第24讲　相似三角形 考点知识精讲 中考典例精析 举一反三 考点训练

考点一 相似三角形的定义 定义：如果两个三角形的各角对应 ，各边对应 ，那么这两个三角形相似 考点二 相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角 ，对应边 . 2．相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于________. 3.相似三角形的周长之比等于 ，面积之比等于 . 相等 成比例 相等 成比例 相似比 相似比 相似比的平方

考点三 相似三角形的判定 1．两边对应 ，且夹角 的两个三角形相似． 2．两角对应相等的两个三角形相似． 3．三边对应 的两个三角形相似． 温馨提示： 直角三角形相似的条件：（1）两直角边对应成比例的两个直角三角形相似.（2）有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.（3）有斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 成比例 相等 成比例

(1)(2011·深圳)如图所示，小正方形的边长均为1， 则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( ) (2)(2011·铜仁)已知：如图所示，在△ABC中， ∠AED＝∠B，则下列等式成立的是( )

(3)(2011·重庆)如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交边 AB、AC于D、E两点，若AD∶AB＝1∶3，则△ADE与△ABC的面积 比为________． 【点拨】本组题重点考查相似三角形的性质和判定．

(2011·南京)如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点． (1)如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E.试说明E是△ABC的自相似点． (2)在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C. ①如图③,利用尺规作出△ABC的相似点P(写出作法并保留作图痕迹).

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数． 【点拨】正确理解并确定自相似点，写出相似的两个三角形是解答本题的关键．

1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥ BC，若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于( ) A．3 B．4 C．6 D．8 答案：D 2．如图所示，Rt△ABC ∽Rt△DEF，则cosE的值等于( ) 答案：A

6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高， AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你 的结论． 答案：△ABE与△ADC相似．理由如下：在△ABE与△ADC中 ∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵AD是△ABC的边BC上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ABE＝∠ADC.又∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BEA＝∠DCA.∴△ABE∽△ADC.

相似三角形 训练时间：60分钟 分值：100分

一、选择题(每小题4分，共48分) 1．(2010中考变式题)如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( ) 【解析】观察△ACB得∠ACB＝135°，被选项中只有A项图中三角形含135°角． 【答案】A

【答案】B

3．(2010中考变式题)下列命题中，是真命题的为( ) A．锐角三角形都相似 B．直角三角形都相似 C．等腰三角形都相似 D．等边三角形都相似 【解析】本题考查相似三角形的判定方法． 【答案】D

4. (2012中考预测题)小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为(　　) 【答案】C

5．(2011·深圳)如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC与EF的中点，则AD∶BE的值为(　　)

【答案】A　

6．(2010中考变式题)如图，在△ABC中，D、E两点分别在BC、AC边上，若BD＝CD，∠B＝∠CDE，DE＝2，则AB的长度是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】∵∠B＝∠CDE，∴AB∥DE.∵BD＝CD，则DE为△ABC的中位线，则AB＝2DE＝4. 【答案】A

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A

8．(2010中考变式题)如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为(　　)

【答案】B

【答案】B

10．(2012中考预测题)兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0 10．(2012中考预测题)兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一 级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为(　　)

A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米 【答案】C

11．(2011·荆州)如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

【解析】①∵∠C＝∠C，∠CPD＝∠B，∴△CPF∽△CBP；②∵∠DPG＝∠A，∠D＝∠D，∴△DPG∽△DAP；③∵∠BPF＝∠D＋∠A，∠AGP＝∠D＋∠CPD，又∵∠A＝∠CPD，∴∠BPF＝∠AGP.又∵∠B＝∠A，∴△APG∽△BFP.故选C. 【答案】C

12．(2011·大连)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于(　　)

【答案】C　

二、填空题(每小题4分，共16分) 13．(2011·吉林)如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O.若OD＝2，则OC＝________.

【答案】4

14．(2011·重庆)如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AC于D、E两点，若AD∶AB＝1∶3，则△ADE与△ABC的面积比为________． 【答案】1∶9

15．(2012中考预测题)如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝________. 【答案】2或4.5

16．(2011·莆田)如图，一束光线从点A(3,3)出发，经过y轴上的C反射后经过点B(1,0)，则光线从A点到B点经过的路线长是________．

【答案】5　

三、解答题(共36分) 17．(12分)(2011·佛山)如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的长．

18．(12分)(2010中考变式题)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°.∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.

19．(12分)(2012中考预测题)一块直角三角形形状的铁皮材料，两直角边长分别为30 cm、40 cm，现要把它加工成一个面积最大的正方形，两种加工方法如图①、②，请你用学过的知识说明哪种加工方法符合要求？ 【答案】解：在图①中设正方形的边长为x，则DE＝x，AD＝30－x ∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C＝90°