第二章 投影的基本知识

2.1 投影的基本概念和分类

预备知识： 在灯光（太阳光）的照射下，物体（形体）在墙面（地面）上产生影子 。这里灯（太阳）称为投影中心（投影方向），光线称为投射线，墙面（地面）称为投影面，这种得到形体的投影方法，称为投影法。

成影现象: 光源 光线 物体 阴影 地面

投影的形成 投影中心 S 投影线 形体 投影 投影面 作出形体投影的方法，叫投影法。

投影三要素 投影线（投射线） 形体 投影面（H）

投影的分类 １、中心投影 2、 平行投影 斜投影 正投影

斜投影: S 投射线的方向倾斜于投影面H且彼此平行.

正投影: 投射线的方向垂直于投影面H且彼此平行. S new

2.2正投影法与三面投影图 正投影的基本性质 形体的三面投影图

正投影的基本性质 平行投影与中心投影既具有共同的性质，又有各自的特性。平行投影中投影的形状、大小与几何元素距投影面的远近无关。正投影具有下述主要性质: 不变性 ：同素不变性 、平行性 、从属性 、等比性 、实形性 ； 积聚性与重影性； 类似性 。

同素不变性 点的投影仍为点，如图2—1a所示； 直线的投影一般仍为直线，如图2—1b所示； 面的投影一般仍为面，如图2—1c所示。

平行性 空间平行两直线的投影仍相互平行，如图2—2所示，已知AB∥CD，则a b∥c d。

从属性 属于线上的点，其投影仍在该线的投影上。如图2-3所示，已知空间点G属于直线EF(G∈EF)，则其投影g必定属于直线EF的投影e f （g∈e f)。同理，属于平面上的点和线的投影仍属于该平面的投影。

等比性 空间平行两直线长度之比等于其投影长度之比，如图2-2所示， AB:CD=ab:cd

等比性 点分线段之比，投影后保持不变，如图2—3所示，EG:GF=e g:g f

实形性 当直线段或平面平行于投影面时，线段的投影反映其实长，平面图形的投影反映其实形,如图2-4所示。

积聚性 当直线平行于投影方向时,其投影积聚为一点,该直线上任意一点的投影也都落在这一点上；当平面平行于投影方向时,其投影积聚为一条线,屑于该平面上的点、线或其他图形的投影也积聚在这一条线上，如图2-5所示。投影中的这种性质称为积聚性。

重影性 两个或两个以上的点或线、面的投影，叠合在同一投影上叫做重影，如图2-6所示。投影中的这种性质称为重影性。

类似性 当直线段或平面图形既不平行于投影面又不平行于投影方向时,直线段投影的长度会发生变化,可能变长或缩短,如图2-7所示;平面图形的投影也要发生变形,其投影形状与原形的边数相同,凸凹性相同及边的直线或曲线性质不变,即投影形状与原形类同。这种性质称为类似性。

形体的三面投影图 工程图样最常使用的投影法是正投影法，它具有上述平行投影的特性。由正投影法绘制的图形，称为正投影图，在以后章节中主要研究正投影图的绘制和读图(除阴影与透视、斜轴测投影和标高投影等章节外)。因此，在以后章节中凡称“投影”，一般均指正投影。 按照正投影法，将形体向投影面投影所得到的正投影图叫视图。

投影图 （视图）

投影图 （视图）

单面投影和多面投影 如上图所示,5个形状不同的形体按图示方向投影到一投影面上 得到一个完全相同的投影图。显然,该投影图只分别反映了5个形体的一个侧面。

单面投影和多面投影 可见，在正投影中，一个投影图不能完整表示形体，不能确定形体的形状和大小。要完整地表示形体的形状和大小、就必须从几个方向来进行投影，用两个、三个甚至更多个投影图结合起来才能完整地表达形体的形状和大小。 而要反映出它们的形状和大小，则需如图2－10所示，将每一形体分别从三个不同方向向三个投影面投影，得到三个不同侧面的投影图，这三个投影图就能准确、完整地表达每一个形体的形状和大小。

每一形体分别从三个不同方向向三个投影面投影，得到三个不同侧面的投影图

形体的三面投影图 如上述,为了完整地表示形体的形状和大小,须将形体从几个方向来进行投影。 为了获得形体的三面投影图,首先引入三个彼此垂直相交的投影平面V、H和W,形成三面投影体系。其中、V面称为正立投影面(简称正面),H面称为水平投影面(简称水平面)，W面称为侧立投影面(简称侧面)。 三投影面的交线称为投影轴：V面和H面的交线称为OX轴、OX轴方向为形体的长度方向；H面和W面的交线称为OY轴，OY轴方向为形体的宽度方向；V面和W面的交线称为OZ轴，OZ轴方向为形体的高度方向。三投影轴垂直相交于一点O，称为原点。三投影面体系如下页图所示。

三投影面体系: Z Ⅵ Ⅴ O Ⅱ Ⅷ Ⅰ Y Ⅲ X Ⅳ

从三面投影面体系中 取出我国所用的第一角投影。

三投影面体系 W H H

如右图2-11a所示,将形体放入三投影面体系中,分别按图示方向将形体向三个投影面进行投影,得到三面投影图。这样就能将形体的长、宽、高三个度量方向的大小及上下、左右、前后六个方位的表面形状完整表达。

三投影面体系 三面投影图的名称分别为正立面投影图（简称正面投影或V面投影）、水平面投影图（简称水平投影或H面投影）、侧立面投影图（简称侧面投影或W面投影）。 (1)正立面投影图,从前向后投射,即沿A向进行投射,在正立投影面上所得的投影图； (2)水平面投影图,从上向下投射,即沿B向进行投射,在水平投影面上所得的投影图； (3)侧立面投影图,从左向右投射,即沿C向进 行投射,在右侧立投影面上所得的投影图。

三面投影图的展开 为了把三面投影图画在一平面上，并保持它们之间的投影对应关系，按规定的方法将三投影面展开。如左图(b)所示，设定V面不动，将H面绕V面与H面的交线OX轴向下旋转900，W面绕V面与W面的交线OZ轴向右后旋转900，使H面、W面均与V面摊平在一个平面上。

三面投影图的展开 由于投影面的大小与投影图无关，故在画三面投影图时不画出投影面的框线，而根据图纸幅面和三面投影图的大小来确定投影图之间的距离，如左图(c)所示形体的三面投影图。

三面投影图的对应关系 三个面投影图分别表示形体的三个侧面，所以三个投影图之间既有区别又有联系。三面投影图按上述规定方法展开摊平在一个平面上后，其投影对应关系保持不变。

三面投影图的位置关系 如左图所示，三面投影图的位置关系为：以正立面投影图为准，水平面投影图在正立面投影图的正下方，左侧立面投影图在正立面投影图的正右方。

三面投影图的投影关系 如右图所示，正立面投影图反映形体的长和高； 水平面投影图反映形体的长和宽； 左侧立面投影图反映形体的高和宽。 同一形体的三面投影图之间具有如下“三等”关系 ：

三面投影图的投影关系 (1)正面投影图与水平面投影图长度相等。如上述，正面投影图和水平面投影图都反映形体的长度，展开后平面图在正面投影图的下方对正布置，故它们之间保持“长对正”(即等长)的投影关系，也即V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴(图中省去了投影轴)。

三面投影图的投影关系 (2)正面投影图和左侧面投影图高度相等。如上述，正面投影图和左侧面投影图都反映形体的高度，展开后左侧面投影图在正面投影图的右方对齐布置，故它们之间保持“高平齐”(即等高)的投影关系，也即V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴。

三面投影图的投影关系 (3)水平面投影图和左侧面投影图宽度相等。如上述，水平面投影图和左侧面投影图都反映形体的宽度，故它们之间应有“宽相等”(即等宽)的投影关系，也即H面投影和W面投影的Y坐标值相等。

三面投影图的投影关系 三面投影图的投影关系，即“长对正、高平齐、宽相等”，这是画图和看图必须遵循的投影规律。不仅整个形体的投影要符合这条规律，形体局部结构和形体上的几何元素的投影亦必须符合这条规律。

三面投影图与形体六个方位的对应关系 形体有前、后、上、下、左、右等六个方位，这六个方位及其表面形状在三面投影图间的反映，如图所示。　　　　　　　 在投影图上明确形体的方位，对读图是很有帮助的。应对照直观图和平面图，熟悉形成、展开和还原过程，以准确判断形体的方位关系。其中，尤其要注意前后关系的判别：水平面投影图、左侧立面投影图中远离正立面投影图的一边，表示形体的前面，靠近正立面投影图的一边是形体的后面。

三面投影图与形体六个方位的对应关系 三面投影图与形体六个方位的对应关系

形体的三视图

去掉投射线

投影面上的Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴 new

完成体的三视图投影

V Z W YW X O 三视图的展开 H YH

三视图作图方法与步骤 (1)为了使形体的投影反映其表面的实形，作图时，必须尽可能使形体的表面平行于投影面，然后进行投影。 (2)画投影图，先定位。 　①若用投影轴作图，先画出水平和垂直　十字相交轴线作为定位线； 　②若不用投影轴作图，可先画各视图的　定位线，然后再根据“三等关系作图。

三视图作图方法与步骤 (3)根据投影关系作图。 　①先画正立面投影图，再以竖直线保证　正面图与水平面投影图各相应部分“长　对正”，以水平直线保证正面图与左侧　立面投影图各相应部分“高平齐”。 　②利用分规或直尺度量保证水平面投影　图与左侧立面投影图各相应部分“宽相　等”的作图。