第4讲 万有引力与航天 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1 第4讲 万有引力与航天 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1 和m2的乘积成 ，与它们之间的距离r的 成反比． 2．公式：F＝ ，其中G＝ N·m2/kg2叫引力常量． 3．适用条件：公式适用于 间的相互作用．也适用于两个质量分布均匀 的球体间的相互作用，但此时r是 间的距离，一个均匀球体与球 外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到 间的距离． 正比 平方 6.67×10－11 质点 两球心 质点
1．万有引力和重力的关系 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg， 另一个是物体随地球自转需要的向心力F向，如图4－4－1所示，可知： (1)地面上的物体的重力随纬度的增大而增大．故重力加速度g从赤道到 两极逐渐增加． (2)在两极：重力等于万有引力，重力加速度最大．
(3)在赤道：F万＝F向＋mg 故mg＝ －mRω2 (4)由于地球的自转角速度很小，地球的自转带来的影响很小，一般情况下认为： ＝mg，故GM＝gR2，这是万有引力定律应用中经常用到的“黄金代换”． (5)距地面越高，物体的重力加速度越小，距地面高度为h处的重力加速度为 g′＝ ，其中R为地球半径，g为地球表面的重力加速度．
2．万有引力定律的基本应用 (1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向 心力由 提供． (2)“万能”连等式 其中gr为距天体中心r处的重力加速度． 万有引力
1．假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增加到原来的2倍， 仍做圆周运动，则( ) A．根据公式v＝ωr可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍 B．根据公式F＝ 可知卫星所需的向心力将减小到原来的1/2 C．根据公式F＝ 可知地球提供的向心力将减小到原来的1/4 D．根据上述B和C中给出的公式可知，卫星运行的线速度将减小到原来的 解析：人造卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引力提 供，有 ，得v＝ ，所以当轨道半径加倍时， 引力变为原来的 ，速度变为原来的 倍，故选项C、D正确． 答案：CD
1．应用万有引力定律分析天体运动的方法 把天体运动看成是 运动，其所需的向心力由天体间的 万有引力提供． 应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算． 匀速圆周 三个近似 近地卫星贴近地球表面运行，可近似认为做匀速圆周运动的半径等于地球半径；在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为其重力等于地球对它的万有引力；天体的运动轨道可近似看作圆轨道．
2．关于同步卫星的五个“一定” (1)轨道平面一定：轨道平面与 共面． (2)周期一定：与地球自转周期 ，即T＝24 h. (3)角速度一定：与地球自转的角速度 ． (4)高度一定：由 (R＋h)得同步卫星离地面的高度 h＝ ≈3.6×107 m. (5)速度一定：v＝ ＝3.1×103 m/s. 赤道平面 相同 相同
1．两种加速度——卫星的向心加速度和随地球自转的向心加速度的比较 物体随地球自转的向心加速度 产生 万有引力 万有引力的一个分力(另一分力为重力) 方向 指向地心 垂直指向地轴 大小 a＝g′＝ (地面附近a近似为g) a＝ ，其中r为地面上某点到地轴的距离 变化 随物体到地心距离r的增大而减小 从赤道到两极逐渐减小
2. 两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的比较 卫星的轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径， 所以r＝R＋h.当卫星贴近天体表面运动时，h≈0， 可近似认为轨道半径等于天体半径．
4．两种周期——自转周期和公转周期的比较 自转周期是天体绕自身某轴线运动一周的时间，公转周期是卫星绕中心天体做圆周运动一周的时间．一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的，如：地球自转周期为24小时，公转周期为365天．但也有相等的，如月球，自转、公转周期都约为27天，所以地球上看到的都是月球固定的一面，在应用中要注意区别．
2．(2009·安徽，15)2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙2251”卫星和美国的“铱33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞．这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运动速率比乙的大，则下列说法中正确的是( ) A．甲的运动周期一定比乙的长 B．甲距地面的高度一定比乙的高 C．甲的向心力一定比乙的小 D．甲的加速度一定比乙的大
解析：根据公式T＝2π 可知：A选项不对；再根据公式v＝ 可知：B不对；由于甲离地球较近，故向心加速度较大，所以C不对， D对． 答案：D
4．我国正在自主研发“北斗二号”地球卫星导航系统，此系统由中轨道、高轨 道和同步卫星等组成，可将定位精度提高到“厘米”级，会在交通、气象、 军事等方面发挥重要作用．已知三种卫星中，中轨道卫星离地最近，同步卫 星离地最远，则下列说法中正确的是( ) A．中轨道卫星的线速度小于高轨道卫星的线速度 B．中轨道卫星的角速度小于同步卫星的角速度 C．若一周期为8 h的中轨道卫星，某时刻在同步卫星的正下方，则经过24 h 仍在该同步卫星的正下方 D．高轨道卫星的向心加速度小于同步卫星的向心加速度
解析：由v＝ 知，A选项错误；由ω＝ 知，B选项错误；若中轨道卫星周期为8 h，则24 h后，中轨道卫星完成3个周期，仍在原来的位置，同步卫星的周期是24 h，也回到原来的位置，C选项正确；由向心加速度公式 a＝ 知，D选项错误． 答案：C
这是发射绕地球做圆周运动卫星的最小发射速度，若7.9 km/s≤v＜11.2 km/s，物体绕 运行(环绕速度) 宇宙速度 数值(km/s) 意 义 第一宇 宙速度 7.9 这是发射绕地球做圆周运动卫星的最小发射速度，若7.9 km/s≤v＜11.2 km/s，物体绕 运行(环绕速度) 第二宇 11.2 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2 km/s≤v＜16.7 km/s，物体绕 运行(脱离速度) 第三宇 16.7 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v≥16.7 km/s，物体将脱离 在宇宙空间运行(逃逸速度) 地球 太阳 太阳系
(1)三种宇宙速度均指的是发射速度，不能理解为环绕速度． (2)第一宇宙速度既是最小发射速度，又是卫星绕地球做匀速圆周运动的 最大速度．
1．如何推导出第一宇宙速度？ 由于在人造卫星的发射过程中，火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发 射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最 小发射速度对应将卫星发射到近地表面运行，此时发射时的动能全部转化为 绕行的动能而不需要转化为重力势能． 根据论述可推导如下： km/s或mg＝ ，v1＝ ＝7.9 km/s.
2．两种速度——环绕速度与发射速度的比较 (1)不同高度处的人造卫星在圆轨道上运行速度即环绕速度v环绕＝ ，其 大小随半径的增大而减小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克 服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面 上所需的发射速度就越大，此时v发射>v环绕． (2)人造地球卫星的最小发射速度应是卫星发射到近地表面运行，此时发射动 能全部作为绕行的动能而不需要转化为重力势能．此速度即为第一宇宙速 度，此时v发射＝v环绕．
5．2009年3月7日(北京时间)世界首个用于探测太阳系外类地行星的“开普勒” 号太空望远镜发射升空，在银河僻远处寻找宇宙生命．假设该望远镜沿半径 为R的圆轨道环绕太阳运行，运行的周期为T，万有引力恒量为G.仅由这些信 息可知( ) A．“开普勒”号太空望远镜的发射速度要大于第三宇宙速度 B．“开普勒”号太空望远镜的发射速度要大于第二宇宙速度 C．太阳的平均密度 D．“开普勒”号太空望远镜的质量
解析：考查天体运动中相关的计算．要探测太阳系外类地行星，发射速度要大于第二宇宙速度，这样才能挣脱地球对它的吸引，A错B对；题目所给的量不能 算出太阳的半径，也就不能算出太阳的平均密度，C错；在算式中，“开普勒”号太空望远镜的质量被约去，没有办法计算，D错．本题难度中等． 答案：B
6．(2009·北京卷，22)已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑 地球自转的影响． (1)推导第一宇宙速度v1的表达式； (2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的 运行周期T.
解析：(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M 在地球表面附近满足 得GM＝R2g ① 卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力 ② ①式代入②式，得到v1＝ . (2)考虑①式，卫星受到的万有引力为F＝ ③ 由牛顿第二定律F＝ ④ ③④式联立解得T＝ . 答案：(1) (2)
【例1】 “嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月 历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在 近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若月球表 面的重力加速度为地球表面重力加速度的1/6，月球半径为地球半径的 1/4，根据以上信息得( )
A．绕月与绕地飞行周期之比为 B．绕月与绕地飞行周期之比为 C．绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6 D．月球与地球质量之比为1∶96 解析：由 可得月球与地球质量之比： ，D正确． 由于在近地及近月轨道中，“嫦娥一号”运行的半径分别可近似为地球的半径与月球的半径，由 ，可得： ，A正确． 由 可得： ，C正确． 答案：ACD
1．两条线索 (1)万有引力提供向心力F引＝F向． (2)重力近似等于万有引力提供向心力． 2．两组公式 (gr为轨道所在处重力加速度)
3．应用实例 (1)天体质量M、密度ρ的估算 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T， 由 ， ，R为天体的半径． 当卫星沿天体表面绕天体运行时，r＝R，则 . (2)卫星的绕行速度、角速度、周期与半径R的关系 ①由 得 知：r越大，v越小． ②由 得 知：r越大，ω越小． ③由 得 知：r越大，T越大．
1－1 图4－4－2 2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第 一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来(如图4－4－2所示)．“神 舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动，其轨道半径为r，若另有一颗卫星绕 地球做匀速圆周运动的半径为2r，则可以确定( )
A．卫星与“神舟七号”的加速度大小之比为1∶4 B．卫星与“神舟七号”的线速度大小之比为1∶ C．翟志刚出舱后不再受地球引力 D．翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品，假如不小心实验样品脱手， 则它做自由落体运动 解析：加速度计算公式为a＝ ，所以卫星和“神舟七号”的加速度之比 为1∶4，A选项正确；线速度计算公式为v＝ ，所以卫星和“神舟七号” 的线速度之比为1∶，B选项正确；翟志刚出舱后依然受到地球的引力，引力提供其做匀速圆周运动所需的向心力，C选项错误；实验样品脱手后，依然做匀速圆周运动，相对飞船静止，D选项错误． 答案：AB
1－2 近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进 行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资 源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周 运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为 某个常数)( ) A．ρ＝ B．ρ＝kT C．ρ＝kT2 D．ρ＝ 解析：本题考查天体密度的计算问题．火星的近地卫星绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即 ，则火星的密度为 , 令k＝ ，则ρ＝ ，故D选项正确． 答案：D
【例2】 火星的质量和半径分别约为地球的 和 ，地球表面的重力加速度为g， 则火星表面的重力加速度约为( ) A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g 解析：在星球表面有 ，故火星表面的重力加速度 故B正确． 答案：B
星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法 设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R， 则 若物体距星体表面高度为h，则重力mg′＝ ， 即g′＝ g .
2－1 (2009·江苏卷，3)英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度 世界8项科学之最，在XTEJ1650500双星系统中发现的最小黑洞位列其 中．若某黑洞的半径R约45 km，质量M和半径R的关系满足 (其中c为 光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( ) A．108 m/s2 B．1010 m/s2 C．1012 m/s2 D．1014 m/s2 解析：星球表面的物体满足mg＝ ，即GM＝R2g， 由题中所给条件 推出GM＝ ，则GM＝R2g＝ ， 代入数据解得g＝1012 m/s2，C正确． 答案：C
【例3】 我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的轨 道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的 ，月 球的半径约为地球半径的 ，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则 该探月卫星绕月运行的速率约为( ) A．0.4 km/s B．1.8 km/s C．11 km/s D．36 km/s
解析：设地球质量、半径分别为M、R，月球质量、半径分别为M′、r，则M′＝ ，r＝ R 解析：设地球质量、半径分别为M、R，月球质量、半径分别为M′、r，则M′＝ ，r＝ R.在星体表面，物体的重力近似等于万有引力，若物体质量为m0，则： ，即GM＝gR2；在月球表面，满足GM′＝g′r2，由此可得：g′＝ ，地球表面的第一宇宙速度v1＝ ＝7.9 km/s，在月球表面， 有v′ ＝ 答案：B
(1)解决此类题的关键：要明确卫星的第一宇宙速度等于最大环绕速度． (2)解决万有引力定律的应用问题，尽管题目很多，但其基本方法是不变的，即把天体的运动看成圆周运动，万有引力提供向心力．
3－1 北京时间2007年11月7号上午8点24分，在北京航天飞行控制中心的控制下，嫦 娥一号卫星主发动机点火成功，工作10分钟后，发动机正常关机，嫦娥一号进入 距月球表面约200公里的圆轨道．设月球半径约为地球半径的1/4，月球质量约为 地球质量的1/81，不考虑月球自转的影响，据此完成下列问题．(地球表面处的重 力加速度g取10 m/s2)，地球半径R＝6 400 km， ＝1.4计算结果保留两位有效数字) (1)在月球上要发射一颗环月卫星，则最小发射速度多大？ (2)嫦娥一号卫星在距月球表面约200公里绕月做匀速圆周运动的速度大小约为多少？
解析：(1)设地球、月球质量分别为M、M1, 半径分别为R、R1；卫星质量为m，在地球、月球上发射卫星的最小速度分别为v、v1； 在地球附近由mg＝ ， 得v＝ ＝8 km/s① 对地球近地卫星 ② 对月球近地卫星 ③ 由①②③得v1＝ ×8 km/s＝1.8 km/s④
(2)当卫星轨道为r＝R1＋h时，设卫星环绕速度为v2 则： ⑤ 由③④⑤得：v2＝ ×1.8 km/s＝1.7 km/s 答案：(1)1.8 km/s (2)1.7 km/s
图4－4－3 如图4－4－3所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是( )
【错因分析】 解本题容易犯的错误是，混淆同步卫星、近地卫星、地球赤道上物体运动的特点，不分青红皂白，由于思维定式，对近地卫星、同步卫星、地球赤道上的物体均由 分析得出结论，错选B.
点击此处进入 作业手册 【正确解答】 解析：本题中涉及三个物体，其已知量排列如下： 地球同步卫星：轨道半径r，运行速率v1，加速度a1； 地球赤道上的物体：轨道半径R，随地球自转的向心加速度a2； 近地卫星：轨道半径R，运行速率v2.对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，有 ，故 . 对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，有a＝ω2r，故 . 答案： A D 点击此处进入 作业手册