第八章 常用统计分布

第一节 超几何分布 适用：小群体的两分变量。假定总体为 K个成功类、（N-K）个为失败类 1.超几何分布为离散型随机变量的概率 第一节 超几何分布 适用：小群体的两分变量。假定总体为 K个成功类、（N-K）个为失败类 1.超几何分布为离散型随机变量的概率 分布，它的数学形式是 2019/4/4

2.超几何分布的数学期望值和方差 如果用 ，则有 2019/4/4

[解] 由题意可知：N＝8．K＝3，N―K＝5．n＝5，代入(8．1)式，故概率分布如下： [例] 以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与变异数。 [解] 由题意可知：N＝8．K＝3，N―K＝5．n＝5，代入(8．1)式，故概率分布如下： X 0 1 2 3 合计 P=(X=x) 1/56 15/56 30/56 10/56 56/56 由 ， ，代入(8．4)式、(8．5)式得 （1） （2） 2019/4/4

3.关于超几何分布的近似 设某校有l000名大学生，其中有外国留学生10、名，现从该校学生中任抽2人，求抽到外国留学生的概率分布。 [解] 抽到外国留学生人数X服从N＝1000、K＝10、n＝2的超几何分布，根据(8．1)式得 2019/4/4

由于 ＝0．002＜0．1，用二项分布近似 计算有 ，由(8．6)式得 由于 ＝0．002＜0．1，用二项分布近似 计算有 ，由(8．6)式得 两种方法计算结果比较一下，仅在小数点后第5位上才出现误差。当然在＞0．1时，如此计算误差会比较大。另外，二项分布的计算量仍不算小，有时还可以将二项分布近似为泊松分布，这一点我们将在下一节讨论。 2019/4/4

第二节 泊松分布 适用：稀有事件的研究。一个事件的平均发生次数 是大量实验的结果，在这些试验中，此事件可能发生，但 是发生的概率非常小。 第二节 泊松分布 适用：稀有事件的研究。一个事件的平均发生次数 是大量实验的结果，在这些试验中，此事件可能发生，但 是发生的概率非常小。 泊松分布亦为离散型随机变量的概率分布，随机变量 X为样本内成功事件的次数。若λ为成功次数的期望值， 假定它为已知。而且在某一时空中成功的次数很少，超过 5次的成功概率可忽不计，那么X的某一具体取值x（即稀 有事件出现的次数）的概率分布为 2019/4/4

泊松分布的性质：x的取值为零和一切正整数；图 形是非对称的，但随着的λ增加，图形变得对称；泊松 分布的数学期望和方差均为λ。 2019/4/4

[解] 由资料知 [例] 某城市50天交通事故的频数分布如 表所示，试求泊松 ≥ 理论分布。 一天交通事故数 1 2 3 合计 天数f 23 1 2 3 合计 天数f 23 17 7 50 [解] 由资料知 查泊松分布表，得理论分布 将实测频数与理论频数比较，可知题中所述稀有事件是 满足泊松分布的。 X 1 2 3 4 合计 P 0.4493 0.3595 0.1438 0.0383 0.0091 1.0000 理论频（50хPi ) 22.4 18.0 7.2 1.9 0.5 50.0 ≥ 2019/4/4

第三节 卡方分布 卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布，主要用于列联表 检验。 1.数学形式 第三节 卡方分布 卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布，主要用于列联表 检验。 1.数学形式 设随机变量X1，X2，…Xk，相互独立，且都服从同一的正态 分布N (μ，σ2)。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量 Z1，Z2，…Zk，k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布 （ 分布）的随机变量 （ 读作卡方），且 我们把随机变量 的概率分布称为 分布，其概率密度记 作 。其中k为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量的个数。 2019/4/4

关于卡方分布的分布函数，附表7对不同的自由度k及不同的临 界概率α(0＜α＜1)，给出了满足下面概率式的 的值(参见 图)。 注意 写法的含义：它 表示自由度为k的卡方分布，当 其分布函数 时，其随机变量 的临界值(参见图)。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平α上卡方分布随机变量 的临界值。 2019/4/4

[解] 查卡方分布表，在表中自由度为5的横行中找到 与15最接近的数值是15．086，得到α的近似值为0．01。 由此可知 ≈0．01． [例] 试求下列各值： [解] 查卡方分布表(附表7)得 [例] 已知k＝5， ＝15，求临界概率α。 [解] 查卡方分布表，在表中自由度为5的横行中找到 与15最接近的数值是15．086，得到α的近似值为0．01。 由此可知 ≈0．01． 2019/4/4

2. 卡方分布的性质 (1) 恒为正值 。 (2)卡方分布的期望值 是自由度k，方差 为2k。 (1) 恒为正值 。 (2)卡方分布的期望值 是自由度k，方差 为2k。 卡方分布取决于自由度k，每一个可能的自由度对应一个具体 的卡方分布。卡方分布只与自由度有关，这就给卡方分布的实际应 用带来很大方便。分布由正态分布导出，但它之所以与正态分布的 参数μ和σ无关，是因为标准正态变量Z与原来的参数无关。 (3)卡方分布具有可加性 (4)利用卡方分布可以推出样本方差 S2 的分布 式中：σ2代表总体方差，自由度为n―l。 2019/4/4

所以，样本方差S 2落在3．3和8．7之间的概率约为90％。 3. 样本方差的抽样分布 [例] 由一正态总体抽出容量为25的一随机样本，已知σ2＝6，求 样本方差S 2在3.3到8.7之间的概率。 [解] 已知n＝25，σ2＝6，由 得 所以，样本方差S 2落在3．3和8．7之间的概率约为90％。 2019/4/4

第四节 F 分布 F 分布是连续性随机变量的另一种重要的小样本分布，可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是否相等。还是方差分析和正交设计的理论基础。 1.数学形式 设 和 相互独立，那么随机变量 服从自由度为(k1，k2)的F分布。其中，分子上的自由 度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。 2019/4/4

k2)的值(参见图)。 我们把随机变量F的概率分 布称为F分布，其概率密度记 作 。本书附 表8，对不同自由度(k1，k2)及 作 。本书附 表8，对不同自由度(k1，k2)及 不同的临界概率α(0＜α＜1)， 给出满足下列概率式的Fα(k1， k2)的值(参见图)。 注意 写法的含义：它表示自由度为 (k1，k2)的F 分布，当其分布函数 时，其随机变量 F 的临界值(参 见图)。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平α上F 分布 随机变量 F 的临界值。 2019/4/4

[例] 试求下列各值： [解]查F分布表(附表8)得 如果 和 是两个独立随 机样本的方差，样本来源于具有相同 如果 和 是两个独立随 机样本的方差，样本来源于具有相同 方差σ2的两个正态总体，样本容量 分别为n1和n2，那么根据(8．22)式， 随机变量F 服从于自由度为(n1―1和 n2―1)的F分布。 2019/4/4

2. F分布性质 (3) F分布的期望值与变异数(方差) F分布也是一个连续的非对 称分布。 反对称性。 (1)随机变量F恒为正值， (2)分布具有一定程度的 反对称性。 (3) F分布的期望值与变异数(方差) 2019/4/4