Unit 9 初階邏輯語言 授課教師：傅皓政 老師 【本著作除另有註明外，採取創用CC「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣3.0版授權釋出】

Unit 9 初階邏輯語言 傳統邏輯不足之處：只能處理一元述詞 的語句，不能處理關係(relation)述詞的 語句。 以 “a  b” 為例說明： (1)傳統邏輯讀法： “a” 具有 “ b” 這個 性質。 (2)關係述詞讀法： “a” 和 “ b” 兩個東 西滿足 “  ” 這個關係。 1128a 00:27:50 a大於b，會滿足a  b。 李同學和林同學，李同學坐在林同學右邊，假設以傳統邏輯來看，你會看成是他本身有一個性質，這個性質叫做在林同學的右邊，可是我們都知道把這個性質看成是內在性質是說不通的，因為只要他換個位置，這個性質就不見了。比如說李同學皮膚是黃色的，這個才能算是他的內在性質。 傳統邏輯無法處理，除非這世界所有性質都是內在性質。基本上用關係來讀的話，我們會說 a 跟 b 會滿足這個關係，而不是 a 具有大於 b 這個性質。

Unit 9 初階邏輯語言 單稱語詞(singular terms)：用來表達個 別東西(individual things)的語詞，以小 寫字母 a、b、c……表示。 變量(variables)：用來表達非特定對象 的語詞，以小寫字母 x、y、z……表示。 1128a 00:30:52 傳統邏輯把句子拆成兩部分，一邊叫主詞，一邊叫述詞，進一步，我們需要有關係的語句，這些句子必須可以容許有二位以上的述詞進來。 所以我們的語言大概分成這幾個， 第一個是單稱詞，為了避免爭議，在這裡我們通常把他當是成名詞符號。 你會看到有些邏輯書會把它寫成Individual constant ，Individual constant 指涉特定的對象 ，比如說我用 a 來指林同學，那我說 a 過了，就是林同學過了嘛，所以它代表特定的對象。 再來是變量，變量就是用來指不特定的東西。

Unit 9 初階邏輯語言 述詞符號：用來表達 n 個對象之間的關 係，n  1。 一元述詞：Pa, Qb, Rx, Ty…… 二元述詞：Pab, Qbc, Rxy, Tyz…… n 元述詞： Pa1, a2, ……an 注意： Pab  Pba 1128a 00:33:46 再來是述詞符號，他可以表示到 n 個對象，一元述詞，譬如說，「x是帥的」應該是一元述詞，我們可以說「林同學是帥的」，「李同學是帥的」，「孫同學是帥的」，「傅老師當然也是帥的」。 二元述詞則是必須放兩個東西進來，才能形成完整的語句。如果只放一個東西會覺得很怪，就是語句不完整的感覺。 譬如說，林同學在右邊，這句話很怪，感覺就是話沒說完的意思。應該說林同學在誰的右邊，像這種誰在誰右邊叫二元述詞。我們有n元述詞，我們來做個小練習， 有誰知道什麼是三元述詞的？很好，誰在誰跟誰的中間嘛。 日常生活中頂多用到三元述詞，思考可以延伸到n元，但很少聽到會用四元以上。注意Pab  Pba，我們來看看這個例子，譬如說，傅老師是林同學的老師，我是 a 他是 b，那反過來說，林同學是傅老師的老師，這兩句話雖然都對，但這兩句話是不一樣的。

Unit 9 初階邏輯語言 量詞：用來表達量的多寡的語詞。 全稱量詞： (x)、(y)、 (z) 1128a 00:39:57 再來我們看到量詞， 全稱量號  就是 A 倒過來，而這個 A 就是for all中的All取第一個字母的意思，存在量詞  則是存在 Exist 取第一個字母，這個符號就是for something的意思。

Unit 9 初階邏輯語言 初階邏輯語言 (1)符號： (i)名稱符號： a、b、c…… (ii)變量： x、y、z…… (iii)n元述詞符號： P , Q , R …… (iv)量詞：、 (v)連接詞： , , , ,  (vi)等同符號：= (vii)輔助符號： ( , ) 1128a 00:40:16 初階邏輯語言， 包括了符號和形構規則。 我們需要的符號包括了名稱符號、變量、n元述詞符號、量詞、連接詞、等同符號和輔助符號。 在述詞邏輯系統裡面，等同符號並不是必要的， 所以在有些邏輯系統裡面會沒有等同符號的出現，那也是OK的。

Unit 9 初階邏輯語言 (2)形構規則：分成(a)原子句式(atomic formulae)以及(b)複合句式(compound formulae) (a)原子句式 (i)以等同符號連接兩個名稱符號的句 式，例如 a = b。 (ii)如果 P 是 n 元述詞，則 P(a1, a2, ……an) 為原子句式。 1128a 00:41:52 形構規則分成兩個原子語句和複合語句。 原子語句基本上就是， 第一個就是等同號，譬如說a=b。 再來，P如果是個n元述詞，就表示P(a1,a2,…,an)為原子語句。

Unit 9 初階邏輯語言 (b)複合語句： (i)如果 φ 是一個句式，那麼 φ也是 句式。 (ii) 如果 φ 和 ψ 都是句式，那麼 φψ, φψ, φψ, φψ也都是句式。 (iii)如果 φ 是一個句式，那麼 (x)φ(x)和(x)φ(x)也是句式。 (iv)除了經由規則(a)和規則(b)建構的 句式之外，沒有其他句式。 1128a 00:42:30 接下來是複合語句，我們來看第三個，如果如果 φ 是一個句式，那麼(x)φ(x)和(x)φ(x)也是句式。 當然這裡面會有很多的討論，我們在這門課沒辦法給各位做詳細的討論， 舉個例子，假設我們前面用了x，後面的句子裡面卻沒有任何X的變量，那這個我們就會說他是多餘的。 或者後面有X，前面沒有x 或 x，就代表他沒有被任何的量詞所綁住。 在這門課裡所學的語句，為了方便起見，我把多餘的討論都去掉了。 再來，除了規則(a)跟(b)之外就沒有其他的formula，這是我們的一個規定。

Unit 9 初階邏輯語言 句式實例說明： 以 a 代表蘇格拉底，Px 代表 x 是哲學家， 則 Pa 代表蘇格拉底是哲學家。 以 Px 代表 x 是哲學家，則(x)Px是指所 有的 x 都是哲學家。 以 Px 代表 x 是哲學家，則(x)Px是指有 些 x 是哲學家。 1128b 00:00:00 如果a代表蘇格拉底，Px代表x是哲學家，那Pa就代表蘇格拉底是哲學家。 再來是Px代表x是哲學家，則(x)Px是指所有的x都是哲學家。 第三個，Px代表x是哲學家，則(x)Px是指有些x是哲學家。

Unit 9 初階邏輯語言 如果以 a 代表蘇格拉底，b 代表柏拉圖， Pxy 代表 x 是 y 的老師。那麼，Pab 代表 a 是 b 的老師。 如果以 Pxy 代表 x 是 y 的老師，則 (x)(y)Pxy 代表所有的 x 都是任意 y 的 老師。 (x)(y)Pxy 代表有些 x 是有些 y 的老師。 1128b 00:01:05 接下來來看邏輯語言， 如果以 a 代表蘇格拉底，b代表柏拉圖，Pxy代表x是y的老師，那Pab就代表a是b的老師。 如果以 Pxy 代表 x 是 y 的老師，則(x)(y)Pxy 代表所有的 x 都是任意 y 的老師。 如果以 Pxy 代表 x 是 y 的老師，則(x)(y)Pxy 代表有些 x 是有些 y的老師。

Unit 9 初階邏輯語言 (x)(y)Pxy 代表任何 x 都是一些 y 的老 師。(y)(x)Pxy 代表對某些 y 而言，所 有的 x 都是 y 的老師。 (x)(y)Pxy 代表有些 x 是所有 y 的老師。 (y)(x)Pxy 代表對所有的 y 而言，都有 一些 x 是 y 的老師。 1128b 00:02:10 各位要小心，如果量詞位置不一樣，句子的意思也不一樣。 (x)(y)Pxy 表示任何 x 都是某些 y 的老師。如果把(y)放前面，(y)(x)Pxy 代表對某些 y 而言，所有的 x 都是 y 的老師。 各位可以告訴我這兩句話的差別嗎？邱同學請說，差很多？太好了。 可以請你說說嗎？好她的意思是，第一個的意思說，所有 x 都是某些y的老師，也就是說，各位都是某些人的老師，以我們四個人做標準，我是孫同學的老師，孫同學是李同學的老師，李同學是林同學的老師，林同學是傅老師的老師，所以對我們來講所有的人都是某些人的老師。 第二句，他講得很好，有個人去修某個老師的課，唯一可以確定的是，所有人都是他的老師。再來這兩句話呢？ (x)(y)Pxy 代表有些 x 是所有 y 的老師。 (y)(x)Pxy 代表對所有的 y 而言，都有一些 x 是 y 的老師。 這兩句話差別在哪裡？跟剛剛一樣嘛。 假設以我們班級做為討論範圍的話，我說有這樣一個人他是所有人的老師，這就符合第一句話的意思。第二句話的情況是，當我走出這個教室之後，沒有那樣一個人是所有人的老師了，所以對所有人來講，只要他有老師這樣就OK，並不一定要是同一個人。 當他出現有全稱量詞、存在量詞的時候，他語法表達的內容就完全不一樣了。

Unit 9 初階邏輯語言 一元述詞的翻譯： A句型：所有的人都是理性的。 Mx：x 是人。 Rx：x 是理性的。 (x)(Mx  Rx) 1128b 00:10:47 接下來我們來看一元述詞的翻譯， 第一個我告訴你，所有的人都是理性的， 那我們就要先寫這樣， 譬如說Mx：x是人，Rx：x是理性的，那所有的人就是x， 所以就是(x)(Mx  Rx)。 各位會不會疑惑為什麼這邊要用conditional？ 因為他是充分條件，所以他要先滿足人的條件，才去決定他是有理性的。

Unit 9 初階邏輯語言 一元述詞的翻譯： E句型：所有的人都不是理性的。 Mx：x 是人。 Rx：x 是理性的。 (x)(Mx  Rx) 1128b 00:12:40 那E語句：所有人都不是理性的。 那當然加個negation就好， 所以如果Mx：x 是人，Rx：x 是理性的， 就會得到 (x)(Mx  Rx)。

Unit 9 初階邏輯語言 一元述詞的翻譯： I句型：有些人是理性的。 Mx：x 是人。 Rx：x 是理性的。 (x)(Mx  Rx) 1128b 00:12:55 I句型：有些人是理性的。 那我們就翻譯成這樣， 對某些人來講，他既是人又是有理性的， 所以就會得到 (x)(Mx  Rx)。

Unit 9 初階邏輯語言 一元述詞的翻譯： O句型：有些人是不理性的。 Mx：x 是人。 Rx：x 是理性的。 (x)(Mx  Rx) 1128b 00:13:18 O句型：有些人是不理性的。 對某些人來講，x是人，且x是不理性的， 所以就可以寫成 (x)(Mx  Rx)。

(QN) ⊢(x)φ(x)  (x)φ(x) Unit 9 初階邏輯語言 由於 A 句型與 O 句型是矛盾的，因此 A 句型的否定和 O 句型是等值的。 (QN) ⊢(x)φ(x)  (x)φ(x) (x)(Mx  Rx)  (x)(Mx  Rx) (by QN)  (x)(Mx  Rx) (Impl)  (x)( Mx  Rx) (DeM)  (x)(Mx  Rx) (DN) 1128b 00:13:34 我們說過由於 A 句型與 O 句型是矛盾的，因此 A 句型的否定和 O 句型是等值的，(QN) ⊢(x)φ(x)  (x)φ(x) ，這兩個句子是等值的。 簡單的判斷方式是說，你就把這個讓他秋風掃落葉掃過去，這個就會變成，反過來說，如果是就會變成。 接下來這個是證明， 如果我把A句型加否定(x)(Mx  Rx) ，然後去做推論，你會發現  (x)(Mx  Rx) (by QN)  (x)(Mx  Rx) (Impl)  (x)( Mx  Rx) (DeM)  (x)(Mx  Rx) (DN) 因此 A 句型的否定和 O 句型是等值的。

(QN) ⊢(x)φ(x)  (x)φ(x) Unit 9 初階邏輯語言 反之， O 句型的否定和 A 句型也是等 值的。 (QN) ⊢(x)φ(x)  (x)φ(x) (x)(Mx  Rx)  (x)(Mx  Rx) (by QN)  (x)(Mx  Rx) (DeM)  (x)(Mx  Rx) (DN)  (x)(Mx  Rx) (Impl) 1128b 00:15:54 再來這個是進一步的練習， 我們去證明O 句型的否定和 A 句型也是等值的。

(QN) ⊢(x)φ(x)  (x)φ(x) Unit 9 初階邏輯語言 由於 E 句型與 I 句型是矛盾的，因此 E 句型的否定和 I 句型是等值的。 (QN) ⊢(x)φ(x)  (x)φ(x) (x)(Mx  Rx)  (x)(Mx  Rx) (by QN)  (x)(Mx  Rx) (Impl)  (x)( Mx  Rx) (DeM)  (x)(Mx  Rx) (DN) 1128b 00:16:09 這個E語句跟I語句也是一樣的證明， E 句型的否定和 I 句型是等值的。

(QN) ⊢(x)φ(x)  (x)φ(x) Unit 9 初階邏輯語言 反之， I 句型的否定和 E 句型也是等值 的。 (QN) ⊢(x)φ(x)  (x)φ(x) (x)(Mx  Rx)  (x)(Mx  Rx) (by QN)  (x)(Mx  Rx) (DeM)  (x)(Mx  Rx) (Impl) 1128b 00:16:29 再來是 I 句型的否定和 E 句型也是等值的。

Unit 9 初階邏輯語言 關係述詞的性質： 對稱關係(symmetrical)： 當 x 對 y 滿足關係 R 時，y 對 x 也滿足 關係 R，則關係 R 是對稱的。 (x)(y)(Rxy  Ryx) 1128b 00:16:38 什麼叫對稱關係，如果 x 對 y 滿足關係 R 時，y 對 x 也滿足關係 R，則關係 R 是對稱的。各位想想什麼關係是對稱的，最簡單的就是等於嘛，a如果等於b，b就會等於a。 那我們一般有什麼關係是對稱的？同學是吧，你是我的同學我就是你的同學，親戚是不是？兄弟姊妹是不是，兄弟和姊妹不一定吧，但兄弟姊妹是， 那朋友是不是？不一定嘛，你把我當朋友，我不一定嘛。 所以對稱關係是這樣，如果x等於y，那y也等於x。 那麼它的式子是這樣，(x)(y)(Rxy  Ryx)

Unit 9 初階邏輯語言 關係述詞的性質： 反對稱關係(asymmetrical)： 當 x 對 y 滿足關係 R 時，y 對 x 必不滿 足關係 R，則關係 R 是反對稱的。 (x)(y)(Rxy  Ryx) 1128b 00:20:10 什麼是反對稱，如果 x 對 y 這個關係成立，那麼 y 對 x 一定不成立。 譬如說父親，a 如果是 b 的父親，那 b 就一定不會是 a 的父親。 所以反對稱的formula就是(x)(y)(Rxy  Ryx)。

Unit 9 初階邏輯語言 關係述詞的性質： 非對稱關係(nonsymmetrical)： 當某個關係 R 既非對稱關係，亦非反 對稱關係，則關係 R 是非對稱的。 1128b 00:21:40 再來是非對稱關係。 如果對稱關係不成立，反對稱關係也不成立，那這個關係就是非對稱關係。 譬如說朋友就是，你把一個人當朋友，但他不一定會把你當朋友，這就是非對稱關係。

(x)(y)(z)((Rxy  Ryz) Rxz) Unit 9 初階邏輯語言 關係述詞的性質： 傳遞關係(transitive)： 在 x 對 y 滿足關係 R ，而且 y 對 z 也滿 足關係 R 的情況下，x 對 z 同時滿足關 係 R，則關係 R 是傳遞的。 (x)(y)(z)((Rxy  Ryz) Rxz) 1128b 00:23:16 接下來是傳遞關係。 如果x 對 y 滿足關係 R ，而且 y 對 z 也滿足關係 R 的情況下，x 對 z 同時滿足關係 R，則關係 R 是傳遞的。 也就是說x到y畫個箭頭，再從y到z畫個箭頭，然後任意的x畫個箭頭到z，那這個關係就是傳遞關係。 譬如說大於會是個傳遞關係，4>3，3>2，那一定4>2。 所以我們就會得到 (x)(y)(z)((Rxy  Ryz) Rxz)。

(x)(y)(z)((Rxy  Ryz) Rxz) Unit 9 初階邏輯語言 關係述詞的性質： 反傳遞關係(intransitive)： 在 x 對 y 滿足關係 R ，而且 y 對 z 也滿 足關係 R 的情況下，x 對 z 同時必不滿 足關係 R，則關係 R 是反傳遞的。 (x)(y)(z)((Rxy  Ryz) Rxz) 1128b 00:26:33 當然也有反傳遞關係， 就是x跟y滿足關係R，y跟z滿足關係R，但是x跟z一定不滿足關係R。 譬如說父子關係， a是b的父親，b是c的父親，那a可以是c的父親嗎？一定不行嘛。 所以得到關係是這樣(x)(y)(z)((Rxy  Ryz) Rxz)。

Unit 9 初階邏輯語言 關係述詞的性質： 非傳遞關係(nontransitive)： 當某個關係 R 非傳遞關係，亦非反傳 遞關係，則關係 R 是非傳遞的。 1128b 00:27:35 再來是非傳遞關係， 當某個關係 R 非傳遞關係，亦非反傳遞關係，則關係 R 是非傳遞的。

Unit 9 初階邏輯語言 關係述詞的性質： 全自反關係(totally reflexive)： 當每個 x 均對 x 自身滿足關係 R 時，則 關係 R 是全自反的。 (x)Rxx 1128b 00:28:05 接下來是全自反關係，他其實是有兩個不同的關係， 我們先來看第一個， 當每個 x 均對 x 自身滿足關係 R 時，則關係 R 是全自反的。 所以我們以這樣表示(x)Rxx 。

(x)(y)(Rxy  (Rxx  Ryy)) Unit 9 初階邏輯語言 關係述詞的性質： 自反關係(reflexive)： 當 x 對 y 滿足關係 R 時，同時 x 和 y 對 其自身均滿足關係 R，則關係 R 是自反 的。 (x)(y)(Rxy  (Rxx  Ryy)) 1128b 00:29:31 自反關係是這樣， 當 x 對 y 滿足關係 R 時，同時 x 和 y 對其自身均滿足關係 R，則關係 R 是自反的。

Unit 9 初階邏輯語言 關係述詞的性質： 反自反關係(irreflexive)： 當每個 x 均對 x 自身不滿足關係 R 時， 則關係 R 是反自反的。 (x)Rxx 1128b 00:30:28 再來是反自反關係， 就是沒有任何的圖是從自己出發，然後回到自己的， 也就是當每個 x 均對 x 自身不滿足關係 R 時，則關係 R 是反自反的。 所以關係是這樣 (x)Rxx 。

Unit 9 初階邏輯語言 關係述詞的性質： 非自反關係(nonreflexive)： 當 某個關係 R 既非自反關係，亦非反 自反關係，則關係 R 是非自反的。 1128b 00:31:05 接下來是非自反關係， 當某個關係 R 既非自反關係，亦非反自反關係，則關係 R是非自反的。 就是有些圖會回到他自身，但有些不會，這樣我們就說他是非自反關係。 這裡面到底有什麼關鍵性的東西呢？ 這裡面會不會有些關係的推論？ 譬如說，有一個關係是全自反且是對稱的，請問是不是一定是傳遞的呢？ 或者是說 ，如果有個關係是反對稱且反傳遞的，那是不是一定是反自反的呢？ 類似像這樣的問題，我們可以去思考各式各樣的關係，這就是我們這裡的重點。