11.3 角的平分线的性质

不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法 ？ 探究活动1 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法 ？ 对折 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ A O B C

探究活动2 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ 观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线。你能说明它的道理吗？

证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）

？ 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）

尺规作角的平分线 画法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ． 　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ． 　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ． O A B N M C ３．作射线ＯＣ． 射线ＯＣ即为所求．

？ 为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线 证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中 OM=ON A MC=NC OC=OC ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线. O A B N M C

探究活动3 猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

验证猜想 已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E 求证: PD=PE 证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知） ∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义） ∵PD⊥OA,PE⊥OB （已知） ∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义） 在△OPD和△OPE 中 　∠DOP=∠BOP （已证） 　∠ODP=∠OEP （已证） 　　　OP=OP　　（已知） ∴ △ADC≌△ABC (ＡＡS) ∴ＰＤ＝ＰＥ（全等三角形对应边相等） P A O B C E D 1 2

角平分线的性质 定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 P A O B C E D 1 2 用符号语言表示为： ∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE.

解决问题 　　如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000） s

解： 作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求。 s C

？ 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．

已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E 为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB 　∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 　 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） 　∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上

结论 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 用数学语言表示为：

知识应用 例 如图， △ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到AB,BC,CA的距离相等。 完成课本50页练习 A N M P

练一练 A 2 1 E (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB ∴___________ (________________________________________) (2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴__________ (________________________________________________) DC=DE 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 ∠1= ∠2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。

开动你的脑筋，你一定行！ 1、已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC. B A E D C F 分析：根据角平分线的性质得到DE=DF，再根据HL证△BED≌△CFD,从而得到EB=FC。

2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物 中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择 的地址有:( ) A.一处 B.两处 C.三处 D.四处 A D C B 分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。即：A,B,C,D各一处。

小结 1、 画一个已知角的角平分线 2、角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3、角平分线的判定： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。

说一说 通过这节课的学习，你有什么收获？