28.2 解直角三角形（第1课时）

对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正） 对于cosα，角度越大，函数值越小。 复习 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角a 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正） 对于cosα，角度越大，函数值越小。

这样的问题怎么解决 问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？

问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度． 问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长． A B α C 由 得 由计算器求得 sin75°≈0.97 所以 BC≈6×0.97≈5.8 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m

对于问题（2），当梯子底端距离墙面2. 4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2 对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数 A B C α 由于 利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面 所成的角大约是66° 由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．

探究 在图中的 Rt△ ABC中， （1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ B 能 6 α A C =75°

探究 在图中的Rt△ABC中， （2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C α 能 6 2.4

解直角三角形 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程． A B a b c C 事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：

在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： A B a b c C （1）三边之间的关系 （勾股定理） （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系

例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 解这个直角三角形 A B C 解：

例2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）

例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线 ，解这个直角三角形。 D A B C 解： 6 因为AD平分∠BAC

练习 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30 , b = 20 ; 解：根据勾股定理 A B C

在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； 解：

解决有关比萨斜塔倾斜的问题． 设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m A B C B C 所以∠A≈5°28′ A 可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角． 你愿意试着计算一下吗？

归纳小结 解直角三角形： 直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程 A B C ┌ a2+b2=c2 解直角 三角形 ∠A的对边a C ∠A的邻边b ┌ 斜边c ∠A＋ ∠ B＝90° a2+b2=c2 解直角 三角形 三角函数 关系式 由锐角求三角函数值 计算器 由三角函数值求锐角

例题 例4： 2008年10月15日“神舟”7号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km） 分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点． · O Q F P α 如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点． 的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算 的长需先求出∠POQ（即a）

解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形． · O Q F P α ∴ PQ的长为 当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km

2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m） 50° 140° 520m A B C E D 解：要使A、C、E在同一直线上，则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角 ∴∠BED=∠ABD－∠D=90° 答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.

在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： A B a b c C （1）三边之间的关系 （勾股定理） （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系