第八章 假設之檢定與信賴區間 陳順宇 教授 成功大學統計系

8.1 假設檢定之簡介 某人聲稱他有超能力， 能猜中一銅板擲出的結果 是正面還是反面， 到底他是吹牛或真有超能力，

統計便是一種科學的驗證方法 我們試圖去相信某種說法，或是反駁它。 例如：有一說法是這樣的， 用手指月亮的人，隔天耳朵會被割傷， 另有一說法是， 早晨量身高會比晚上量的來的高， 這些說法是否正確，有待確認，

統計做驗證的例子 (1) 驗證某生產線生產的洋芋片厚度 是否已偏離目標值？ (第8章) (2)  驗證某種藥是否有效？(第8章)

(3) 驗證甲教學法是否比乙教學法效果好？ (第9章)     (4) 驗證某地區男、女生的平均所得 是否有差異？ (第9章)

(5)驗證某公司品管人員提出的改善策略 是否有效? (即改善策略是否有降低不良率的效 果？)(第10章)      (6)驗證兩條生產線(或兩家公司)某產品的 良率是否有差異？ (第10章)

(7) 驗證某骰子是否公正？ (第11章) (8) 驗證某地區男、女生的教育程度 (分成國中以下、高中、大專以上) 是否有差異？ (第11章)

(9)驗證甲、乙、丙3種肥料對蕃茄產量的 影響是否有差異？ (即肥料是否為影響蕃茄產量要因) (第12章) (10)驗證爐溫與壓力對鋼硬度的影響 是否有交互作用？是否有主效用？

假設檢定 假設(Hypothesis)是一種說法， 或是一種傳說， 它是對或是錯，需要經過驗證， 統計上稱驗證為檢定(Testing)。

例如有一種說法， 抽菸的男人比不抽菸的男人容易患肺癌， 這樣的說法是真是假？ 有待證明。

表8.1 抽菸與患肺癌人數表

抽菸組患肺癌比例顯然 高於未抽菸組患肺癌比例

表8.2 抽樣的抽菸與 患肺癌人數統計表

要判定抽菸者患肺癌比例比未抽菸者高的說法正確與否就有困難

因為 (1)樣本不能代表母體。 (2)再重抽一次樣本可能得到不同的比例。

抽樣誤差存在，有判斷錯誤機會 由於有抽樣誤差存在， 因此就有判斷錯誤， 這種判錯又分成二種狀況，

型I錯誤 一種是說法不正確 (即抽不抽菸對患肺癌沒有影響)， 但由於抽樣結果判它正確， 這種型態的錯誤稱為型I錯誤；

型II錯誤 另一種是說法正確 (即抽菸較易患肺癌)， 但由抽樣的資料判它不正確， 這種型態的錯誤稱為型II錯誤。 統計學家的工作就是想辦法使 犯這二種錯誤的機會降至最低。

8.2 檢定觀念及名詞介紹 統味公司生產飲料， 其說明書上聲稱其容量平均是250cc， 8.2 檢定觀念及名詞介紹 統味公司生產飲料， 其說明書上聲稱其容量平均是250cc， 有位顧客打電話向消費者基金會抱怨說：此公司的飲料容量平均不到250cc，

消費者基金會如何 利用統計方法解決此紛爭呢？

抽樣50筆資料

算出這瓶資料樣本平均數 及樣本標準差 是否因 就說此公司的說明書有問題呢？

銅板實驗 假設有一銅板，連擲十次， 結果出現正面6次、反面4次， 我們是否就要懷疑此銅板不公正呢? 這個實驗讓我們聯想到 『理論與實驗的結果並不見得 是完全一致的，常會有一些偏差』。

1.虛無假設 H0: m=250 H0: p=0.5

2.對立假設 H1: m< 250 單尾檢定 H1: p  0.5 雙尾檢定

3.型I錯誤及型II錯誤 型I錯誤(H0是對的，但誤判H0是錯) 型II錯誤(即H0是錯的，但被誤判H0為對)

型I錯誤 假設所擲銅板是公正的， 但某人連擲10次都出現正面， 因此依據判斷準則，就判定H0是錯的

型II錯誤 假設我們拿到另一個銅板， 它出現正面的機會是0.3， 但擲10次卻出現5次正面、5次反面， 因此判定H0是真(即此銅板是公正銅板)

統計檢定與法官判罪

4.顯著水準 型I誤差 :犯型I錯誤的機率 型II誤差 :型II錯誤的機率 控制好型I誤差， 使其不超過某種水準(通常訂為5%)， 此水準也稱為顯著水準

法官判罪 我們再以法官判罪為例做說明， 假使某國家認為法官犯型I錯誤 (即無罪的嫌疑犯卻被判成有罪)， 這種誤判嚴重影響國民權益， 法官如犯了此種錯誤就要被免職，

而另一方面有罪卻被判無罪的話， 法官只被罰小錢了事。

那麼法官為了避免遭到免職處分， 他可以將所有疑犯判無罪， 這樣犯型I錯誤的機會等於0， 但相對的型II誤差就增多了。

8.3 棄卻域 (reject region beyond critical value) 判對立假設為真的樣本區域就稱為 棄卻域 即棄卻域就是最佳檢定 認為如果樣本資料所算出統計量落在這個範圍時，就要棄卻H0(即認為H0是錯的)， 也就是棄卻域是棄卻H0的區域

當抽樣所得的樣本平均數 太小時，會懷疑公司所言不實 棄卻域為 < c 的型式 critical value=c It is left tail, because RR is left (less than) c

critical value=c It is left tail (single tail), because RR is left (less than) c

-Z0.05=-1.645 (查表)

也就是棄卻域

1. 顯著水準對檢定結論的影響：

2. 顯著水準a愈小愈保護虛無假設 在顯著水準a=0.05時，判H0顯著， a=0.01時，判H0不顯著， 可以看出顯著水準訂的愈小時，

P 值 但由於電腦的發達，一般電腦統計套裝軟體都會印出 P 值(Probability Value)。 P 值的定義是在什麼樣的顯著水準a， 算出棄卻域的臨界點c剛好是 樣本統計量，也就是剛好使H0顯著

a = ?剛好顯著 當=0.05 算出 c =249.67 下顯著的結論。 當=0.04 算出 c =249.65 下顯著的結論。

P值可以下式求得

算出值後，檢定的結論就可以用所訂的顯著水準與p值做比較。 當P值 < 時，H0是顯著的； 當P值 > 時，H0是不顯著的

記住〝P值很小時就表示H0是顯著的〞 但到底值要小到什麼程度 才表示是顯著呢？

P值與顯著水準 a比較 (i)若P值<0.01，則下H0是顯著的結論， (ii)若P值>0.1，則下H0是不顯著的結論， (iii)若0.01<P值<0.1，則暫不下結論。

例8.1、 一袋中有紅白球若干個， 我們想知道袋中白球是否不到一半， (1) 若從袋中拿3球(每次看完後放回)， 其中有白球1個，是否有證據說此袋 白球所佔比例不到0.5？

(2) 若從袋中拿出300球(每次看完後放回)， 其中有白球100個， 是否有證據說此袋中白球 所佔比例不到0.5？

所以沒有證據說袋中白球 所佔比例不到0.5

所以是顯著，有證據說此袋中白球所佔比例不到 0.5

利用中央極限定理求近似值

例8.2、 擲一銅板100次， 結果出現正面49次， 是否有證據說此銅板不公正？

檢定

因此沒有足夠證據說 此銅板不公正

8.4 母體平均數的檢定 (母體標準差σ 已知時)

1.大樣本且s已知的情形

在對立假設是雙尾，H1: m  m0

對立假設是左尾H1: m < m0

對立假設是右尾H1: m > m0

表8.4 標準差已知時 有關平均數的檢定問題 背下來

例8.4飲料問題 對於上述飲料問題， 如果公司在廣告中宣稱平均容量是250cc， 但品管部門懷疑公司飲料容量 平均可能不是250cc， 若收集100筆資料得 品管部門的懷疑是否正確？

檢定

所以是不顯著的， 即沒有證據說此公司飲料 平均容量不是250cc， 也就是行銷部門所懷疑 〝飲料容量平均不只250cc〞是證據不足

例8.5、 要檢定某年全國每戶平均申報所得稅 是否高於75萬元？ 收集到81戶，得樣本平均數78萬元， 若已知全國標準差15萬元， (此由上一年全國申報所得稅算出， 並假設這兩年所得稅的標準差相同)。

試問是否有證據說全國每戶 平均申報所得稅高於75萬元?

檢定

所以是顯著的， 即有證據說全國平均申報 所得稅高於75萬元

母體平均數的檢定 (母體標準差σ未知時)

表8.5 標準差未知時， 有關平均數的檢定問題 表8.5 標準差未知時， 有關平均數的檢定問題

例8.6、 再以飲料為例，若母體標準差未知， 算出樣本標準差為 1.8972 試問是否有證據說飲料容量 平均不足 250cc ?

所以是顯著的，即有證據說 飲料容量平均不足250cc

例8.7、(例8.4續) 要檢定某年全國每戶平均申報所得稅 是否高於75萬元？ 但未知標準差是多少，收集到81戶， 得樣本平均數=78，樣本標準差=16， 試問是否有證據說全國每戶 平均申報所得稅高於75萬元?

有證據說全國平均申報 所得稅高於75萬元

例8.8、 有報導說，台南市成年市民 在2000年平均身高為165公分， 小強懷疑此報導不實，

由台南市成年市民中抽樣50位， 資料如第一章表1.9， 平均身高=165.5公分，標準差=7.454公分 是否有證據說台南市成年市民 平均身高不是165公分？

雙尾檢定

沒有證據說台南市成年市民 平均身高不是165公分

註：若例8.8改為檢定 平均身高是否為166公分？ 則算出t值仍為0.4743， 因此，也是不顯著的。 所以檢定結論如不用是“不顯著”的， 改用是“對的”；因為如果說 是對的， 則此題說台南市民平均身高為165公分 與平均身高為166公分兩種說法都是對的，會有自相矛盾的感覺。

例8.9、 某種減肥活動聲稱3個月可以達到 減肥5公斤以上的效果，

隨機抽樣36位參與此項減肥活動的人 結果36位平均減輕體重5.5公斤， 減輕體重的標準差是1公斤。 (1) 寫出檢定的虛無假設與對立假設。 (2) 請問：此項減肥活動是否達到此目標？

檢定

即有證據說此項減肥活動 有達到目標

例8.10、 大華公司生產某產品， 重量的目標值為300克， 隨機自生產線抽樣36個樣本， 得樣本平均數為298克，標準差為8克 請問是否有證據說此生產線的產品 平均重量己偏離目標值？

雙尾檢定

即沒有證據說此生產線的產品平均重量己偏離目標值

例8.11、 新聞報導浩仁公司工程師 年薪平均超過百萬元， 某位員工認為這是誤報，

隨機抽樣公司100位工程師， 結果平均是92萬元，標準差是20萬元， (1)寫出檢定此問題虛無假設與對立假設。 (2) 是否可以說此報導是不確實的？

左尾檢定

即有證據說此報導是不確實的

t值與樣本數開方成正比 由於樣本數與 t 檢定統計量的關係為 所以若與不變，則樣本數愈大， 對虛無假設愈不利。 下面舉例說明此〝大樣本的威力〞

例8.12、 欲檢定全國成年男人(約600萬人)的 平均身高是否為170公分？

抽樣64位成年男人， 得樣本平均數=170.5，樣本標準差 =6 是否有證據說全國成年男人的 平均身高不是170公分？

(2)抽樣640位成年男人 若樣本平均數仍為175.5 公分， 標準差仍為6公分， 是否有證據說全國成年男人的 平均身高不是170公分？

抽樣64位 沒有證據說全國成年男人的平均身高不是170公分 抽樣64位 沒有證據說全國成年男人的平均身高不是170公分

抽樣640位 有證據說全國成年男人的 平均身高不是170公分 抽樣640位 有證據說全國成年男人的 平均身高不是170公分

註： 樣本數640 算出的 t值是樣本數64 的 倍

例8.13、 有人懷疑現在國中生的體重比10年前重 已知10年前平均體重是43公斤，

抽樣100位 得樣本平均體重44.2公斤，標準差 5公斤，請問 (1)是否有證據說此懷疑是正確的？ (2)若體重單位改為磅，其t值是否改變？ 結論與是否(1)相同？

檢定

(1)此懷疑是正確的

1公斤 = 2.54磅

不論體重單位是公斤或是磅，算出值是相同的

母體平均數之信賴區間

例8.15、 以輪胎壽命為例，如果母體的標準差已知為20， 抽出一組資料得到壽命 393, 395, 402, 375, 364, 389, 368, 08, 366, 400 試求 (1) 95%信賴區間 (2) 90%信賴區間 (3) 99%信賴區間

(1) 95%信賴區間

(2) 90%信賴區間

(3) 99%信賴區間

(5)信賴區間的真正意義 如果我們重覆做100次實驗， 每次抽10個樣本，得100個樣本平均數 ， 這樣就可得到100個的95%信賴區間， 每次抽10個樣本，得100個樣本平均數 ， 這樣就可得到100個的95%信賴區間， 所謂95%的信賴度的意思就是在這算出的100個信賴區間中， 大約有95個區間會包含母體平均數， 約有5個不包含，

例8.16、(例8.15續) 再以輪胎壽命為例， 如果母體的標準差未知， 抽出一組資料得到壽命： 試求平均壽命的 95% 信賴區間 393, 395, 402, 375, 364, 389, 368, 408, 366, 400 試求平均壽命的 95% 信賴區間

雙尾檢定與信賴區間的關係

棄卻域

母體變異數的統計推論

例8.17、 隨機從某公司生產的電池中抽樣 檢查其壽命，假設壽命呈常態分佈， 資料如下(單位:小時)： 26.5 25.8 25.4 25.6 28.3 26.7 30.2 25.9 28.6 27.4 25.6 26.5

試求公司電池壽命 (1)變異數的估計 (2)變異數的95%信賴區間 (3)變異數的95% 信賴區間？

雙尾棄卻域

例8.18、(例8.17續) 檢定電池壽命的變異數是否等於4？

第八章 摘要

1.普查資料無需做統計推論 因為它沒有決策上的錯誤， 沒有誤差，不需要討論犯錯的機率。。

2.如為抽樣資料 則就有抽樣誤差， 就有統計檢定決策錯誤。

3.統計檢定決策如同法官判罪 會犯兩種錯誤(無罪判有罪，有罪判無罪)，此兩種決策錯誤的機率分別稱為 型I、型II誤差 故要先考慮控制它，使它 不超過某一水準(或比例，如常用5%)， 這個水準稱為顯著水準

4.知道棄卻域的型式與 對立假設型式相同

5.P值的意義：

6.小樣本時 除非母體是常態分配， 否則不能利用中央極限定理

9.了解信賴區間的意義 是重覆實驗的結果， 知道信賴區間與雙尾檢定之關係

10. t值是單位不變量 即不論使用何種單位(公分或公尺) 有相同 t值

11.一般而言，樣本數愈大 對應 t值也愈大 所以對虛無假設愈不利。