探索三角形全等的条件 (第二课时)

我们知道:如果给出一个三角形三条边的长度,那么因此得到的三角形都是全等.如果已知一个三角形的两角及一边,那么有几种可能的情况呢? 1、角.边.角; 2、角.角.边 每种情况下得到的三角形都全等吗?

做一做 1、角.边.角; 若三角形的两个内角分别是60°和80°它们所夹的边为4cm,你能画出这个三角形吗? 4cm 60° 80°

60° 80° 你画的三角形与同伴画的一定全等吗?

若三角形的两个内角分别是60°和40°，且40°所对的边为4cm，你能画出这个三角形吗? 2、角.角.边 若三角形的两个内角分别是60°和40°，且40°所对的边为4cm，你能画出这个三角形吗? 60° 40°

分析： 这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？ 40° 60° 80°

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA” 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”

A B C D E F 三角形全等的判定公理2：∵∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F ∴ΔABC≌DEF（ASA） D E F A B C 三角形全等的判定公理3：∵ ∠B=∠E ，∠C=∠F，AC=DF ∴Δ ABC≌DEF （AAS）

练一练： 1、完成下列推理过程： 在△ABC和△DCB中， ∠ABC=∠DCB ∵ BC=CB （ ） 公共边 ∠2=∠1 ∠3＝∠4 ∠2＝∠1 CB＝BC ∠ABC=∠DCB ∵ BC=CB 1 2 3 4 （ ） 公共边 O ∠2=∠1 B C ∴△ABC≌△DCB（ ） AAS ASA

2、请在下列空格中填上适当的条件，使△ABC≌△DEF。 ∠A=∠D AB=DE ∵ ∠B=∠DEF ∠ACB=∠F AB=DE AC=DF BC=EF ∠B=∠DEF ∠ACB=∠F AC=DF BC=EF BC=EF ∴△ABC ≌△DEF（ ） ASA AAS SSS

想一想： 如图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？ 我的思考过程如下：两角与夹边对应相等 ∴△AOC≌△BOD

补充练习： A 1、在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的中线，证明：∠BAD=∠CAD AD是∠BAC的角平分线。 求证：BD＝CD 证明：∵AD是BC边上的中线　　　∴BD＝CD（三角形中线的定义）　　 在△ABD和△ACD中 证明：∵AD是∠BAC的角平分线（已知） ∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义） ∵AB＝AC（已知） ∠BAD＝∠CAD（已证） 　AD＝AD（公共边） ∴△ABD≌△ACD（SAS） ∴BD＝CD（全等三角形对应边相等） ∴ △ABD≌△ACD（SSS) ∴ ∠BAD=∠CAB（全等三角形对应角相等）

如图，已知 ∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，△ABC和△ADE全等吗？为什么？ 解： △ABC和△ADE全等。　　　　∵∠1＝∠2（已知）　　　　　　　　　∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC　　　　　即∠BAC＝∠DAE　在△ABC和△ADC 中　　　　　　 ∴ △ABC≌△ADE （AAS）

∴△ABD≌△ACE（ASA） 如图：已知AB＝AC，∠B＝∠C，△ABD与△ACE全等吗？为什么？ AE＝AD，∠B＝∠C， ∠B＝∠C AD＝AE C B ∴△ABD≌△ACE（ASA） AAS

若△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，AC＝5cm,△DEF中∠D＝70°∠F＝80°，DF＝5cm，那么△ABC与△DEF全等吗？为什么？

如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的 三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗? 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(2)已知 和 中, = ,AB=AC. 求证: (1) (2) AE=AD (3) AB=AC (4) BD=CE 证明: (已知) (已知) (公共角) (全等三角形对应边相等) (全等三角形对应边相等) (等式的性质)

(3) 如图，AC、BD交于点 ,AC=BD,AB=CD. 求证： 练一练: (3) 如图，AC、BD交于点 ,AC=BD,AB=CD. 求证： C D O A B

再创辉煌： 2、如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？ 1、如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，根据ASA或AAS，那么应补充一个直接条件 --------------------------，（写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF ∠B=∠E或∠A=∠D A C A B 1 2 E D F E B C D 2、如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？

五、思考题 如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AB=CD吗？为什么？AD与BC呢？ A B C D ∴ ∠1＝∠2 ∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等） ∴在△ABC与△CDA中 ∠1＝∠2 （已证） AC=AC （公共边） ∠3＝∠4 （已证） ∴ △ABC≌△CDA（ASA） ∴ AB=CD BC=AD（全等三角形对应边相等） A B C D 1 2 3 4

要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。 小结 知识要点： (1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”. (2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角角边”或“AAS”. （3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等）， 角相等（对应角相等）等问题的基本途径。 数学思想： 要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。

第三章 三角形 探索三角形全等的条件 （第三课时）

探究新知 因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。请你设计一种方案，粗略测出A、B两杆之间的距离。。 小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。

回顾与思考 到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？ 答：边边边（SSS）角边角（ASA）角角边（AAS） 根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？ 答：两边一角相等 那么有几种可能的情况呢？ 答：两边及夹角或两边及其一边的对角

做一做 （1）如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40° ，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 3.5cm 2.5cm 40° D E F 3.5cm 2.5cm 40° A B C

结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS” (2)若两边的夹角为20 °，画一个三角形。 再换一个30 °试一试，情况会怎样呢？ 3.5cm 2.5cm 20° E F D A B C 结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”

结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等 以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？ F C 3.5cm 3.5cm 2.5cm 2.5cm 40° 40° A D E B 结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等

练一练 △ADC≌△CBA 根据“SAS” △ABC≌△EFD 根据“SAS” 分别找出各题中的全等三角形 A B C D C A B D 40° D C A B D (2) △ADC≌△CBA 根据“SAS” F 40° E (1) △ABC≌△EFD 根据“SAS”

想一想 小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。 AC=DC  ∠ACB=∠DCE BC=EC △ACB≌△DCE AB=DE

△EDH≌△FDH 根据“SAS”，所以EH=FH 小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流。 E F D H △EDH≌△FDH 根据“SAS”，所以EH=FH

说一说 1、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？ 答：边角边（SAS） 2、通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？ 答：SSS、SAS、ASA、AAS 3、在这四种说明三角形全等的条件中，你发现了什么？ 答：至少有一个条件：边相等 注意哦！ “边边角”不能判定两个三角形全等

作业提示