第二章 教学基本要求 第二章 刚体的转动 第二章 刚体的转动

第二章 教学基本要求 第二章 刚体的转动 一、掌握描述刚体定轴转动的三个物理量——角位移、角速度、角加速度以及角量与线量的关系；并能运用匀变速转动方程进行具体计算。 二、理解转动惯量物理意义，并能进行具体计算。 三、掌握刚体转动定律并能具体运用。 四、理解角动量的概念和角动量定理，掌握角动量守恒定律并能具体运用。 五、了解陀螺的进动现象。

+ 第一节 刚体定轴转动的描述 一、刚体 二、刚体运动基本类型 在无论多大的外力作用下形状和大小都保持不变的物体， 即 。 平动 转动 即 。 二、刚体运动基本类型 平动 转动 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动 + 一般运动

第一节 刚体定轴转动的描述 三、刚体定轴转动的特点 定轴转动： 特点： 刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。 特点： 质点在垂直转轴平面内作圆周运动； 角位移，角速度和角加速度均相同； 质点的线速度，线加速度不一定相同.

第一节 刚体定轴转动的描述 四、刚体定轴转动的描述 p x 转动平面 物理量 角位移 角坐标 角速度 角加速度

刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 第一节 刚体定轴转动的描述 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 . 刚体绕定轴作匀变速转动 质点匀变速直线运动 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比

第一节 刚体定轴转动的描述 角量与线量的关系

第一节 刚体定轴转动的描述 例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r·min-1， 因受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 . 解 （1） t = 30 s 时， 设 .飞轮做匀减速运动 时， t = 0 s 飞轮 30 s 内转过的角度

第一节 刚体定轴转动的描述 转过的圈数 （2） 时，飞轮的角速度 （3） 时，飞轮边缘上一点的线速度大小 该点的切向加速度和法向加速度

第二节 转动动能 转动惯量 一、转动动能 二、转动惯量 物理意义：转动惯性的量度 计算方法 ： 质量离散分布 质量连续分布

第二节 转动动能 转动惯量 质量连续分布刚体的转动惯量 ：质量元 对质量线分布的刚体： ：质量线密度 对质量面分布的刚体： ：质量面密度 第二节 转动动能 转动惯量 ：质量元 质量连续分布刚体的转动惯量 对质量线分布的刚体： ：质量线密度 对质量面分布的刚体： ：质量面密度 对质量体分布的刚体： ：质量体密度

第二节 转动动能 转动惯量 例2 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . O´ O O´ O 第二节 转动动能 转动惯量 例2 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . O´ O O´ O 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 如转轴过端点垂直于棒

第二节 转动动能 转动惯量 例3 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 。 第二节 转动动能 转动惯量 例3 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 。 解 设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环。 O R O 圆环质量 圆环对轴的转动惯量 而 所以

第二节 转动动能 转动惯量 竿子长些还是短些安全？ 飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？ 转动惯量的大小取决于刚体的质量、分布及转轴的位置

第二节 转动动能 转动惯量 几种刚体的转动惯量

第二节 转动动能 转动惯量 三、平行轴定理 质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量 C 第二节 转动动能 转动惯量 三、平行轴定理 C O 质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量 O 例如：圆盘对P 轴的转动惯量 P 四、转动惯量的叠加性

第二节 转动动能 转动惯量 例4 右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆盘半径为R） 解：

第三节 转动定律 一 力矩 P * O 对转轴 Z 的力矩 1）若力 不在转动平面内 讨论 O

第三节 转动定律 2）合力矩等于各分力矩的矢量和 3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 O

第三节 转动定律 二 转动定律 质量元受外力 ，内力 内力矩 外力矩 转动定律 第三节 转动定律 二 转动定律 O 质量元受外力 ，内力 外力矩 内力矩 转动定律 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .

第三节 转动定律 解 （1）隔离物体分别对物体A、B 及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律 、转动定律列方程 . 第三节 转动定律 例5 质量为 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？ 解 （1）隔离物体分别对物体A、B 及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律 、转动定律列方程 . A B C

第三节 转动定律 A B C O O 令 ，得

第三节 转动定律 三 力矩作功 力矩的功 四 刚体绕定轴转动的动能定理

第四节 角动量定理 角动量守恒定律 一、角动量定理 角动量 角动量定理 O

第四节 角动量定理 角动量守恒定律 二、角动量守恒定律 若 ，则 讨论 若 不变， 不变；若 变， 也变，但 不变. 第四节 角动量定理 角动量守恒定律 二、角动量守恒定律 ，则 若 讨论 守恒条件 若 不变， 不变；若 变， 也变，但 不变. 内力矩不改变系统的角动量. 在冲击等问题中 常量 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

第四节 角动量定理 角动量守恒定律 例7 一长为 l , 质量为 的竿可绕支点O自由转动 . 一质量为 、速率为 的子弹射入竿内距支点为 处，使竿的偏转角为30º . 问子弹的初速率为多少 ? 解 把子弹和竿看作一个系统 .子弹射入竿的过程系统角动量守恒

第四节 角动量定理 角动量守恒定律 射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .

第四节 角动量定理 角动量守恒定律 有许多现象都可以用角动量守恒来说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水 自然界中存在多种守恒定律 电荷守恒定律 第四节 角动量定理 角动量守恒定律 有许多现象都可以用角动量守恒来说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水 自然界中存在多种守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律

第四节 角动量定理 角动量守恒定律 角动量守恒定律在技术中的应用 惯性导航仪（陀螺） 被 中 香 炉

· 第五节 陀螺的进动 M d L mg θ ω ∥ ∥ M t L r d = L r ^ d 一、旋进 O 第五节 陀螺的进动 一、旋进 高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴转动的现象。 如图，陀螺的角动量就是它绕自转轴转动的角动量，其方向沿自转轴。 × M d L · mg θ O ω ∥ t L M d r = ∥ M t L r d = L M r ^ L r ^ d 只改变方向而不改变大小，从而产生旋进运动。 L r

第五节 陀螺的进动 d Θ Ω L q sin t L M d sin Q = q v r O 旋进角速度： W × = q sin L ， 第五节 陀螺的进动 t d Q = W 旋进角速度： d Θ Ω L O r q sin Q = d sin q L v t L M d sin Q = q v W × = q sin L q w sin I M L = W ， w 1 µ ¯ W ­® w w q I M = ° Ω 90 ， 时 当