第一講 函數之圖形與極限 內容： 函數的定義。 函數的表示法。 函數的運算。 函數的圖形。 函數極限的定義。 函數單邊極限的定義。 函數極限的運算。 函數在無限遠的極限及極限無限大。 函數極限的應用。

1.函數的定義： 描述集合A映至集合B的法則，且每一A元素僅有唯一的B元素與之對應，此法則稱為「函數」(function)，常記為「ƒ」。 若 ，則 讀作「ƒ of x」，表示與x 對應的唯一的B元素，常記為 y，即 。 此處 x 稱為「自變數」( independent variable )，y 稱為「應變數」( dependent variable )，集合A稱為「定義域」(domain)，記為 集合 稱為「值域」(range) ，記為 例 1. 若ƒ從集合A映至集合B的法則，如下圖。 a b c d xyz A B 因為ƒ(a)=y , ƒ(b)=z, ƒ(c)=z , ƒ(d)=y ,即每一A元素映至唯一的B元素，故ƒ是函數，其定義域為A={a,b,c,d},值域為ƒ(A)={y,z} 。

例 2. 若ƒ從集合A映至集合B的法則，如下圖。 123 abc A B 因為ƒ(1)=a 且 ƒ(1)=c，即元素1映至a與c兩個元素，故ƒ不是函數。 例 3. 若ƒ表示每個人映至其身高(公分)的法則。 因為每個人的身高是唯一，故ƒ是函數。 其定義域為「所有人」，值域為「所有人的身高」 例 4. 若ƒ表示每位學生映至其數學成績的法則。 因為每位學生的成績是唯一，故ƒ是函數。 其定義域為「所有學生」，值域為「所有學生的數學成績」 例 5. 若ƒ表示每位成人映至其子女的法則。 因為有些成人其子女有兩個或兩個以上，故ƒ不是函數。 例 6. 若ƒ表示車程映至其車資的法則。 因為每一個車程的車資是唯一，故ƒ是函數。 其定義域為「所有可能的車程」，值域為「所有可能車程的車資」

例 7. 若ƒ表示郵件映至其郵資的法則。 因為每個郵件的郵資是唯一，故ƒ是函數。 其定義域為「所有郵件」，值域為「所有郵件的郵資」 2.函數的表示法： 言辭法：利用言語描述函數的方法。這是人類描述函數最基本的方法。 數值法：利用自變數與應變數之數值表描述函數的方法。此方法可經由觀察或實驗獲得。 圖形法：利用自變數 x 與應變數 y 所組成之座標 ( x , y ) 描述函數的方法，此方法可瞭解整個函數的變化，但是複雜的函數不容易繪得其圖形。 公式法：利用代數式ƒ(x) 描述函數的方法，這是人類描述函數最方便的方法。

例 1. 試用函數表示法描述計程車的車資(虛擬)。 a. 起跳1公里70元，之後每0.5公里5元。 b. 車程x(公里) 0<x ≤1 1<x ≤1.5 1.5< x ≤2 … 車資y(元) y =70元 y =75元 y =80元 c. d. 0.5 1.5 2.5 1 2 70 75 80 y(元) x(公里)

例 2. 試用函數表示法描述計時停車費(虛擬)。 a. 每小時20元，不及1小時以1小時計費。 b. 時間x(時) O< x ≤1 1< x ≤2 2< x ≤3 … 停車費y(元) y =20 y =40 y =60 c. d. 1 2 40 60 80 y(元) 20 3 4 5 x(時)

雞蛋x(個) x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 … 售價y(元) y = 0 y = 3 y = 6 y = 9 例 3. 試用函數描述雞蛋的售價(虛擬)。 a. 每個雞蛋3元，雞蛋的售價與雞蛋的個數成正比。 b. 雞蛋x(個) x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 … 售價y(元) y = 0 y = 3 y = 6 y = 9 c. d. 1 2 y(元) 3 4 5 6 9 12 15 x(個)

半徑r(公分) r = 1 r = 2 r = 3 … 面積y(平方公分) y = 3.14 y = 12.56 y = 28.26 例 4. 試用函數描述圓的面積。 a. 圓的面積與其半徑平方成正比。 b. 不可能有系統地完成半徑與面積的數值表，僅能列出有限個數值，如下表。 半徑r(公分) r = 1 r = 2 r = 3 … 面積y(平方公分) y = 3.14 y = 12.56 y = 28.26 c. 1 2 y(平方公分) 3 28.26 12.56 3.14 4 d. r(公分) 此圖是依據(b)項的數值表及連續的光滑曲線所繪成的圖形。

例 5. 試用函數表示法描述等速運動物體的位移。 a. 若物體以等速直線運動，則其位移與運動時間成正比。 b. 若物體以等速度10 公尺/秒 直線運動，雖然無法有系統地完成時間與位移的數值表，但可列出有限個數值，如下表。 運動時間t(秒) t = 0 t = 1 t = 2 … 位移y(公尺) y = 0 y = 10 y = 20 c. t(秒) 1 2 y(公尺) 10 3 20 30 d. 此圖是依據(b)項的數值表及線性性質所繪成的圖形。

時間t(年) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 … 本利和y(萬元) y = 1 y = 1.06 y = 1.1236 例 6. 試用函數表示法描述複利的本利和。 a. 本利和的變化率與本利和成正比。此現象在指數成長模式的章節會詳細討論。 b. 若本金為1萬元，年利率為0.06，雖然無法有系統地完成時間與年複利本利和的數值表，但可列出有限個數值，如下表。 時間t(年) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 … 本利和y(萬元) y = 1 y = 1.06 y = 1.1236 y =1.191 c. y(萬元) d. 2 1 t(年) 1 2 3 此圖是依據(b)項的數值表及線性性質所繪成的圖形。

注意： a.例1與例2的定義域是連續數值，但值域是離散數值。例3的定義域與值域皆是離散數值。例4、例5及例6的定義域及值域皆為連續數值。 b.在數學領域，計算與演繹是得到結果的必要途徑，而公式法對計算及演繹是最方便的表示法，故函數的公式表示法被用的最廣泛。其他三種表示法僅是點綴的作用罷了。

3.函數的運算： 函數的運算有加、減、乘、除及合成等運算。 b. 減法運算： a. 加法運算： c. 乘法運算： d. 除法運算： e. 合成運算： 例 1. 若 首先，決定 ƒ 與 g 的定義域，得

注意： a. 函數經過加、減、乘、除或合成運算，仍然是函數。 b. 任意複雜的函數可視為簡單函數經由加、減、乘、除或合成運算的結果。

4.函數的圖形： 例2 . 若 ，試將此函數寫成簡單函數的運算結果。 例2 . 若 ，試將此函數寫成簡單函數的運算結果。 4.函數的圖形： 若函數ƒ( x) 已知，令 y = ƒ( x) ，則自變數 x 與應變數 y 所組成的所有序數對( x , y )，可以被描繪在 X Y 平面。因此，函數ƒ( x) 所對應的點集合 {( x , y)| y= ƒ( x) } 可以被描繪在X Y 平面，故得到函數ƒ( x) 的圖形。 首先，介紹一些簡單函數的圖形： 常數函數 ƒ( x) = k 其圖形是通過( 0 , k ) 平行於X 軸的直線，如下圖： X Y y =ƒ( x ) = k (0,k)

b. 線性函數 ƒ( x) = x ，其圖形是通過原點平分第一象限的直線，如下圖： Y y = x X Y y = -x 一般線性函數 ƒ( x) = ax+b ，其圖形如下： X Y y = ax + b , a > 0 X Y y = ax + b , a < 0

c. 二次函數 ƒ( x) = x2 ，其圖形如下： 二次函數 ƒ( x) = -x2 ，其圖形如下： Y y = -x2 X Y y = x2 X 一般二次函數 ƒ( x) = ax2 + bx + c ，其圖形如下： X Y y = ax2 + bx +c , a < 0 X Y y = ax2 + bx +c , a > 0

d. 三次函數 ƒ( x) = x3 ，其圖形如下： 二次函數 ƒ( x) = -x3 ，其圖形如下： X Y y = x3 X Y y = -x3 一般三次函數 ƒ( x) =ax3 +bx2 + cx +d ，其圖形如下： Y X Y y =ax3 +bx2 + cx +d , a < 0 X y =ax3 +bx2 + cx +d , a > 0

e. 平方根函數 ƒ( x) = ，其圖形如下： f. 立方根函數 ƒ( x) = ，其圖形如下： X Y X Y g. 絕對值函數 ƒ( x) = ，其圖形如下： h. 高斯函數 ƒ( x) = ，其定義是小於或等於 x 的最大整數，其圖形如下： X Y X Y 1 2 3 -1 -2 -3

其次，介紹繪圖的技巧： 列出函數的特殊點(與軸的交點，或後面會討論的極點，或反曲點)座標，再利用函數的特性及平滑曲線連接這些點座標，即得到函數的近似圖。此方法對低次(3次以下)多項式函數、平方根函數或立方根函數有效，對其他函數比較無效。 若函數y=f(x) 的圖形已知，則函數y=ƒ(x - h) + k 的圖形是函數y=ƒ(x) 的圖形，左或右平移 h 單位且上或下平移 k 單位。當 h > 0 , K > 0，則向右且向上平移。反之，則向左且向下平移。 例 1. 試描繪函數ƒ(x)=x2 - 2x + 3 的圖形。 X Y y = (x-1)2 +2 因為ƒ(x)=(x-1)2 +2 ，所以函數y=(x-1)2 +2的圖形是y=x2的圖形向右平移1單位且向上平移2單位，如下圖：

若 k > 1，則函數y=kƒ(x) 圖形的縱向是函數y=ƒ(x)圖形的縱向放大 k 倍。 若 -1< k < 0，則函數y=kƒ(x) 圖形是函數y=ƒ(x)圖形以X軸旋轉180度，且縱向縮小1/ k 倍。 若k < -1，則函數y=kƒ(x) 圖形是函數y=ƒ(x)圖形以X軸旋轉180度，且縱向放大 k 倍。 例 2. 試描繪函數 的圖形。 函數 圖形是函數 圖形以 X軸旋轉180度且縱向縮小2倍，如下圖： Y X

d. 除前面介紹的8個簡單函數圖形外，其餘的函數圖形比較複雜，不容易描繪其圖形，此時必須訴諸於數學電腦軟體，如MATLAB，MATHEMATICA，MAPLE，DERIVE等，經由這些電腦軟體可得到精確的函數圖形。 最後，討論函數圖的用途： 判斷平面曲線是否為函數圖形。 依據函數的定義，得知函數曲線與垂直線最多有一個交點。因此若平面曲線與一垂直線有2個交點以上，則此平面曲線不是函數曲線。 例 3. 利用垂直線檢驗下面曲線是否為函數圖形。右圖是，左圖不是。 X Y X Y b. 了解函數遞增、遞減、局部極值、反曲點、 漸近線、截距的狀況。 c. 描述重積分的範圍，進一步決定積分的上下界。

5.函數極限的定義： 函數極限是討論：當x靠近a，函數 f(x) 的變化情形，若 f(x) 穩定地接近一個固定值L，則 f(x) 在x= a 的極限值為L，可記為「當x a , 則 f(x) L 」，或簡記為 注意：“ x  a ” 表示 “ x ≠ a ” y 例 1. 若函數 f(x) 的圖形如下： 依據上面函數極限的意義，得 x a L f(a) y x a L 依據上面函數極限的意義，得 例 2. 若函數 f(x) 的圖形如下： 例 3. 若函數 f(x) 的圖形如下： y 依據上面函數極限的意義，得 不存在 L x a

注意： 與ƒ( a) 沒有關聯性。 例 4. 求 。 例 5. 求 。 當 x 靠近 1 ，函數 的變化如下表： x 1.1 1.01 1.001  1  0.999 0.99 0.9 ƒ(x) 2.1 2.01 2.001 ？ 1.999 1.99 1.9 觀察此數值表，可決定 。 另一個方法是代數的技巧；“ x 1 ” 表示 “ x ≠ 1 ”，因此 注意：利用 x 與 ƒ(x) 的數值表決定ƒ(x) 的極限值，不是一個有效的方法。

為了建立完整的極限觀念及有效的計算公式，必須有嚴格的定義。 例 6. 求 。 如觀察下列數值表： x  1  1 1 1 1  ？  1 1 1 可能決定 ，如果再觀察下列數值表： x  1 ? 可決定 為了建立完整的極限觀念及有效的計算公式，必須有嚴格的定義。 對任何ε>0，存在δ>0，若 0 < | x – a | < δ，得 | f(x) – L | < ε，則稱f(x) 在 x=a 有極限值 L，記為 a L L-ε L+ε x y a +δ a -δ a L L-ε L+ε x y a +δ a -δ a L L-ε L+ε x y a +δ a -δ a L L-ε L+ε x y 0 < | x – a | < δ | f(x) – L | < ε 對任何ε 存在δ>0

例 7.試證明 對任意ε > 0，尋找適當δ > 0，若0 < | x – 2 | < δ，得| (3x+2) – 8 | < ε。此處利用結果| (3x+2) – 8 | < ε，反方向推導δ，其過程如下： 因為上面的過程可逆，即對任意ε > 0，存在 ，若 可得| (3x+2) – 8 | < ε，故 注意： 在例7中，只要δ的值小於或等於 ，皆可得| (3x+2) – 8 | < ε 。 若函數 f(x) 很複雜，則此反向推導將不容易推得δ 。 為了方便求得一般函數的極限，吾人將建立一些基本函數的極限公式。

6.函數單邊極限的定義： 注意：這些公式可經由函數極限的定義證得。 x 靠近a 包含右邊或左邊靠近a ，從右邊靠近 a 記為 xa+ ，相反地，從左邊靠近 a 記為 xa- 。因此，函數單邊極限的意義如下： 當 x 從右邊靠近 a ，若 f(x) 穩定靠近一個定值L ，則稱 f(x) 在 x = a 有右極限L，記為 當 x 從左邊靠近 a ，若 f(x) 穩定靠近一個定值L ，則稱 f(x) 在 x = a 有左極限L，記為

為建立單邊極限及極限之關係，給單邊極限一個嚴格的定義是必需要的。 對任何ε>0，存在δ>0，若 0 < x – a < δ，得 | f(x) – L | < ε，則稱 f(x) 在 x=a 有右極限值 L，記為 對任何ε>0，存在δ>0，若 -δ < x – a < 0，得 | f(x) – L | < ε，則稱 f(x) 在 x=a 有左極限值 L，記為 注意：若比較極限與單邊極限的定義，將發現單邊極限僅討論極限的右半部或左半部，反之，極限同時討論左極限與右極限。 定理 1. 注意： a. 若極限存在，則左、右極限存在且相等。 b. 若左、右極限存在，但不相等，則極限不存在。 例1. 試求

7. 函數極限的運算： 因此，左、右極限存在且相等，故 例 2. 試證明 不存在。 例 2. 試證明 不存在。 首先，決定左、右極限； 2 雖然左右極限存在，但不相等，故 不存在。 7. 函數極限的運算： 因為複雜函數是簡單函數經運算結合而成，所以這些運算性質對於極限很重要，若極限有了這些運算性質，且配合第5節基本函數的極限公式，就可以有系統地決定一般函數的極限。 定理 1. 若 n 為正整數，k 為常數，函數 f 與 g 在 x = a 有極限值，則

注意：此定理對單邊極限仍然有效。 直接利用極限的運算性質及基本函數的極限公式，得 因為 ，故可以直接利用極限的運算及基本函數的極限公式，得 經由例 1與例 2的觀察，再利用極限的運算性質，可證得下面定理。 定理 2. 若 f(x) 為多項式函數或有理數函數 ，則

8. 函數在無限遠的極限及極限無限大： 首先，討論無限遠的極限。 當 x 靠近 ∞，若函數 f(x) 穩定靠近一個定值 L ，則稱 f(x) 在無限遠有極限值 L ，記為 當 x 靠近 - ∞，若函數 f(x) 穩定靠近一個定值 L ，則稱 f(x) 在負無限遠有極限值 L ，記為 為了有系統地討論此種極限，需要更嚴謹的定義。 對任何ε> 0，存在M ，若 x > M，得 | f(x) – L | < ε，則 對任何ε> 0，存在M ，若 x < M，得 | f(x) – L | < ε，則 例 1. 試證明 利用反推法決定M，其過程如下：

注意：無限遠的極限仍具備第7節定理1的運算性質。 先使用代數運算化簡，再引用極限的運算性質，其過程如下： 因為分子與分母的極限皆不存在(∞)，所以不能直接引用極限商的運算法則。必須先使用代數的運算技巧；即分子與分母同除分母中最高次式，再引用極限商的運算法則，其過程如下： 注意：例 3 中所使用的代數技巧，對此種極限問題特別有效。

其次，討論極限無限大。 此種極限的定義如下：當x 靠近 a，則 f (x) 無限遞增或遞減，及| f (x) | 無限遞增。其嚴格的定義如下：對任何 M >0，存在δ>0，若 0 < | x – a | < δ，得 | f(x) | > M，則稱 f(x) 在 x=a 的極限值 為無限大或負無限大，記為 注意： a. 此種極限無限大，就是極限不存在的一種情形。另外，極限跳動或擺動也是 極限不存在情形。 b. 因為第7節定理1的充分條件為函數的極限存在，故在此定理不適用此種極限。 此處仍然利用反推法決定δ，其過程如下：

注意： 根據此例題，得到下列的法則： 若分子的極限為正數且分母的極限為0+，則此分式的極限為∞。 若分子的極限為正數且分母的極限為0-，則此分式的極限為 -∞ 。 若分子的極限為正數且分母的極限為0+或0-，則此分式的極限為 ±∞ 9. 函數極限的應用： 求平面曲線的切線斜率；考慮平面曲線 y = f (x) ，且( x0 , f (x0) )是曲線上的固定點，若 x≠ x0 ，則 ( x0 , f (x0) ) 與 ( x , f (x) )兩點所決定的直線稱為曲線的割線，其斜率為 。 當x靠近x0時，則割線的斜率成為過點( x0 , f (x0) ) 的切線斜率，即切線斜率為 ，記為

b. 求直線運動物體的速度：若直線運動物體的位移函數 y= f(x) 且 t0 是某一個固定時刻，其對應的位移為 f ( t0 ) 。 若 t≠ t0，則介於 t0 與 t 之間的平均速度為 c. 求瞬時變化率：考慮y與x之間的函數關係為y=f (x) ，且 x0 是某一固定值，其對應的 y 值為 y0=f(x0) 。 若 x≠ x0 ，則介於 x0與 x 之間的平均變化率為 當 x 靠近 x0時，則平均變化率成為x0時的瞬時變化率，即x0時的瞬時變化率為 如果 y = f(x) 視為平面曲線，則瞬時變化率就是 曲線的切線斜率。如果將 y = f (x) 視為直線運動物體的位移，則瞬時變化率就 是運動物體的速度。

d. 求水平及垂直漸近線：考慮平面曲線 y= f(x) ， 若 則 x = a 是垂直漸近線。 例 1. 求 的水平漸近線與垂直漸近線。 e. 被用來定義函數的連續性：這部分在第二講有詳細的討論，故此處省略。