工程力学（上） 直播课堂6 姚志刚

第六章静定结构的内力计算 一、本章主要知识点 1．截面内力及符号 2．内力图 3．荷载和剪力、弯矩的对应图形关系

4．叠加法作弯矩图、剪力图 5．分段叠加法作弯矩图 6．静定梁作内力图 7．刚架作内力图 8．三铰拱的计算 9．桁架的计算

二、本篇讲授的内容 （一）截面内力及符号 物体因受外力作用，在物体各部分之间所产生的相互作用力称为物体的内力。对内力的正、负号作如下规定： 轴力符号：当截面上的轴力使分离体受拉时为正；反之为负。

剪力符号：当截面上的剪力使分离体作顺时针方向转动时为正；反之为负。 弯矩符号：当截面上的弯矩使分离体上部受压、下部受拉时为正，反之为负。 当所有外力（包括已知荷点，通过平衡方程求出的所有支座约束反力）已知时，通过三个独立的平衡方程可求解三个内力。截面法是结构力学计算最基本的方法。

+ － ＋ － － ＋

教材例6－3（P73） 一外伸梁如图所示。 。求截面1－1及截面2－2的剪力和弯矩。 2 P q A B 1

杆上外力均为已知，可求任意截面的内力。如截面1－1，取左段为分离体，如图所示。 解： 1．求梁的支座反力。 由整体平衡可求： 2．求1－1截面上的内力 杆上外力均为已知，可求任意截面的内力。如截面1－1，取左段为分离体，如图所示。 YA Q1 P M1 2m 1m

求截面1－1内力也可取左段为分离体，其结果见教材。 3．求2－2截面上的内力。（见教材） 由 求截面1－1内力也可取左段为分离体，其结果见教材。 3．求2－2截面上的内力。（见教材） Q2 M2 1 4

（二）内力图 内力图为表示内力随横截面的位置变化的函数的图形。 一般取杆轴线为坐标轴，横截的位置选择用X表示，则梁的各个横截面上的内力可以表示为X的函数，函数图形即内力图。

教材例6－7（P76） 简支梁AB受一集度为q的均布荷载作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。 分析：取左边X长的分离体，X处截面的内力按正方向假设，用平衡方程求解。

q L M Q + - qL2/8 qL/2 qL/2 qL/2

解： （1）求梁的支座反力 由整体平衡可求： （2）取距A端X处的C截面，标出 。解得： C Q(x) M(x) x A

M图为二次抛物线，确定X＝0，L/2及L处M值可确定M的函数图形。 Q图为直线形，确定X＝0，L处Q值即可确定Q图。 + - qL2/8 qL/2

根据内力图的特征，除均布荷载q作用下的M点为二次抛物线外，其余情况均为直线段。因此，可以不需列出函数方程，直接确定直线段内力图的控制点值，即荷点作用不连续点的截面内力连接直线即可。

均布荷点作用段内M图再确定一中间值即可画出二次抛物线。按建筑力学的习惯，M图画在杆件弯曲变形时受拉一侧。 画出M图。弯矩最大值在梁的中点，为 ql2/8 ； 画出Q图。剪力最大值在梁端，为ql/2。

（三）荷载与剪力、弯矩的对应图形关系 纯弯曲：剪力图为零，弯矩图为一水平直线。 q＝0： 剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。

几种常见简支梁M、Q图的记忆 P L/2 M Q + - PL/4 P/2 q L M Q + - qL2/8 qL/2 P/2

q＝常数:剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 集中力：剪力图为一水平直线，P作用处有突变，突变值等于P。弯矩图为一折线，P作用处有转折。

几种常见简支梁M、Q图的记忆 P m L/2 M Q + - M/2 m/L a b L Pab/4 M Q Pb/L Pa/L + -

集中力偶：剪力图为一水平直线，力偶作用处无变化。弯矩图为水平线，力偶作用处有突变，突变值等于集中力偶。

外伸梁如图所示，已知 ，试画出该梁的内力图。 教材例6－10（P81反） 外伸梁如图所示，已知 ，试画出该梁的内力图。 2 P q A B 1 C D

分析：例中，整体平衡可求解 ，则A、B、C、D为外力不连续点，――作为控制截面。 在集中力P，或支座反力处剪力有突变，所以控制截面截取应B左、B右、C左、C右，D右支座反力即作用于CD杆端的剪力。

Q图由控制点A、B左、B右、C左、C右的值之间连直线得到。 解： （1）求梁的支座反力

（2）画弯矩图： 求控制截面的弯矩值，取AB杆的分离体。 杆上侧受拉。 取CD杆的分离体： （铰支端） 杆下侧受拉。

确定A、B、C、D四点M值： BC，CD间无均布荷载q，直接联直线； AB间有均布荷载q,确定中点值为2.5KN/m,可由三点确定抛物线。

（2）画弯矩图：连接控制截面的弯矩值，如图: M图AB段的端点值即MA、MB的中间值由 确定，作抛物线。M图 BD段的端点值即MB、MD的中间值由 确定，用直线连接。 如在的连线上叠加的二次抛物线，或在的连线上叠加的三角形的底边，简单拼合，显然不能对齐。

杆端作用剪力、弯矩与相应简支梁两端作用弯矩受力情况完全相同，即对应。所以任意分段均可同叠加法作M图。 10kNm A B C D 轴力为零不考虑。 杆端作用剪力、弯矩与相应简支梁两端作用弯矩受力情况完全相同，即对应。所以任意分段均可同叠加法作M图。

（3）画剪力图：取控制截面如图。 计算剪力：取分离体如图。 AB：QAB=0（自由端） CD： BC： QBC QCB＝5-P=-10

在已荷点和所有反应力的情况下，可以取分段分离体求剪力控制截面值，但如果M图已知，不求约束反力也可确定分段杆端的剪力控制截面值。 剪力图如图所示。 在已荷点和所有反应力的情况下，可以取分段分离体求剪力控制截面值，但如果M图已知，不求约束反力也可确定分段杆端的剪力控制截面值。   10kN 5kN - + A D C B

几种常见简支梁M、Q图的记忆 P L/2 M Q + - PL/4 P/2 q L M Q + - qL2/8 qL/2 P/2

几种常见简支梁M、Q图的记忆 P m L/2 M Q + - M/2 m/L a b L Pab/4 M Q Pb/L Pa/L + -

（四）叠加法作弯矩图与剪力图 当梁上有几项荷载作用时，梁的反力和内力可以这样计算：先分别计算出每项荷载单独作用时的反力和内力，然后把这些计算结果代数相加，即得到几项荷载共同作用时的反力和内力。

P q L + P+qL M Q qL PL 1/2 qL2 PL+1/2qL2

上图悬臂梁上作用有均布荷载和集中力。 梁的反力和内力都是由两部分组成。各式中第一项与集中力P有关，是由集中力P单独作用在梁上所引起的反力和内力；各式中第二项与均布荷载q有关，是由均布荷载q单独作用在梁上所引起的反力和内力。两种情况的叠加，即为二项荷载共同作用的结果。这种方法即为叠加法。

剪力图： 集中力P单独作用时为一水平直线，均布荷载q单独作用时为一斜线；两种情况叠加后即为共同作用的结果，如上图。

弯矩图： 集中力P单独作用时为一斜线，均布荷载q单独作用时为抛物线；两种情况叠加后即为共同作用的结果，如上图。 分段叠加法作弯矩图 直杆弯矩图――分段叠加，简化绘图工作，适用于多跨梁、刚架的弯矩图的绘制。

外伸梁如图所示，已知 ，试用叠加法画出该梁的M图。 教材例6－10（P81反） 外伸梁如图所示，已知 ，试用叠加法画出该梁的M图。 2 P q A B 1 C D

M图 10kNm 10kN 5kN - +

几个标准弯矩图 简支梁作用有均布荷载q 简支梁作用有中点的P 悬臂梁作用有均布荷载q 悬臂梁作用有端点的P 简支梁作用有非中点的P 简支梁作用有中点的m

简支梁作用有均布荷载q q L M Q + - qL2/8 qL/2 P/2

（1）简支梁作用有均布荷载q 简支梁作用有均布荷载q的弯矩图为一抛物线，其中点弯矩为。 （2）简支梁作用有中点的P 简支梁作用有中点的P的弯矩图为一折线，在集中力P作处产生折点，其值为。

简支梁作用有中点的P P L/2 M Q + - PL/4 P/2

简支梁作用有中点的m m L/2 M Q + - M/2 m/L

简支梁作用有非中点的P P a b L Pab/4 M Q Pb/L Pa/L + -

悬臂梁作用有端点的P M Q + P PL 悬臂梁作用有均布荷载q + q qL 1/2 qL2

（5）悬臂梁作用有均布荷载q 悬臂梁作用有均布荷载q的弯矩图为一抛物线，其值端点为零、固定端为。 （6）悬臂梁作用有端点的P 悬臂梁作用有端点的P的弯矩图为一斜线，其值端点为零、固定端为PL。

（五）分段叠加法作弯矩图 简支梁上作用有均布荷载q，其两端作用有 弯矩，用叠加法作弯矩图。

MA MB q L +

原结构作用有两种荷载弯矩和均布荷载。将原结构分解为由弯矩与均布荷载分别作用的两种情况，如图所示。 +

MA MB q L + MA MB 中点M=

MA MB 即： +

分段叠加法作弯矩图:杆端弯矩图叠加上简支梁上对应荷载（均布荷载q或中点集中力P）的标准弯矩图； 叠加：是指弯矩图纵坐标的代数和，而不是弯矩图的简单拼合。 分段叠加法作弯矩图的方法如下：

分段叠加法作弯矩图的方法： （1）求控制截面的弯矩值（全部荷载作用） 控制截面――一般取外力不连续点（如：均布荷载q的端点、P作用点和集中力偶M作图点的左、右）。

（2）分段画弯矩图 控制截面内无荷载――连直线； 控制截面内有荷载（q或中点P）――连虚线，再叠加相应的弯矩图。

剪力图可以由弯矩图取得： 任取杆段AB，荷载及杆端弯矩已知，如图所示。 则： ， ， 或由 ，分别为荷载对杆端A，B之矩的代数和。

P MA MB QAB QBA

外伸梁如图所示，已知，试画出该梁的内力图。本例同例6-10反向 例6－10 外伸梁如图所示，已知，试画出该梁的内力图。本例同例6-10反向 2 P q A B 1 C D

（1）求控制截面的弯矩值（全部荷载作用）；本题的控制截面为A、B、D截面。 解： （1）求控制截面的弯矩值（全部荷载作用）；本题的控制截面为A、B、D截面。 A端为自由端，D端为铰支端，AB为悬臂梁，其控制截面弯矩如图，分段画弯矩图： M图 10kNm

按 取得A、B、D截面的弯矩值并连以虚线。 在AB段的虚线上叠加均布荷载q的弯矩，如图所示。 在BD段的虚线上叠加集中力P的弯矩，其值为：

（2）由弯矩图画剪力图 AB段：分离体如图所示： 10 可得：

BC段：分离体如图所示： C QBC QCB CD段：分离体如图所示：

用A、B、C、D截面的剪力值取点并连以直线，得到本题的剪力图，如图所示。 剪力图： 用A、B、C、D截面的剪力值取点并连以直线，得到本题的剪力图，如图所示。 10kN 5kN - + D B C A

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（六）静定梁作内力图 多跨静定梁――按几何组成的相反次序求解，可避免解联立方程。 多跨静定梁组成： 基本部分――能独立承受荷载的部分 附属部分――依赖于基本部分承受荷载的部分

教材[例6－12]（P82） 多跨静定梁如教材图所示。已知 。试画出该多跨梁的内力图。 （1）求支座反力， A B C E F D q＝5 4m 1 2 5

4 1 2 q P 1 P=10 2 5 10 4 q=5 11.25 3.75

（2）作弯矩图：用叠加法 求出控制截面的弯矩（A点、C点、E点、F点弯矩为零），连以直线； 在AB段、EF段弯矩的直线上分别叠加均布荷载与集中荷载的弯矩，如教材P83（b）图所示即为结果。

（3）作剪力图 分别求出控制截面A、B左、B右、D左、D右、集中荷载左右及F的剪力；连以直线，结果如教材P83图（c）所示。 利用形状特征直接画弯矩图：即利用四个标准弯矩图画多跨静定梁的弯矩图，如图所示

*利用形状特征直接画M、Q图 A B C E F D q＝5 10 P＝10 4m 1 2 12.65 5 M(kNm) 11.25 5 3.75 10 + - 8.75 Q(kN)

1 P=10 5 2 10 4 q=5 11.25 3.75 M Q

（七）刚架作内力图 1．静定刚架作内力图 平面刚架是由梁与柱所组成的平面结构。横杆称为梁，竖杆称为柱。 各杆间由结点联接，主要为刚结点，也有铰结点。 刚架的特点：梁与柱的联接处为刚结点，当刚架受力而产生变形时，刚结点处各杆端之间的夹角始终保持不变，且能承担弯矩。铰结点联接的杆端可相对转动，一般弯矩＝0。

（1）常见刚架类型 常见的刚架类型有三种基本类型：悬臂、简支，三铰刚架。应熟练掌握其受力特点及相应的计算方法。

a．简单刚架 简支刚架：刚架与地基按简支梁的形式联接（与地基由二刚片规则组成）。 悬臂刚架：悬臂构件与地基固结。 三铰刚架: 两构件与地基由三个铰联接而成的刚架。（与地基由三刚片规则组成）。

b.组合刚架 构件由刚结点与铰结点组合而成的刚架。其结构可分为基本部分与附属部分。

（2）支座反力计算 a.悬臂刚架____悬臂构件与地基固定联接，固定端的反力有： 。由一矩式平衡方程可求： 由

b.简支刚架____刚架与地基按简支梁的形式联接。有A端反力，B端反力。由平衡方程可求： 支反力

局部为分离体：（取荷载少的半跨求解简单）求 c.三铰刚架，或整体刚架： 取整体为分离体：求 局部为分离体：（取荷载少的半跨求解简单）求 也可利用 C

（3）计算杆端内力 求解杆端内力的基本方法是截面法： a.截取杆端截面，适当选取分离体（构件或节点）

b.正确的受力分析: 已知力（荷载及已求出的力）按实际方向画；未知力按正方向假设。 c.选取适当的平衡方程，避免解联立方程，求解各杆端内力（弯矩，剪力，轴力）

小结：刚架支座反力求解后，外力均为已知。任取杆端截面切开，取左（或右）部分为分离体，均只有三个内力未知量，用平衡方程可完全求解。已知力：包括已知荷载、已求出的约束反力，及其它已求出的内力；未知力的计算结果为代数值，其符号的正负表示实际方向：正号与假设的方向相同，负号表示相反。可以极大的简化计算。一般取任意一杆件或结点校核。

（4）画内力图（弯矩图，剪力图，轴力图）的要求： 注明杆端及控制截面值；弯矩图画在受拉面；剪力图、轴力图注明正负；校核：整体及任取局部均应平衡。

教材[例6－16]（P90）作如图所示三铰刚架的弯矩图、剪力图及轴力图。 4m 2m 20kN/m A B C

（1）求支座反力： 取整体 取ADC分离体，受力分析如图6－25（b）所示。取ADC分离体， 解 例中Xa=Xb=10kN，计算错误，由此导致求解内力M、Q、N均错。应为Xa=Xb=5kN。

求未知反力是求解静定结构内力的第一步，解出后，应先简单校核，确保第一步正确，否则如书中例题，一错均错。 立即可以校核

（2）作弯矩图 取AD分离体，D截面有M，Q，N。对D截面中心取力矩平衡方程，其中只有一个未知力 ，可直接求出； 取AD杆：A端为支座端， 有支座反力： D端为刚结，有内力： 。

也可以考虑AD杆，点D处为刚结约束（如固定支座）： 对D处的力矩：取结点D分离体，有三对内力。考虑D点力矩平衡：Q，N均通过D点，无力矩，所以 ，同为外侧受拉。

刚结点处，弯矩大小相等，同外（内）侧受拉，是刚架及连续梁M图的一个显著特点，应特别注意，并可以利用其特点做M图（确定其值，或校核）。 同理：取BE杆及结点B的分离体可以求得： （外侧受拉） 结点C为铰结点： 铰结点处杆端弯矩为零，也是刚架及连续梁弯矩图的一个显著特点。

按叠加法作弯矩图： 各杆杆端弯矩，即控制截面弯矩已求出，按叠加法，各杆端M值之间： 首先，标出铰结点、刚结点处的弯矩值，且连以直线。有均布荷载的杆段CE处画虚线；

其次，在CE杆段叠加均布荷载的弯矩，其形状为抛物线，如图（c）所示。 4m 2m 20kN/m A B C 20kN/m A B C 10 5 30

20kN/m E D C 10 B 5 30 5 A

（3）作剪力图 取杆AD： 杆端A的剪力即支座反力XA，因剪力定义的正方向为绕杆顺时针转为正，所以 。

取结点D： 结点D，DC杆端QDC，NPC按正方向假设（未知）。 建议：DA杆端， 最好按实际方向画在结点D分离体，标绝对值（按正方向标示也可以，但代入方程应为负值）

注意：结点的杆端与杆上杆端的内力为作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但对于各自的杆端，其符号正负相同。 这里没有画出内力M，因为所用的力的平衡方程求解Q，N，与M无关。截DC杆的杆端D截面，取杆DA＋D为分离体： 杆上所有力应画全（杆端内力，荷载等），求解Q，与N无关，可以不画N。

同理可求： 取CE分离体求 取铰结点C 作剪力图：根据各杆杆端剪力值，连直线即得Q图。其特点是：杆上无荷载，为平行杆轴的直线，杆上有均布荷载q，为斜交杆轴的直线，杆上有集中力，集中力下为台阶状，其两侧仍为平行杆轴直线。

作轴力图：各杆端的轴力：在求剪力Q时可以同时求出。直接连接直线即得，其特点均为平行杆轴的直线。 以书中例题（例题错），P91，图6-25（c）。取杆DC或（CE），进行受力分析如教材图：对D点取力矩平衡，结果不满足平衡。

2．作静定刚架内力图的基本方法： （1）整体（或加局部）平衡求支座反力，注意及时校核。 （2）取构件分离体，求杆端截面的三个内力控制值。 （3）叠加法作内力图：剪力图、轴力图为直线；弯矩图：杆上无荷载为直线，杆上有荷载则叠加简支梁相应的弯矩图。

（4）注意利用刚结点弯矩图的特点，铰结点的弯矩为零。 （5）校核应选取未用过的部分为隔离体（构件或结点），验证满足平衡条件。书中P91图6－25（C）取构件DC（或CE）的受力图校核。

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（八）三铰拱的计算 1．三铰拱的特点：竖向荷载作用下，支座处产生水平反力，这是与相应简支梁比较而言。几何组成与三铰刚架相同，只是其杆件为曲杆。 2．拉杆式三铰拱与地为简支，产生的水平推力由拉杆提供，以避免对支座产生推力。

3．三铰拱的计算，见P93图6－28 （1）支座反力 支座反力计算与三铰刚架相同

与相同跨度相同荷载的简支梁相比： 为简支梁上相应的反力与弯矩。水平反力H与矢高f成反比，矢高越低水平推力越大。

取任意x位置用截面K假想截开，有内力M、Q、N，分离体受力分析如图； 若N，Q按水平、竖向分解， 则水平力与H平衡， 竖内力与荷载与 平衡， （2）内力计算－－截面法 取任意x位置用截面K假想截开，有内力M、Q、N，分离体受力分析如图； 若N，Q按水平、竖向分解， 则水平力与H平衡， 竖内力与荷载与 平衡， 即相当于 相应简支梁的 ； K N Q H H

此二力向N，Q方向投影则得到式（6－8）、（6—9）。 与二部分力平衡：一部分为竖向荷载及 ，相当于相应简支梁的 ；第二部分为推力产生的：－Hy，得公式（6—7）。

(3)拱的合理轴线 在竖向荷载作用下：三铰拱的合理轴线形式与相应简支梁的M图相同，只是乘以1/H（常数）

例6－18，P97图6－31 试求图6－31（a）所示三铰拱在均布荷载作用下的合理轴线。 在满跨均布荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线是抛物线

（九）桁架的计算 1．桁架特点： 由直杆用铰链联接而成，在结点荷载作用下，各杆只有轴力。 组成方式： 简支桁架――由二元体生长方法可得； 联合桁架――几个简单桁架，按二刚片法则组成。

2．结点法 取结点为分离体――平面汇交力系 适于求解简单桁架的各杆内力。 有二个独立的平衡方程，可求解二个未知力。

求解方法： （1）求解支座反力，零杆判断； 因几何组成的不同而不一定是必须的，零杆判定后，可以大大简化求解。 （2）再选取只含二个未知力的结点。顺次取二个未知力的结点分离体可求解每个杆的内力。

（3）结点分离体中，未知轴力设为拉力（正），结果为负时表示与所设方向相反。已知力一般按实际方向画，标注其数值的绝对值，则平衡方程建立时看图确定其正负。

零杆的判断： 1．不共线二杆结点，无外力作用，则此二杆都是零杆。（图6－36a） 2．三杆结点，无外力作用，如果其中二杆共线，则第三杆是零杆。（图6－36b）

3．截面法 用截面切断拟求构件，将桁架分为二部分，取其中一部分为分离体，得平面任意力系，适于求解指定某几个构件的内力。 切断杆件所得内力，与其同侧的外力、支座反力组成一平面的任意力系，有三个独立的平衡方程，可解三个未知力。

截面切断的未知内力的杆件一般不超过三个；切断的杆件内力仍设为正方向。截面切断的未知内力的杆件一般不超过三个；切断的杆件内力仍设为正方向。

4．灵活运用 （1）结点法、截面法可以联合使用； （2）零杆判断应充分利用，可以简化计算。 （3）利用对称性； （4）选取适当的方程也可大大简化计算。

例6－19（P98图6－35） 试计算如图所示桁架各杆内力。 解： 先计算支座反力。以桁架整体为分离体，求得： 求出反力后，从包含二杆的结点开始，逐次截取各结点求出各杆的内力。画结点受力图时，一律假定构件受拉，即构件对结点的作用力背离结点。

结点1：（b）图，分离体为平面汇交力系。 一般用投影二个方程可求解 ，但考虑平衡的汇交力系合力为零，则对平面内到一点的合力矩为零： 取结点3为力矩中心， 方程中只有一个未知力 ， 可以避免。 若用 方程求解，如 求解有误，引起 的求解错误。

结点1：取适当的平衡方程 只有 在y方向的投影 为未知量， 其余的为已知力（包括荷载和已求出的支座反力）求解直接，且避免了累积的错误。

结点1：取适当的平衡方程 将上面求出的值按实际方向标于分离体图中，如图所示。 下面的求解请见教材。

例6－21（P100图6－38）求图中所示桁架中指定构件1、2、3的内力。 解：1．按简支梁求解支座反力 以桁架整体为分离体，求得： 标于图上。

2．零杆的判断 由结点F、结点G可判断： 由结点D可判断：

3．取截面I－I图（b）

利用比例三角形分解斜杆轴力

4．取结点A，标出A结点的分离体。 的弯矩为零。