概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院
第 三 章 多维 随机变量及其分布
我们开始学习——多维随机变量 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.
一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随机向量. 以下重点讨论二维随机变量. 请注意与一维情形的对照 .
§3.1 二维随机变量及其分布 定义 设为随机试验的样本空间， 则称( X , Y )为二维r.v.或二维随机向量
二维随机变量的联合分布函数 定义 设( X , Y ) 为二维 r.v. 对任何一对 实数( x , y ), 事件 (记为 ) 的概率 (记为 ) 的概率 定义了一个二元 实函数 F ( x , y )，称为二维 r.v.( X ,Y ) 的分布函数，即
分布函数的几何意义 如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示
(X,Y) 落在矩形区域 内的概率可用分布函数表示 y x o x1 x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2) (x2 , y1) (x1 , y2) (x1 , y1)
联合分布函数的性质 x y ① x y (x, y)
对每个变量单调不减 ② 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x, y1) F (x, y2) 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1,y) F (x2, y) 对每个变量右连续 ③ F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 )
二维离散型 r.v.及其概率分布 定义 若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值 为有限多个或无穷可列多个, 则称 (X ,Y ) 为二维离散型 r.v. 要描述二维离散型 r.v.的概率特 性及其与每个 r.v.之间的关系常用其 联合概率分布和边缘概率分布
联合分布律 设( X ,Y )的所有可能的取值为 则称 为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布 也简称 概率分布 或 分布律 显然，
( X ,Y ) 的联合分布律 X Y x1 xi y1 yj
已知联合分布律可以求出其联合分布函数 二维离散 r.v.的联合分布函数
的求法 ⑴ 利用古典概型直接求； ⑵ 利用乘法公式
例 设随机变量 X 在 1,2,3三个数中等可能地取值， 另一个随机变量 Y 在1~X 中等可能地取一整数值， 试求 ( X,Y ) 的分布律。 解 由题意知，（X=i，Y=j）的取值情况是： i=1,2,3,且是等可能的； j 取不大于 i 的正整数。 由乘法公式求得 ( X,Y ) 的分布律。
§3.1 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量 定义 设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为 F(x ,y),若存在非负可积函数 f (x,y) , 使得对于任意实数 x , y 有 则称( X ,Y ) 为二维连续型 r.v. f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合概率密度函数 简称概率密度函数简记 p.d.f.
联合密度的性质 (3) 在 的连续点处 (4) 若G 是平面上的区域，则
例 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为
(2)
常用连续型二维随机变量分布 区域G 上的均匀分布，记作U ( G ) G 是平面上的有界区域, 面积为 A 若r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为 则称( X ,Y )服从区域G上的均匀分布
若( X ,Y )服从区域G上的均匀分布, 则 G1 G, 设G1的面积为A1,
例 设(X ,Y ) ~ G 上的均匀分布, 求 f ( x, y ); P ( Y > X 2 ); ( X ,Y ) 在平面上的落点到 y 轴距离小于0.3的概率.
解 (1) y=x 1 x y y = x2 (2) G
(3) y = x 1 x y 0.3
二维正态分布 若r.v.( X ,Y ) 的联合d.f.为 则称( X ,Y ) 服从参数为1,12,2,22, 的 正态分布, 记作( X ,Y ) ~ N(1,12;2,22; ) 其中1,2>0, -1< < 1 .
二维正态分布图