27.3 位 似 www.czsx.com.cn

27.3位似（第二课时） 平面直角坐标系中的位似变换

复习回顾 1.什么叫位似图形? 如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比. 2.位似图形的性质 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 3.位似图形的作法 ①定 ②找 ③截 ④连 4.位似的作用 利用位似可以把一个图形放大或缩小

探究 位似变换后A B的对应点为 A'（ ， ），B '（ ， ）； A''（ ， ），B '' （ ， ）． 2 1 2 － 2 － 1 x y 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 O 如图，在平面直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0）．以原点O为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ A A' B'' B B' A'' 位似变换后A B的对应点为 A'（ ， ），B '（ ， ）； A''（ ， ），B '' （ ， ）． 2 1 2 － 2 － 1 － 2

探究 创设情景 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（6，2），以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ x y 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 O 9 10 11 12 -9 -10 -12 A' ● C' A ● B' ● C B B" ● 不同方法得到的图形坐标是不同的 ● C" A" ● www.czsx.com.cn 位似变换后A，B，C的对应点为 A '（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ）； A" （ ， ），B" （ ， ），C" （ ， ）． 12 4 4 6 4 2 －4 －6 －4 －2 －12 －4

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k． 即若原图形的某一顶点坐标为（x0，y0）则其位似图形对应点的坐标为（k x0，ky0 ）或（-k x0，-ky0 ） www.czsx.com.cn

x y 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 例 如图，四边形ABCD的坐标分别为A（－6，6），B（－8，2），C（－4，0），D（－2，4），画出它的一个以原点O为位似中心，相似比为 的位似图形． A D A' B ● D' B' ● ● C ● C' 分析：问题的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标．根据前面的规律，点A的对应点A'的坐标为 ，即（－3，3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标． 解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律．分别取点 A'（ ， ），B ' （ ， ）， C ' （ ， ），D'（ ， ）． 就这一个结果吗？ － 3 3 － 4 1 －2 －1 2 依次连接点A'B'C'D'就是要求的四边形ABCD的位似图形．

A1 (3，-3 ), ， B1 ( 4，-1 )， C1 ( 2，0 ),， D1 ( 1，-2 ) y B A C D C1 ● x o B1 ● ● D1 ● A1

解： ∵△AOB∽△COD 点D的横坐标为2 点B的横坐标为5 相似比为 ∴ 教材P62 1. 如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD， 求它们的相似比． x y 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 O A B C D 解： ∵△AOB∽△COD 点D的横坐标为2 点B的横坐标为5 相似比为 ∴

2. 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），C（5，－2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍． 教材P63 B" x y 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 O 9 10 11 12 -9 -10 -12 2. 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），C（5，－2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍． A" C" A C A' C ' B B ' 解： A'（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ）， 4 － 4 8 － 10 10 －4 A〝 （ ， ），B〝 （ ， ），C 〝 （ ， ）， － 4 4 － 8 10 －10 4

至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在图所示的图案中，你能找到这些变换吗？ www.czsx.com.cn

教材P65 1.如图，写出矩形WXYZ各点的坐标，如果矩形STUV相似于WXYZ，ST∥WX，点S的坐标为(2，7)，按照下列相似比，分别写出T，U，V各点的坐标： (1)相似比为4; (2)相似比为 ;

（1）将四边形ABCD向左平移4个单位，求所得四边形 A 'B'C 'D'各顶点坐标。 (2)在(1)的前提下，以O为位似中心，相似比为 ，将四边形A'B'C'D'做位似变换，求新四边形A1B1C1D1各顶点坐标（要求A'A1在原点的同侧）。 y D' D D1 C' C A1 C1 A A' o x B1 B' B

归纳： 在平面直角坐标系中， 如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k， 那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k 例如：点A （x0，y0）的对应点为A ′ ， 则A ′点的坐标可以这样确定为 （k x0，ky0 ）或（-k x0，-ky0 ）

2.如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ． 1.在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为（2，3） 若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为 ，则点的坐标为 ． （4，6） 2.如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ． （-2，0） 3.已知,如右图, O（0，0）， A（-4，2），B（-2，-2） ,以点O为位似中心,按比例尺1:2把△OAB缩小,则点A的对应点A′的坐标为 ,点B的对应点B ′的坐标为 . O (-2,1)或(2,-1) (-1,-1)或(1,1)

名称 规律 式子表示 平移变换 左减右加，上加下减 （x0,y0） （x0±k,y0±k） 轴对称变换 以x轴为对称轴则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数； X轴 （x0,y0） （x0,-y0） Y轴 （x0,y0） （-x0,y0） 旋转变换 一个图形绕原点旋转180。，则旋转前后两个图形的横坐标与纵坐标都互为相反数 （x0,y0） （-x0,-y0） 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的坐标之比的绝对值等于相似比 （kx0,ky0）或 （-kx0,-ky0）