第六章 特殊的平行四边形 6.1 矩形(1)
矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 想一想：你能举出在人们的日常生活和 生产实践中，有哪些东西是矩形的？ 特殊性 小学里学过的长方形、正方形都是矩形 想一想：你能举出在人们的日常生活和 生产实践中，有哪些东西是矩形的？
探索性质，尝试证明 既然矩形是特殊的平行四边形，那么它和平行四边形相比特殊在哪里？哪些性质改变了，哪些未性质改变？ 元素 平行四边形的性质 内角 对角相等，邻角互补 边 对边平行且相等 对角线互相平分 对角线
合作学习： （2）猜想矩形的边、内角、对角线的性质和 平行四边形比较哪些有了变化，哪些未变？ （1）利用平行四边形的不稳定性，观察从平行 四边形到矩形的变化过程，思考哪些元素发生 了变化，哪些元素未发生变化？ O A B C D （2）猜想矩形的边、内角、对角线的性质和 平行四边形比较哪些有了变化，哪些未变？ 变化过程
猜测矩形应具有下列性质: 元素 平行四边形的性质 矩形的性质 内角 对角相等，邻角互补 边 对边平行且相等 对角线 对角线互相平分 四个角都是直 角 对边平行且相 等 对角线互相平 分且相等
定理1、矩形的四个角都是直角。 已知：四边形ABCD是矩形，∠A＝900 。 求证：∠A= ∠B = ∠C=∠D=900 。 ∴ AD∥BC ∴ ∠A+ ∠B=1800 又∵ ∠A＝900 ∴ ∠B ＝900 又∵ ∠A = ∠C， ∠B = ∠D（矩形的对角相等） ∴ ∠A= ∠B = ∠C=∠D=900 即 矩形的 四个角都是直角。
思考：性质定理（2）的证明还可以采用什么方法？ 定理2：矩形的对角线相等。 A D 已知：AC,BD是矩形ABCD的对角线。 求证：AC=BD 。 证明：在矩形ABCD中， ∵ AB=CD(平行四边形的对边相等） B C ∠BAD=∠CDA=Rt∠（矩形的每个角都是直角） AD=DA ∴ Rt△BAD≌ Rt△CDA(SAS) ∴ AC=BD. 即 矩形的对角线相等。 思考：性质定理（2）的证明还可以采用什么方法？
证法二： 在矩形ABCD中，AC、BD是对角线 即 BD = AC . 已知：AC,BD是矩形的对角线。 求证：AC=BD 。 ∵ ∠ABC=∠ADC=Rt∠, OA=OC, OB=OD ∴ OB+OD= AC+ AC = AC, ∴ OB= AC，OD= AC， （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 即 BD = AC .
矩形特征： （共性） 四个角都是直角 互相平分 相 等 （2）角： 对边： 平行 相等 （共性） （1）边： 邻边：互相垂直 （特性） A B C D 矩形特征： O （共性） 四个角都是直角 互相平分 相 等 （2）角： 对边： 平行 相等 （共性） （1）边： 邻边：互相垂直 （特性） （特性） （共性） （3）对角线： （特性）
运用性质，提高能力 问题1：（1）根据矩形的上述性质，你能发现OA、OB、OC、OD有什么关系？ （3）若已知BC=8，O到BC的距离为3，求矩形的面积，周长，对角线的长度。
问题2：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O （1）若∠AOD=120度，试判断 ΔAOB的形状。 （2）若要得到ΔAOB是等边三角形，你可以添加一个什么条件？ （3）若∠AOD=120度，AB=4厘米，求矩形的对角线长，周长，面积。
例1、已知：如图：在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, ∠AOD=120°， AB=4cm。 （1）判断△AOB的形状； （2） 求 BD与AD的长。
学以致用： 1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠BOC=2∠AOB，若AC=6cm, 试求AB的长。
2、如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，对角线AC，BD相交于点O，且BE：ED=1：3，AD=8㎝，求AE的长。
学以致用： 3、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD，∠DAE：∠EAB= 3 ：1，求∠EAC的度数。
矩形的对称性： 任意画一个矩形，请探求它的对称性，找出它的对称轴。 O
1、（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等 收获： 1、（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等 2、矩形既是轴对称图形， 有两条对称轴。
练习： 1、已知矩形的周长是14cm,相邻两边的差 是1cm, 那么这个矩形的面积是多少？ O A B C D 2、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交 于点O，已知AB=2cm,AC=6cm,则BC= ？cm, ΔBOC 的周长=？ cm.
3、如图，已知矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F。 练 习 3、如图，已知矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F。 求证： AE=BF
如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE与FC的延长线相交于点E，判断CA与CE的大小关系，并说明理由。 探索与提高 如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE与FC的延长线相交于点E，判断CA与CE的大小关系，并说明理由。 F