第一章 函数与极限 第一节 函 数 一、函数的概念 二、函数的表示法 三、分段函数 四、反函数 五、初等函数 六、函数的基本性态 第一章　函数与极限 第一节　函　数 一、函数的概念 二、函数的表示法 三、分段函数 四、反函数 五、初等函数 六、函数的基本性态 七、建立函数关系举例 八、备用知识

一、函数的概念 　　定义　设 D 为一个非空实数集合，若存在确定的对应规则 f ，使得对于数集 D 中的任意一个数 x , 按照 f 都有唯一确定的实数 y 与之对应，则称 f 是定义在集合 D 上的函数 . D : f 的定义域 x : 自变量 y : 因变量

　　如果对于自变量 x 的某个确定的值 x0，因变量 y 能够得到一个确定的值，那么就称函数 f 在 x0 处有定义，其因变量的值或函数 f 的函数值记为 实数集合

例 1 确定函数 解 显然，其定义域是满足不等式 的 x 值的集合, 解此不等式 , 则得其定义域为: 也可以用集合形式表示为

确定函数 例 2 的定义域 . 解 该函数的定义域应为满足不等式组 的 x 值的全体， 解此不等式组，得其定义域 也可以用集合形式表示为 ≥ 解　该函数的定义域应为满足不等式组 ≥ 的 x 值的全体， 解此不等式组，得其定义域 ≤ 也可以用集合形式表示为

例 3 设函数 f (x) = x3 - 2x + 3，求 解

二、函数的表示法 函数的表示法通常有三种：公式法、表格法和图示法. 　　函数的表示法通常有三种：公式法、表格法和图示法. 　　1. 以数学式子表示函数的方法叫做函数的公式表示法，公式法的优点是便于理论推导和计算. 　　2. 以表格形式表示函数的方法叫做函数的表格表示法，它是将自变量的值与对应的函数值列为表格，表格法的优点是所求的函数值容易查得. 　　3. 以图形表示函数的方法叫做函数的图示法，图示法的优点是直观形象，且可看到函数的变化趋势.

三、分段函数 有些函数虽然也是以数学式子表示，但是它们在定义域的不同范围具有不同的表达式.这样的函数叫做分段函数. 　　有些函数虽然也是以数学式子表示，但是它们在定义域的不同范围具有不同的表达式.这样的函数叫做分段函数. 　　例 4 旅客乘坐火车可免费携带不超 20 kg 的物品，超过 20 kg 而不超过 50 kg 的部分每 kg 交费 a 元，超过 50 kg 部分每 kg 交费 b 元 . 求运费与携带物品重量的函数关系 .

　　解　设物品重量为 x kg，应交运费为 y 元. 由题意可知这时应考虑三种情况： 情况二：重量大于 20 kg，但不超过 50 kg，这时 情况三：重量超过 50 kg，这时

因此，所求的函数是一个分段函数

例 5 设 解 注意

y x O 图1-3

例 6 函数 ≤

例 7 语句“变量 y 是不超过 x 的最大整数部分”表示了一个分段函数，常称为“取整函数”， -3 -2 -1 1 2 3 y x O 图1-4

四、反函数 设 y = f (x)为定义在 D 上的函数，其值域为 A . 若对于数集 A 中的每个数 y , 数集 D 中都有唯一的一个数 x 使 f (x) = y， 这就是说变量 x 是变量 y 的函数 . 这个函数称为函数 y = f (x) 的反函数, 记为 x = f -1 (y). 其定义域为 A . 值域为 D . 函数 y = f (x) 与 x = f -1 (y) 二者的图形是相同的.

例 8 解 交换 x、y 的位置, 即得所求的反函数 注意 例如

五、初等函数 1.基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 y = sinx, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = sec x, y = csc x ； 反三角函数 y = arc sinx, y = arc cos x, y = arc tan x, y = arc cot x ； 等五类函数统称为基本初等函数 .

2.复合函数 函数 u = j (x) 的值 若函数 y = F(u), 定义域为 U1 , 域为 U2, 则 y 通过变量 u 成为 x 的函数, 这个函数称为由函数 y = F(u) 和函数 u = j (x) 构成的 复合函数, 记为 其中变量 u 称为中间变量.

例 9 　　　　　　　　　　　　　　　　即为所求的复合函数 解 其定义域为 (,  ) .

例 10 　　　　　　　　　　　　　　　　得所求的复合函数 解 其定义域为 [1,1] .

例 11 解 1 求 f [j (x)] 时, 应将 f (x) 中的 x 视为j (x), 因此 因此

例 12 解 方法一 令 u = x  1, 得 f (u) = (u  1)2, 再将 u = 2x  1 代入, 即得复合函数 于是问题转化为 方法二 因为 f (x  1) = x2 = [(x  1) + 1]2, 求 y = f (x) = (x  1)2 与 j (x) = 2x  1 的复合函数 f [j (x)] , 因此

例 13 是由哪些函数复合而成的. 解

3.初等函数 经过有限次四则运算和有限次复合构成, 由基本初等函数及常数 并且可以用一个数学式子表示的函数, 叫做初等函数.例如 等等, 都是初等函数 .

六、函数的基本性态 1.奇偶性 　　设函数 y = f (x) 的定义域关于原点对称，如果对于定义域中的任何 x，都有 f (x) = f (- x) ，则称 y = f (x) 为偶函数；如果有 f (- x) = - f (x) ，则称 f (x) 为奇函数. 不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数.

例 14 证

例 15 证

2.周期性 设函数 y = f (x) 的定义域为 (- , +  ) ，若存在正数 T，使得对于一切实数 x，都有： f (x + T) = f (x). 则称 y = f (x) 为周期函数. 规定：若其中存在一个最小正数 T 满足上式，则 规定 T 为周期函数 f (x)的最小正周期，简称周期. 例如 y=sinx, y=tanx的周期分别为函数 2π，π.

例 16 证

3.单调性 设 x1 和 x2 为区间 (a, b) 内的任意两个数， 若当 x1 < x2 时, 函数 y = f (x) 满足 或称递增； 若当 x1 < x2 时有 或称递减； 则称该函数在区间 (a, b) 内单调减少，

递增，就是当 x 自左向右变化时，函数的图形上升； 　　　y = cot x 在 (0, p) 内递减 . 从几何直观来看， 　　函数的递增、递减统称函数是单调的. 递增，就是当 x 自左向右变化时，函数的图形上升； x y O y = f (x) y = f (x) x y O 递减，就是当 x 自左向右变化时，函数的图形下降 . a a b b

4.有界性 设函数 f (x) 在区间 I 上有定义，若存在一个正数 M ，当 x  I 时，恒有 ≤ 如果不存在这样的正数 M，则称函数 f (x) 为在 I 上的无界函数 . 成立，则称函数 f (x) 为在 I 上的有界函数，

例如，因为当 x  ( ,  ) 时,恒有 |sin x|≤1,所以函数 f (x) = sin x 在 ( ,  ) 内是有界函数.

七、建立函数关系举例 例 17 设有一块边长为 a 的正方形薄板， 将它的四角剪去边长相等的小正方形制作一只无盖盒子， x x a - 2x 将它的四角剪去边长相等的小正方形制作一只无盖盒子， 试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数. 解 设剪去的小正方形的边长为 x, 盒子的体积为V. 　　　　　　　　　　　　　　　　　因此所求的函数关系为 则盒子的底面积为 (a - 2x)2 ，高为 x，

例 18 由直线 y = x， y = 2  x 及 x 轴所围的等腰三角形 OBC ， 在底边上任取一点 x  [0, 2].过 x 作垂直 x 轴的直线，将图上阴影部分的面积表示成 x 的函数 . y = x y = 2  x x 1 2 解 设阴影部分的面积为 A ， 当 x [0, 1) 时，

y x O 当 x ∈ [1, 2] 时， C B y = x y = 2x 1 x 2 所以

八、备用知识 1. 极坐标 极坐标系中曲线的方程及其图形 （1）极坐标 O A B

极坐标系中点与有序数组之间的关系

O 1 2 3 4 5 A

极坐标与直角坐标之间关系是指：极坐标系中的 极点O、极轴OA与直角坐标系中的原点、x 轴的正向 （2） 极坐标与直角坐标之间关系 极坐标与直角坐标之间关系是指：极坐标系中的 极点O、极轴OA与直角坐标系中的原点、x 轴的正向 分别重合时，一点M 的极坐标与直角坐标的关系. O y x A θ ρ M (x, y) (ρ,θ) （1） 运用上式，可以将平面上一条曲线在直角坐标系 下的方程化为极坐标系下的方程，后者简称为极坐标 方程.

的圆的方程 x2 + y2 = R2 (R > 0 为常数）化为极坐 标方程. 例19 解 ρ = ±R . O y x A 取正号，所以圆心在 极点、半径为 R的圆 的极坐标方程为 ρ = R .

试将直角坐标系圆的方程 x2 + y2 = 2Rx (R > 0 为常数）化为极坐标方程. 例20 将公式（1）代入方程，化简后得该圆的极坐标 方程 解 O y x A 2R R

作极坐标方程的图形通常要做两方面的工作： （1）对称性的判定； （3） 极坐标方程的图形 作极坐标方程的图形通常要做两方面的工作： （1）对称性的判定； a）当极坐标中的θ换为-θ时，该极坐标方程不变 或ρ不变，则该方程所表示的图形关于极轴对称； b）当极坐标中的θ换为 π-θ时，该极坐标方程 不变或ρ不变，则该方程 所表示的图形关于半射线 对称； θ O A （2）画出图形上一系列的点，并把这些点连成光滑 曲线，从而得出其图形.

试作极坐标方程 的图形，其中a为大于零的常数，该图形称为心形线. 例21 对称性：当θ换为-θ时， 解 即ρ不变，所以图形对称于极轴. O A 列表 θ ρ 2a 1.87a 1.5a a 0.5a 0 p 3 2 6

试作极坐标方程 （称为三叶玫瑰线）的图形，其中a为大于零的常数. 例22 试作极坐标方程 （称为三叶玫瑰线）的图形，其中a为大于零的常数. 对称性：当θ换为π-θ时，方程也不变， 解 其图形关于半射线 对称. A O 所以图形关于θ的周期是 列表 θ r 0 0.7a a 0.7a 0 -0.7a -a -0.7a 0

例23 试作双纽线 的图形，其中a为大于零的常数. 对称性：当θ换为-θ时，方程不变； 当θ换为π-θ时，方程也不变； 解 所以图形关于极轴对称，也关于半射线 对称. 当θ在 之间时，方程右边不为正，所以此 间无图形. A O 列表 θ r a 0.7a 0 p 4 8

2. 几种常见的参数方程 （1）圆的参数方程 圆心在原点半径为R的圆的 参数方程为 或 圆心在点（a, b）,半径为R 的圆的参数方程为 y θ O y x t r （1）圆的参数方程 圆心在原点半径为R的圆的 参数方程为 或 θ O y x r 圆心在点（a, b）,半径为R 的圆的参数方程为

(2) 椭圆的参数方程 椭圆 的参数方程 或 当椭圆中心在点(x0, y0), 且长短轴分别平行与坐标 轴时，其参数方程 y r t θ x O y x t r 椭圆 的参数方程 或 当椭圆中心在点(x0, y0), 且长短轴分别平行与坐标 轴时，其参数方程 θ O y x r

旋轮线的形成及其方程：半径为R的圆，其圆 心在正y轴上且相切于原点.当该圆沿x轴滚动（无滑动）时， (3) 旋轮线（又称摆线）的参数方程 旋轮线的形成及其方程：半径为R的圆，其圆 心在正y轴上且相切于原点.当该圆沿x轴滚动（无滑动）时， 则圆周上原来与原点相切的点所形成的轨迹称为旋轮线. O y x R B C M A t 设点 为轨迹上 的点， 由轨迹可知 则

(4) 星形线的参数方程 星形线的形成及其方程：设有两个圆，其半径分别为R和r, 且R = 4r.大圆的圆心在坐标原点，小圆内切与大圆，其切点在 x 轴正半轴上的点A.当小圆沿大圆内滚动时（不滑动），则小圆周上原与大圆相切的点的轨迹称为星形线. O x y R A 其参数方程为 其在直角坐标系下的方程为