计算机问题求解 – 论题1-10 - 函数 2018年11月20日
Part I 函数的概念
问题1: “函数”与“关系”有 什么异同?
问题2: 是函数吗?
问题3: 这里的function与你中学 时熟悉的函数有什么异同?
( See Figure above) 问题4: 你是否能解释一下?
问题5: 书中提出了什么问题? 你想 出了什么“自己”的问题吗?
问题6: 关于函数自变量的集合只有一 个 (domain),关于函数值的 集合却有两个 (codomain和 range),为什么?
如何严格证明函数的range?
问题7: 你能用下面的例子说明上 述的方法吗?
几种特殊的函数 满射 单射(一对一的) 双射(一一对应的) :AB是满射的:ran=B, iff. yB, xA, 使 得(x)=y 单射(一对一的) :AB是单射的:y ran, !xA, 使得 (x)=y iff. x1,x2A, 若x1x2,则(x1) (x2) iff. x1,x2A, 若(x1) =(x2),则x1=x2。 双射(一一对应的) 满射+单射
几种特殊的函数:例子 问题8: 为什么? :RR, (x)= -x2+2x-1 :Z+R, (x)= ln x, 单射 :RZ, (x)= x, 满射 :RR, (x)= 2x-1,双射 :R+R+, (x)= (x2+1)/x 注意:f(x)2, 而对任意正实数x,f(x)=f(1/x) :RRRR, (<x,y>) = <x+y, x-y>, 双射。 :NNN, (<x,y>) = | x2-y2| 问题8: 为什么?
有限集合上一一对应的函数的例子 S={1,2,3}, 可以在S上定义6个不同的一一对应的函数 (每一个称为一个“置换”):
Part II 复合函数
问题9: 这两个定义有什么关联?
问题10: 和 ()(x) 有什么不同? = { (1,2), (2,3), (3,1) }; = { (1,3), (2,2), (3,1) }; = { (1,2), (2,1), (3,3) } = 问题10: 和 ()(x) 有什么不同? 顺便问一句,是什么?
复合运算保持 函数性质:单射 单射的复合是单射 定理:如果f :AB, g:BC均是单射,则g f:AC也是单射。 证明要点: 若不然,即存在x1,x2A, 且x1x2,使得g f(x1)=g f(x2) ,设 f (x1)=t1, f (x2)=t2, 如果 t1=t2,与f是单射矛盾。 如果 t1 t2,与g是单射矛盾。
但是… 若g f是单射,能推出f 和g是单射吗? 显然,f一定是单射。 若存在t1,t2B, t1t2,但g(t1)=g(t2) , (即:g不是单射!) 只要 t1或者t2 不在f 值域内,则g f 仍然可能是单射。
B A C g f
问题11: 你能否就其它性质做 类似的讨论?
问题12: 这些函数是否都有反函数,各自的反函数是什么? 关于反函数 1 3 2 绕轴翻转 顺时针旋转: 0度:e 120度: 240度: 绕轴翻转 问题12: 这些函数是否都有反函数,各自的反函数是什么?
问题13: 你能从直观上想想为什么函数 存在反函数的充分必要条件是 该函数是bijection? 换一个角度看“undo”。
问题14: 你能否比较一下函数/反函数 与你熟悉的数/倒数这两组数 学概念之间的关系? 实数的乘法满足交换律,但函数的复合运算并不满足交换律,这个差别对上述讨论有什么影响?
左与右 对于 有 问题15: 前面关于反函数的直观想法怎样 成为严格的数学定理?
你能说说另外两个结论证明的“路数”吗?
问题16: 你能解释一下上述结论吗?
课外作业 UD 13.3-13.5, 13.7, 13.11, 13.13; UD 14.8, 14.12, 14.13, 14.15; UD 15.1, 15.6, 15.7, 15.11-15.15; 15.20 UD 16.19-16.22 UD 27.6 (可选)