)a、b确定对称轴 的位置: x=- b 2a a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: y c>0 c=0 c<0 x x=- b 2a (3)a、b确定对称轴 的位置: ab>0 ab=0 ab<0 (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ>0 Δ=0 Δ<0

(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 c>0 c=0 c<0 (3)a、b确定对称轴 的位置: y (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: x=- b 2a c>0 c=0 c<0 x x=- b 2a (3)a、b确定对称轴 的位置: ab>0 ab=0 ab<0 (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ>0 Δ=0 Δ<0

•(x1,0) •(x2,0) (1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 c>0 c=0 c<0 y (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: c>0 c=0 c<0 •(x1,0) •(x2,0) x=- b 2a (3)a、b确定对称轴 的位置: ab>0 ab=0 ab<0 (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ>0 Δ=0 Δ<0

•(x,0) (1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 c>0 c=0 c<0 y (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: c>0 c=0 c<0 x x=- b 2a •(x,0) (3)a、b确定对称轴 的位置: ab>0 ab=0 ab<0 (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ>0 Δ=0 Δ<0

• (1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 c>0 c=0 c<0 (3)a、b确定对称轴 的位置: y (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: c>0 c=0 c<0 x=- b 2a • (3)a、b确定对称轴 的位置: x ab>0 ab=0 ab<0 (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ>0 Δ=0 Δ<0

题型分析: (一)抛物线与x轴、y轴的交点急所构成的面积 例1:填空： (1)抛物线y＝x2－3x＋2与y轴的交点坐标是____________，与x轴的交点坐标是____________； (2)抛物线y＝－2x2＋5x－3与y轴的交点坐标是____________，与x轴的交点坐标是____________． (0,2) (1,0)和(2,0) (0,-3) (1,0)和( ,0) 2 3

例2:已知抛物线y=x2-2x-8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。 (1)证明:∵△=22-4*(-8)=36>0 ∴该抛物线与x轴一定有两个交点 (2)解:∵抛物线与x轴相交时 x2-2x-8=0 解方程得:x1=4, x2=-2 ∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1,-9) ∴S△ABC=27 x y A B P

(二)根据函数性质判定函数图象之间的位置关系 例3:在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为 x y O A B C D 答案: B

例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。 (三)根据函数性质求函数解析式 例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。 解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x

(四)二次函数综合应用 例5： 1 2 3 2 已知二次函数y=—x2+x-— （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？

解:（1）∵a= —>0 例5： 1 2 3 2 已知二次函数y=—x2+x-— （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 解:（1）∵a= —>0 ∴抛物线的开口向上 ∵y= — (x2+2x+1)-2=—(x+1)2-2 ∴对称轴x=-1，顶点坐标M（-1，-2） 1 2

解: 例5： 1 2 3 2 已知二次函数y=—x2+x-— （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 解: (2)由x=0，得y= - -— 抛物线与y轴的交点C（0，- -—） 由y=0，得—x2+x- —=0 x1=-3 x2=1 与x轴交点A（-3，0）B（1，0） 3 2 1

• • 解 例5： 已知二次函数y=—x2+x-— （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 1 2 3 y ①画对称轴 x=-1 解 (3) • (0,-–) ③确定与坐标轴的交点 及对称点 (-3,0) (1,0) 3 2 ④连线 ②确定顶点 • (-1,-2) x

• • • • • 解 例5： 已知二次函数y=—x2+x-— （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 1 2 3 y 解 ：（4）由对称性可知 MA=MB=√22+22=2√2 AB=|x1-x2|=4 ∴ ΔMAB的周长=2MA+AB =2 √2×2+4=4 √2+4 ΔMAB的面积=—AB×MD =—×4×2=4 1 2 • A(-3,0) B(1,0) • x D • • 3 • C(0,-–) 2 M(-1,-2)

• • • • • 解 解 例5： 已知二次函数y=—x2+x-— （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 1 2 3 解 解 x=-1 :(5) 当x≤-1时，y随x的增大 而减小; • (-3,0) (1,0) • x 当x=-1时，y有最小值为 y最小值=-2 • • 3 • (0,-–) 2 (-1,-2)

• • • • • 解: 例5： 已知二次函数y=—x2+x-— （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 1 2 3 y 解: (6) 由图象可知 当x< -3或x>1时，y > 0 • (-3,0) (1,0) • x 当-3 < x < 1时，y < 0 • • 3 • (0,-–) 2 (-1,-2)

巩固练习: （1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。 1、填空： （1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。 （2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________ （3）已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________ （4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m= ____。 （—，-—） 1 25 2 4 x=— 1 2 1 （0，0）（2，0） 2 x<1 2

c 2.选择 抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________. A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2 (2)抛物线y=3x2-1的________________ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点 (3)若y=ax2+bx+c(a  0)与轴交于点A(2,0), B(4,0), 则对称轴是_______ A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3 (4)若y=ax2+bx+c(a  0)与轴交于点A(2,m), B(4,m), A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2 c B C A

3、解答题： 已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－2）。 （1）求此二次函数的解析式； （2）设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，求线段OA，OB的长度之和。

能力训练 1、 二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式 中成立的个数是____________ ①abc<0 y ①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤Δ=b-4ac > 0 -1 x 1

2、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。 (1)、当x为何值时，y随x的增大而增大; (2)、当x为何值时，y<0。 (3)、求它的解析式和顶点坐标； y O x

3、已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）写出它的对称轴和顶点坐标。

归纳小结： （1）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用 注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函 数值y的取值范围 （2）a，b，c，Δ的正负与图象的位置关系 注意：图象与轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0）时 AB=|x2-x1|= √(x1+x2)2+4x1 x2= —— 这一结论及推导过程。 √Δ |a|

再见