Matlab 选讲 二 上海交通大学数学系 刘小军
第四章 Matlab中的常见数学问题 多项式问题 一、多项式的表示：向量形式 二、常用多项式函数： roots 多项式求根 poly 由根创建多项式 polyval 求多项式的值 polyder 对多项式求导 polyint 对多项式求积分 polyfit 多项式拟合
多项式拟合的例子： x=0:0.1:1; y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2] 用二阶多项式拟合上述数据并作图比较。 插值 一维插值：interp1(x,y,X,’method’) x, y为已知数据点（要求x以单调方式排列），X为要求的数据点，必须在x定义的范围内，method为插值算法的名称，常用的如下： method 含义 特点 linear 线性插值 较快，有足够精度 cubic 三次多项式插值 较慢，精度高，平滑性好 spline 三次样条插值 最慢，精度高，最平滑
微分与积分 例：有如下12个数据点： x = 1 : 12; y= [5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24 ]; 利用三次样条插值对上述数据点进行加细（取步长0.2） X = 1 : 0.2 : 12; Y = interp1( x, y, X, ‘spline’ ) 二维插值：interp2(x,y,z,X,Y,’method’) 微分与积分 导数与微分：一般使用Matlab中的符号计算命令：diff 可结合eval函数计算符号表达式的值
函数的极值点（最优化问题） Matlab的优化运算依赖于其优化工具箱optim。该工具箱由一些对普通非线性函数求解最小化或最大化（极值）的函数组成，另外还包括一些解决诸如线性规划等标准矩阵问题的函数。 问题类型 函数用法 含义 线性规划问题 x=linprog(f,A,b) 在条件Ax≤b下求min f(xi) 无限定标量问题 x=fminunc(‘f’,x) min f(x)，x为标量 无限定条件矩阵问题 min f(x)，x为矩阵 有限定条件 x=fmincon(‘f’,x) min f(x)，条件为G(x) ≤0 目标条件 x=fgoalattain(‘f’,x,goal.w) min r, 条件为F(x)-W r ≤goal 最小最大极值 x=fminmax(‘fg’,x) min{max f(X)},条件为G(X) ≤0 非线性二次平方极值 x=lsqnonneg(‘f’,x) min∑(F(X)*F(X)) 非线性方程 x=fsolve(‘f’,x) F(X)=0 半无穷条件 x=fseminf(‘ft’,n,x) min f(X)，条件为任意给定w值φ(X, w) ≤0
求解程序： f=-[5 4 6]; A=[1,-1,1;3,2,4;3,2,0]; b=[20,42,30]; LB=[0,0,0]; [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],LB) 说明： 1. exitflag>0 ：解收敛；exitflag<0：解不收敛 exitflag=0：优化结果超过了函数的估计值或已声明的最大叠代次数。 2. output的iterations表示优化过程的叠代次数 3. lambda的四个分量分别表示不等式约束条件、等式约束条件、上下界约束条件在优化过程中是否有效。
求解的Matlab程序： x0=[-1, 1]; lb=[0, 0]; ub=[]; options=[]; fun=‘exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1)’ [x,fval,exitflag,output] = fmincon (fun,x0,[],[],[],[],lb,ub,’consfun’,options) 其中consfun函数如下： function [c,ceq]=consfun(x) c=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10]; ceq=[]; 注意：不等式或等式的标准形式为 ~ ≤ 0，~ =0 options选项的设置请参看联机帮助