概 率 论

第三章 多维随机变量及其分布 关键词： 二维随机变量 分布函数 分布律 概率密度 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度 第三章 多维随机变量及其分布 关键词： 二维随机变量 分布函数 分布律 概率密度 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度 条件分布函数 条件分布律 条件概率密度 随机变量的独立性 Z=X+Y的概率密度 M=max(X,Y)的概率密度 N=min(X,Y)的概率密度

§1 二维随机变量 问题的提出 例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。 例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的 弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而 它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。

定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义 在S上的随机变量，由它们构成的 向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。 S e 定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y， 二元函数 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。

分布函数 的性质 x1 x2 (x1,y) (x2,y) y y2 x y1 (x,y1) (x,y2)

x2 y1 x1 y2

二维离散型随机变量 定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。 y1 y2 … yj X Y p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij 离散型随机变量的联合概率分布： 为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。 可以用如右表格表示：

分布律的性质 例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。 解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4； j取不大于i的正整数。 Y X 1 2 3 4 ¼ ⅛ 即(X,Y)的联合概率分布为：

二维连续型随机变量

例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：

例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (1) 求常数k；(2) 求概率 解： 1

§2 边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为： 称为边缘分布函数。 事实上，

对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为 X,Y的边缘分布律为： 注意： … p11 p12 p1j p1· p21 p22 p2j p2· pi1 pi2 pij pi · X Y y1 y2 yj p·1 p·2 p.j 1 注意：

对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为 X,Y的边缘概率密度为： 事实上， 同理：

0.025 0.35 0.04 Y X 10 20 1 2 0.020 0.10 0.25 0.15 X 2 1 0.370 0.415 0.215 p Y 20 10 0.315 0.395 0.290 p

解： (1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4 例2：(X,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3) Y X -1 1 0.2 0.1 a 2 b 解： (1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4 (2) X 1 0.4 2 0.6 Y 0.3 0.5 -1 0.2

例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机 变量(X,Y)具有概率密度 则称(X,Y)在G上服从均匀分布。 现设(X,Y)在有界区域 上均匀分布，其概 率密度为 求边缘概率密度 解：

§3 条件分布 由条件概率公式可得： 当i取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。

定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量， 对于固定的yj， 同样，对于固定的xi，

例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中 任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球 的只数。求 （1）X，Y的联合分布律； （2）X=1时Y的条件分布律； (3) Y=0时X的条件分布律。 解：X, Y的联合分布律为 X Y 1 2 1/15 4/15 2/15 3/15

X Y 1 2 1/15 4/15 2/15 3/15 故在X=1的条件下，Y的分布律为： Y 1 2 3/7 4/7 同理P(Y=0)=1/5，故在Y=0的条件下，X的分布律为： X 1 2 1/5 3/5

击直中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的 射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联 合分布律和条件分布律。 解： 例2：一射手进行射击，击中目标的概率为 射 击直中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的 射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联 合分布律和条件分布律。 解：

例3：设参加考研的学生，正常发挥的概率为a,超常发挥的概率为b，发挥失常的概率为c，a+b+c=1。设某班有10人参加考研，发挥正常的人数为X，发挥超常的人数为Y。求 （2）P(X+Y>1)； （3）在Y=3的条件下，X的分布律。 解: (1)X, Y的联合分布律为

定义：条件分布函数

定义：条件概率密度

也就是，由 事实上，

条件概率密度的直观意义：

于是给定y(-1<y<1)，X的条件概率密度为： 例4：设二维随机变量(X,Y)在区域 内均匀分布，求条件概率密度 解： 根据题意，(X,Y) 的概率密度为： Y的边缘概率密度为： 二维均匀分布的条件 分布仍为均匀分布 于是给定y(-1<y<1)，X的条件概率密度为：

§4 相互独立的随机变量

例1：§1例2中X和Y是否相互独立？即(X,Y)具有概率密度

X Y 1 P(X=j) 2 P(Y=i) X Y 1 P(X=j) 2 P(Y=i)

一般n维随机变量的一些概念和结果

边缘分布 如：

相互独立

定理1： 定理2：

§5 两个随机变量的函数的分布

例3：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。 解：由卷积公式： 一般：设X,Y相互独立，

例4：X,Y相互独立，同时服从[0,1]上的均匀分布，求 的概率密度。 解：根据卷积公式： x x=z z 1 2 x=z-1 易知仅当 参考图得：

例5：设X,Y相互独立、服从相同的指数分布，概率密度 为： 求 的概率密度。 解：根据卷积公式：

一般的，可以证明： 若X,Y相互独立，且分别服从参数为 X,Y的概率密度分别为 证明：这是例3的推广，由卷积公式 由此可知：

推广到n个相互独立的随机变量的情况 设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则：

例7：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成，联 结的方式分别为：(1)串联；(2)并联； 如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率 密度分别为： 试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。 X Y L1 L2

串联的情况 由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)； 而X,Y的分布函数分别为： 故Z的分布函数为： 于是Z的概率密度为： L1 L2 即Z仍服从指数分布

L1 L2 并联的情况 由于当且仅当L1,L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)，Z的分布函数为： 于是Z的概率密度为：

L1 L2 备用的情况 由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y； 因此：

复习思考题 3 1.设(X,Y)为二维向量， 则P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x1, y1),对吗？ 2.设(X,Y)为二维连续量，则P{X+Y =1}=0,对吗？ 3.(X,Y)为二维连续型向量，f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度， fX(x)和fY(y)分别为关于X和Y的边缘概率密度，若有一点(x0,y0)使 f(x0,y0)≠ fX(x0)·fY(y0)则X和Y不独立，对吗？

第四章 随机变量的数字特征 关键词： 数学期望 方差 协方差 相关系数

的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。 问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量 的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。 例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度。

§1 数学期望 定义： 数学期望简称期望，又称均值。

例1：

例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接 组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。 解： 是指数分布的密度函数 只要求出一般指数分布的期望（即E(X1))，就可得到E(N). 问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机寿命的期望又是多少？

例3：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？ 解：设X表示一周5天内机器发生故障天数， 设Y表示一周内所获利润，则 Y -2 0 5 10 P 0.057 0.205 0.410 0.328

例4：

例5：

例6：

例7：设随机变量(X,Y)的概率密度为： X=1

数学期望的特性： 这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况

证明： 下面仅对连续型随机变量给予证明：

例9：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以X表示停车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立) 解：引入随机变量： 本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和 的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望， 这种处理方法具有一定的普遍意义。

例10：

§2 方差 问题：哪批灯泡的质量更好？ 单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。 设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时→平均寿命为1000小时； 另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时→平均寿命为1000小时； 问题：哪批灯泡的质量更好？ 单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。 方差─正是体现这种意义的数学特征。

定义：

对于离散型随机变量X， 对于连续型随机变量X， 此外，利用数学期望的性质，可得方差的计算公式：

例1：设随机变量X具有数学期望

例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为： 解：

例3： 解：

例4： 解：X的概率密度为：

例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为： 即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数θ

方差的性质：

证明：

例6： Xk pk 1 1-p p

例7： 解：

例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。

表1 几种常见分布的均值与方差 0－1分布 p p(1-p) np np(1-p) 分布 分布率或 密度函数 数学期望 方差 二项分布b(n,p) np np(1-p) 泊松分布 均匀分布U(a,b) 指数分布 正态分布 分布 分布率或 密度函数 数学期望 方差

§3 协方差及相关系数 对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。 定义：

协方差的性质： 思考题：

相关系数的性质： 续

例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知 ,判断X和Y是否不相关？是否 不独立？

续

续

例3：设X,Y相互独立服从同一分布，方差存在， 记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V是否一 定不相关，是否一定独立？

§4 矩、协方差矩阵

利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到n维正态变量的概率密度。

n维正态变量具有以下四条重要性质：

复习思考题 4 1.叙述E(X)和D(X)的定义。

4.试述计算随机变量X的函数g(X)的数学期望E[g(X)]的两种方法。 5.设X～N(μ,σ2),用如下两种方法求E(X2)： (1)E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2； (2) E(X2)=E(X.X)=E(X). E(X)=μ2； 两种结果不一样，哪一种错？为什么？ 6.设X和Y为两随机变量，且已知D(X)=6, D(Y)=7, 则D(X－Y)=D(X)－D(Y)=6－7=－1<0,这与任意一个随机变量的方 差都不小于零相矛盾，为什么？

7.考虑100包水泥的总重量Y用以下两种方式表示： (1)设第i袋水泥的重量为Xi , i=1,2,…,100, 由题意知, Xi ～N(50,2.52),Y=∑Xi , 则Y～N(100*50,100*2.52)； (2)设一包水泥的重量为X, 由题意知 X～N(50,2.52)。 若将100包水泥的总重量看成是1包水泥的100倍，即Y=100X, Y是X的线性函数，则： E(Y)=100E(X)=100*50, D(Y)=1002D(X)=1002*2.52 Y～N(100*50,1002*2.52) 这两种方法得到的总重量的分布不一样(因为方差不同，后 者方差是前者的100倍)， 试问哪一种正确？ 8.试问D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)对吗？

课件结束! 2019/4/23