第24讲 相似三角形 考点知识精讲 中考典例精析 举一反三 考点训练.

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第24讲 相似三角形 考点知识精讲 中考典例精析 举一反三 考点训练

考点一 相似三角形的定义 定义:如果两个三角形的各角对应 ,各边对应 ,那么这两个三角形相似 考点二 相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角 ,对应边 . 2.相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于________. 3.相似三角形的周长之比等于 ,面积之比等于 . 相等 成比例 相等 成比例 相似比 相似比 相似比的平方

考点三 相似三角形的判定 1.两边对应 ,且夹角 的两个三角形相似. 2.两角对应相等的两个三角形相似. 3.三边对应 的两个三角形相似. 温馨提示: 直角三角形相似的条件:(1)两直角边对应成比例的两个直角三角形相似.(2)有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.(3)有斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 成比例 相等 成比例

(1)(2011·深圳)如图所示,小正方形的边长均为1, 则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( ) (2)(2011·铜仁)已知:如图所示,在△ABC中, ∠AED=∠B,则下列等式成立的是( )

(3)(2011·重庆)如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别交边 AB、AC于D、E两点,若AD∶AB=1∶3,则△ADE与△ABC的面积 比为________. 【点拨】本组题重点考查相似三角形的性质和判定.

(2011·南京)如图①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点. (1)如图②,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC>∠A,CD是AB上的中线,过点B作BE⊥CD,垂足为E.试说明E是△ABC的自相似点. (2)在△ABC中,∠A<∠B<∠C. ①如图③,利用尺规作出△ABC的相似点P(写出作法并保留作图痕迹).

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数. 【点拨】正确理解并确定自相似点,写出相似的两个三角形是解答本题的关键.

1.如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,DE∥ BC,若AD∶AB=3∶4,AE=6,则AC等于( ) A.3 B.4 C.6 D.8 答案:D 2.如图所示,Rt△ABC ∽Rt△DEF,则cosE的值等于( ) 答案:A

6.如图,△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的边BC上的高, AE是⊙O的直径,连接BE,△ABE与△ADC相似吗?请证明你 的结论. 答案:△ABE与△ADC相似.理由如下:在△ABE与△ADC中 ∵AE是⊙O的直径,∴∠ABE=90°,∵AD是△ABC的边BC上的高,∴∠ADC=90°,∴∠ABE=∠ADC.又∵同弧所对的圆周角相等,∴∠BEA=∠DCA.∴△ABE∽△ADC.

相似三角形 训练时间:60分钟 分值:100分

一、选择题(每小题4分,共48分) 1.(2010中考变式题)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( ) 【解析】观察△ACB得∠ACB=135°,被选项中只有A项图中三角形含135°角. 【答案】A

【答案】B

3.(2010中考变式题)下列命题中,是真命题的为( ) A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似 【解析】本题考查相似三角形的判定方法. 【答案】D

4. (2012中考预测题)小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落点恰好在离网6米的位置上,则球拍击球的高度h为(  ) 【答案】C

5.(2011·深圳)如图,△ABC与△DEF均为等边三角形,O为BC与EF的中点,则AD∶BE的值为(  )

【答案】A 

6.(2010中考变式题)如图,在△ABC中,D、E两点分别在BC、AC边上,若BD=CD,∠B=∠CDE,DE=2,则AB的长度是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】∵∠B=∠CDE,∴AB∥DE.∵BD=CD,则DE为△ABC的中位线,则AB=2DE=4. 【答案】A

A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【答案】A

8.(2010中考变式题)如图,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC边于D,则DE的长为(  )

【答案】B

【答案】B

10.(2012中考预测题)兴趣小组的同学要测量树的高度,在阳光下,一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0 10.(2012中考预测题)兴趣小组的同学要测量树的高度,在阳光下,一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2米,一 级台阶高为0.3米,如图所示,若此时落在地面上的影长为4.4米,则树高为(  )

A.11.5米 B.11.75米 C.11.8米 D.12.25米 【答案】C

11.(2011·荆州)如图,P为线段AB上一点,AD与BC交于E,∠CPD=∠A=∠B,BC交PD于F,AD交PC于G,则图中相似三角形有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

【解析】①∵∠C=∠C,∠CPD=∠B,∴△CPF∽△CBP;②∵∠DPG=∠A,∠D=∠D,∴△DPG∽△DAP;③∵∠BPF=∠D+∠A,∠AGP=∠D+∠CPD,又∵∠A=∠CPD,∴∠BPF=∠AGP.又∵∠B=∠A,∴△APG∽△BFP.故选C. 【答案】C

12.(2011·大连)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,AF平分∠DAE,EF⊥AE,则CF等于(  )

【答案】C 

二、填空题(每小题4分,共16分) 13.(2011·吉林)如图,△ABC中,点D、E分别为AB、AC的中点,连接DE,线段BE、CD相交于点O.若OD=2,则OC=________.

【答案】4

14.(2011·重庆)如图,△ABC中,DE∥BC,DE分别交边AB、AC于D、E两点,若AD∶AB=1∶3,则△ADE与△ABC的面积比为________. 【答案】1∶9

15.(2012中考预测题)如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,点E在AB上,且AE=3,点F在AC上,连接EF,若△AEF与△ABC相似,则AF=________. 【答案】2或4.5

16.(2011·莆田)如图,一束光线从点A(3,3)出发,经过y轴上的C反射后经过点B(1,0),则光线从A点到B点经过的路线长是________.

【答案】5 

三、解答题(共36分) 17.(12分)(2011·佛山)如图,D是△ABC的边AB上一点,连接CD,若AD=2,BD=4,∠ACD=∠B,求AC的长.

18.(12分)(2010中考变式题)如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B. (1)求证:△ADF∽△DEC. 【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.∴∠ADF=∠CED,∠B+∠C=180°.∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B,∴∠AFD=∠C,∴△ADF∽△DEC.

19.(12分)(2012中考预测题)一块直角三角形形状的铁皮材料,两直角边长分别为30 cm、40 cm,现要把它加工成一个面积最大的正方形,两种加工方法如图①、②,请你用学过的知识说明哪种加工方法符合要求? 【答案】解:在图①中设正方形的边长为x,则DE=x,AD=30-x ∵∠A=∠A,∠ADE=∠C=90°