向量 Chapter 3

3-1　物理學探討什麼 3-2 向量與純量 3-3 向量的幾何加法 3-4 向量的分量 3-5 單位向量 3-6 以分量計算向量的和 3-7 向量與物理定律 3-8 向量的乘法

3-1 物理學探討什麼 物理學處理許多含有大小與方向的量，並需要用一種特殊的數學語言──向量的語言，來描述這些量。

3-2 向量與純量 向量物理量（vector quantity）是具有大小與方向的物理量，因此可以用向量代表它。位移、速度及加速度都是向量物理量。 並非所有的物理量都有方向，比如溫度、壓力、能量、質量和時間等，這些量並沒有任何指向空間方向的意義，我們稱這些量為純量（scalar）。 最簡單的向量物理量是位移，也就是位置的變化。我們以一個向量代表位移，並稱之為位移向量（displacement vector）；同理，也可以有速度向量及加速度向量。

圖3-1 (a)這三個箭號都有相同的大小及方向，因此它們代表相同的位移。 (b)這三條連接兩點的路徑都有相同的位移向量。

3-3 向量的幾何加法 如圖 3-2a 的向量圖形所示，有一粒子從 A 點移動至 B 點，然後再從 B 點移動至 C 點，我們可以用兩個連續的位移向量 AB 和 BC 來代表它的總位移（不管它的實際路徑如何），這兩個位移的淨（總）結果與將粒子從 A 點移動至 C 點的單一次位移結果一樣。因此，我們可以稱 AC 為 AB 和 BC 兩位移的向量和（vector sum；resultant），這個「和」的意義與一般的「代數和」不同。

圖3-2 (a) AC是 AB 和 BC 兩向量的向量和。(b)重新標示相同的向量。

3-3 向量的幾何加法 (續) 我們可以將圖 3-2b 中三個向量之間的關係寫成一個向量方程式（vector equation） 這表示向量 s 是向量 a 及向量 b 的向量和。

3-3 向量的幾何加法 (續) 圖 3-2 是一種以幾何方法計算二維向量 a 和 b 相加的過程： (1) 選擇適當的比例，將向量 a 畫在紙上，並保持 a 原本的方向； (2) 用相同的比例畫出向量 b，同樣要保持 b 原本的方向，並將 b 的尾部與向量 a 的頭部相接； (3) 從 a 的尾部到 b 的頭部間，我們畫上箭號，這個箭號便是向量和 s。

圖3-3 可以將兩向量 a 以及 b 以任意次序相加，見3-2式。

3-3 向量的幾何加法 (續) 向量 –b 的大小與向量 b 相同，但是方向相反（見圖 3-5）。 若將圖 3-5 中的兩向量相加，得到 b+(–b)=0。所以，「加上 –b」的效果等於「減去 b」。我們利用這個性質來定義兩個向量的差：令 d= a–b，則

圖3-4 可以將三個向量 a、b 及 c 以任意次序相加，見3-3式。

圖3-5 向量 b 與向量 –b 有相同的大小及相反的方向。

3-4 向量的分量 一個向量的分量（component）定義為該向量在座標軸上的投影。 一個向量在 x 軸上的投影就稱為它的 x 分量，在 y 軸上的投影就稱作 y 分量。這種求分量的過程稱為向量的分解（resolving the vector）。

圖3-8 小及方向，它的分量是不會改變的。(c)以分量為直角三角形 的兩個邊，直角三角形的斜邊便是向量的大小。 (a)向量 a 的分量 ax及 ay。(b)若平移一個向量而不改變它的大 小及方向，它的分量是不會改變的。(c)以分量為直角三角形 的兩個邊，直角三角形的斜邊便是向量的大小。

3-4 向量的分量 (續) 利用圖 3-8a 中的直角三角形，可以幾何方式求出 a 的分量： 一旦向量被分解成一些沿著座標軸上的分量，那麼這些分量也可以用來代表原向量。例如，圖 3-8a 中向量 a 可以由 a 及θ的數值完全決定出來；同時，它也可以由它的分量 ax 及 ay 決定出來。

圖3-9 向量 b 的 x 分量是正的，y 分量是負的。

3-5 單位向量 單位向量（unit vector）是大小恰好為 1 並指向某一特定方向的向量，它沒有因次及單位，唯一的用途是用來指向，也就是標示一個方向。指向 x、y 及 z 軸正方向的單位向量分別寫為 i、j 及 k。 圖 3-14 中座標軸的配置方式稱為右手座標系（right-handed coordinate system）。

3-5 單位向量 (續) 可以用單位向量來表示其他的向量，這種表示法十分有用。例如，可以將圖 3-8 及圖 3-9 內的向量 a 及 b 寫為 及 ax i 及 ay j 這兩個量是向量，稱為向量 a 的向量分量（vector components）；而 ax及 ay 這兩個量是純量，稱為向量 a 的純量分量（scalar components）；或者如前面所說，簡稱為分量（components）。

圖3-14 單位向量 i、j 及 k 定義了右手座標系的方向。

圖3-15 (a)向量 a 的向量分量。(b)向量 b 的向量分量。

3-6 以分量計算向量的和 考慮以下方程式： 這個等式代表 r 與 a+b 是相同的向量，因此 r 的每一分

3-6 以分量計算向量的和 (續) 當以分量計算 a 與 b 的向量和時，我們必須： (1) 將向量分解成其純量分量； (2) 將對應於相同座標軸的純量分量各自相加，如此可 以得出向量 r 的各分量； (3) 將 r 的各分量組合起來，便得到 r 向量。

3-7 向量與物理定律 我們也可以將座標軸（但不包含向量 a）旋轉ψ的角度，如圖 3-19b，此時向量 a 的各分量將會有新的數值，我們將它們記為 a’x 及 a’y，因為ψ有無數個數值可以選擇，所以向量 a 也有無限多組的不同分量。 每一組分量（與它的座標軸）只是以不同方式來描述同一向量 a，每一組都會產生具相同大小和方向的向量。

3-7 向量與物理定律 (續) 向量跟向量之間的關係與座標原點的位置或座標軸方向的選擇均無關，所以我們可以自由選擇座標系來描述向量。

圖3-19 (a)向量 a 跟它的分量。(b)相同的向量，不過座標軸旋轉了 ψ的角度。

3-8 向量的乘法 以純量乘向量 假若我們將純量 s 乘以向量 a，我們得到一個新的向量，它的大小等於 a 的大小乘以 s 的絕對值。若 s 為正，它的方向與 a 相同；若 s 為負，則方向與 a 相反。要計算 a 除以 s，只要將 a 乘以 1/s 即可。 以向量乘向量 向量乘以向量有兩種方法：第一種乘法可以得到一個純量（稱為純量積；scalar product），另一種乘法可得到一個新的向量（稱為向量積；vector product）。學生經常容易將它們混淆。

3-8 向量的乘法 (續) 純量積 考慮圖 3-20a 內的兩個向量 a 及 b，它們的純量積（scalar product）記為 a．b，並被定義為 上式中，a 為向量 a 的大小，b 為向量 b 的大小，ψ為 向量 a 和 b 之間的夾角（a 方向及 b 方向間的夾角）。

3-8 向量的乘法 (續) 由於我們用「‧」的符號，因此 a．b又被稱為點積（dot product）並讀作「a dot b」；另一個名稱為內積（inner product）。

圖3-20 (a) 兩個向量 a 和 b，它們之間的夾角是ψ。 (b) 每個向量在沿著另一個向量的方向上都有一個分量。

3-8 向量的乘法 (續) 交換律（commutative law）適用於純量積，我們有 當兩個向量均以單位向量表示時，它們內積可寫為 可以依分配律（distributive law）將方程式右邊展開： 第一個向量的每一個向量分量與第二個向量的每一個向 量分量做內積運算。因此，可得到

3-8 向量的乘法 (續) 向量積 兩個向量 a 和 b 的向量積（vector product），寫為 a × b，會產生第三個向量 c，它的大小為 其中ψ為 a 和 b 的兩個夾角中較小的一個。 由於使用了「×」的符號，a × b 也稱為叉積（cross product），並讀作「a cross b」；另一個名稱為外積（outer product）。

3-8 向量的乘法 (續) c 的方向垂直於包含 a 和 b 兩向量的平面。圖 3-21a 說明如何決定 c = a × b 的方向，此規則稱為右手定則（right-hand rule）。 交換律不適用於向量積。以單位向量表示向量時，外積可寫為 將 3-29 式的其他項計算出來，可得

圖3-21 向量積的右手定則。(a) 以右手手指從 a 掃向 b，大拇指的伸 出方向便是 c = a × b的方向。(b) b × a 的方向與 a × b 的方向 相反。