电 路 任课教师：李海娜 TEL：158 7376 2995 教材：《电路（第5版） 》邱关源

任务分配 电路（一） 电路（二） 绪论、第一章、第二章、第三章、第四章、第六章、第七章、第十四章、第十七章 第八章、第九章、第十章、第十一章、第十二章、 第十三章、第十五章、第十六章、第十八章 成绩构成： 考试70%，课堂15%，作业15%。（实验单独设课 ）

本学期主要学习各种正弦交流稳态电路的分析。 回顾 电路（一）基本是直流电路的分析。 R： C： 元件约束：元件的VCR 两大约束 L： 电路结构约束：KCL、KVL 本学期主要学习各种正弦交流稳态电路的分析。

第八章 相量法 复数 8-1 正弦量 8-2 相量法的基础 8-3 电路定律的相量形式 8-4

重点： 1. 正弦量的表示、有效值、相位差； 2. 正弦量的相量表示； 3. R、L、C三个基本元件的复阻抗形式及其VCR的相量形式; KCL、KVL的相量形式。

8-1 复数

F b Re Im a O  |F| 一、 复数的表示形式 代数式 极坐标式 三角函数式 其中 指数式

二、 复数的运算 1. 加减运算 —— 采用代数式 若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) F1 F2 Re Im O F1+F2 F1+F2 F1 Re Im O F2 -F2 F1-F2 图解法

2. 乘除运算 —— 尽量采用极坐标式或指数式 若 F1=|F1|  1 ，F2=|F2|  2 则 模相乘 角相加 模相除 角相减

例8-1 解 例8-2 解

三、旋转因子 复数 ejq =cosq +jsinq =1 q F Re Im O F• ejq  φ F• ejq

Re Im O 特殊的旋转因子 注意 j, –j, -1 都可以看成旋转因子。

优 点 正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。 研究正弦电路的意义 正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。 优 点 正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数。 正弦信号容易产生、传送和使用。

结论 ③正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以使用傅里叶级数的展开分解为一系列按正弦规律变化的分量。 对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际应用价值。

8-2 正弦量（重点）

一. 正弦量的定义及表示 i t i(t)=Imcos(w t+φi) u(t)=Umcos(w t+φu) 1. 定义 3. 波形图 T 1. 定义 3. 波形图 随时间按正弦或余弦规律 变化的电压或电流。 t i O T 2. 瞬时值表达式 i(t)=Imcos(w t+φi) u(t)=Umcos(w t+φu) 正弦量为周期函数

i(t)=Imcos(w t+i) 二、 正弦量的三要素 i t 幅值 (振幅、最大值)Im (2) 角频率ω（周期T 和频率f） 单位： rad/s ，弧度/秒 t i O T 周期T 单位：s(秒) 频率f 单位:Hz (赫兹) (3) 初相位i 反映正弦量的计时起点，常用角度表示。

注意 φi =0 i 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 一般规定： |φi | < 。 t φi φi=/2 O t φi φi =－/2 φi=/2

例8-3 已知正弦电流波形如图，＝103rad/s， 1.写出i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1。 解 i 100 50 t O 100 50 t1 由于最大值发生在计时起点右侧

规定： | | < (180°) 三、同频率正弦量的相位差 i(t)=Imcos(w t+ φi) 设 u(t)=Umcos(w t+φu), i(t)=Imcos(w t+ φi) 相位差 ：j = (w t+φu)- (w t+φi)= φu- φi 规定： | | < (180°) 等于初相位之差 两同频率正弦量的相位关系： 超前、 滞后、 同相、 反相、 正交

j >0， u 超前 i j 角，或i 滞后 u  角 (u 比 i 先到达最大值)。 j <0， i 超前 u j 角，或u 滞后 i j 角（ i 比 u 先 到达最大值）。  t u, i u i φu φi j O

j = (180° ) ，反相 j ＝ 0， 同相  = ±p/2：正交 特殊相位关系 u u  t i i  t u i O j ＝ 0， 同相  t u i O  t u i O  = ±p/2：正交 同样可比较同频率的两个电压或两个电流的相位差。

例8-4 计算下列两正弦量的相位差。 结论 解 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。 不能比较相位差

四、 周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果,工程上采用有效值来表示。 周期电流、电压有效值定义 R 直流I R 交流 i 物理意义

均方根值 定义电压有效值： 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos( t+φ )

因为 所以

注意 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系 若交流电压有效值为 U=220V ， U=380V 其最大值为 Um311V , Um537V 注意 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。

测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的书写符号。

8-3 相量法的基础 （重点） （重点）

8-3 相量法的基础 一、 问题的提出 iL uC u R L C + - 1.电路方程是微分方程 2.两个正弦量的相加，如KCL、KVL方程运算：

结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，正弦量求导、求积分仍得到同频的正弦量，正弦量乘以常数仍得到同频的正弦量，所以，在此类计算中只需确定正弦量的初相位和有效值。因此采用 变换的思想 正弦量 复数

二、 正弦量的相量表示 结论 无物理意义 造一个复函数 对 F(t) 取实部 任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。 是一个正弦量 有物理意义 任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。

F(t) 包含了三要素：I、 φi 、， 复常数 F(t) 还可以写成 相量包含了两个要素：I 、φi 。 正弦量对应的相量 同样可以建立正弦电压与电压相量的对应关系：

总结 特点： 特点： 表示正弦量的复数称为相量。 （有效值)相量 振幅相量 相量的模对应正弦量的有效值。 相量的幅角对应正弦量的初相位。 相量的模对应正弦量的最大值。 相量的幅角对应正弦量的初相位。

例8-5 已知 试用相量表示i, u。 解 例8-6 试写出电流的瞬时值表达式。 解

三、相量图 在复平面上用有向线段表示相量的图。 i φu +1 +j O 注意：只有同频率的正弦量对应的相量才能画在同一个相量图上。

四、 相量法在计算中的应用 1、同频率正弦量的加减 相量关系为： 结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。

i1  i2 = i3 同理： 例8-7

2、正弦量的微分、积分运算 微分运算 积分运算

例8-8 相量法的优点 i(t) R u(t) L + - 用相量运算： 把时域问题变为复数问题。 把微积分方程的运算变为复数方程运算。 C 用相量运算： 相量法的优点 把时域问题变为复数问题。 把微积分方程的运算变为复数方程运算。 可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。

注意 ① 正弦量 相量 时域 频域 正弦波形图 相量图 相量法只适用于激励为同频正弦量的时不变线性电路。 ③相量法用来分析正弦稳态电路。

8-4 电路定律的相量形式（重点）

一、 基尔霍夫定律的相量形式 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示为 注意：不是 ╳ ╳

二、 电路元件的相量形式 φu UR=RI 1. 电阻元件的相量形式 φu=φi 相量电路模型 VCR的相量形式 uR(t) i(t) R + - 时域形式 UR φu R + - φi 相量形式的VCR UR=RI φu=φi 有效值关系 相量模型 相位关系 相量图

瞬时功率以2交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率。 波形图  t O pR URI uR i 瞬时功率以2交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率。

2. 电感元件VCR的相量形式 i(t) uL(t) L + - 时域形式 jL + - 相量形式的VCR 有效值关系 UL=w L I 相位关系 φu=φi +90° 相量模型

XL=L=2fL，称为感抗，单位为 (欧[姆]) UL=w L I XL=L=2fL，称为感抗，单位为 (欧[姆]) 表示限制电流的能力。 w XL O 感抗和频率成正比。

瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。 波形图及相量图 电压超前电流90°  t i O uL pL 2 φi φu 功率 瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。

3. 电容元件VCR的相量形式 时域形式 iC(t) + C u(t) - 相量形式的VCR 有效值关系 IC=w CU 相量模型 相位关系 φi=φu+90° 相量模型

XC=1/w C， 称为容抗，单位为(欧[姆]) IC=w CU XC=1/w C， 称为容抗，单位为(欧[姆]) 容抗和频率成反比。 w 0， 直流,电容开路(隔直)。 w  ，高频短路。 w XC O 电容具有隔直通交的作用。

瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。 波形图及相量图 电流超前电压90°  t iC O u pC 2 φu 功率 瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。

4. 电源的相量模型 + _ + _ uS + 相量模型 _ + _ + _ 相量模型

例8-9 试判断下列表达式的正、误。 L

三、 电路的相量模型 例8-10 电压、电流用相量形式代替；元件用相量模型代替，即可把时域电路图转化为相量模型。 求下列各电路中的U或I的值？ -j5W + _ -j3W V1 V2 6V 10V （b） -j5W + _ 3W V1 V2 6V 10V （a）

例8-10 求下列各电路中的U或I的值？ A2 A1 A2 A1 V1 A2 A1 V2 4A 4W j4W （c） 4A j4W （d） （f） -j4W j5W + _ -j3W V1 V2 6V 10V （e）

例8-11 + _ 15W u 4H 0.02F i j20W -j10W + _ 15W 相量模型 解

j20W -j10W + _ 15W

例8-12 + _ 5W uS 0.2F i + _ 5W -j5W 相量模型 解