27.3位似

回顾与反思 同学们，我们已经学习了图形的哪些 变换？ 平移、翻折、旋转、相似

下面两副图是相似形吗？它们还有什么特征？ B D A C E F

大家能给这种有特殊位置的相似图形一个名称吗？ 在日常生活中，我们经常见到象刚才这样的相似的图形。 www.czsx.com.cn 大家能给这种有特殊位置的相似图形一个名称吗？

观察下列各组多边形相似吗？它们有什么特征？ 活动1、设境激趣 揭示概念 观察下列各组多边形相似吗？它们有什么特征？ J' K' I' G H H' G' I K J 1．两图形相似． 2．每组对应点所在直线都经过同一点． 3. 对应边互相平行

如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形 活动1、设境激趣 揭示概念 如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形 对应边互相平行 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比

思考：如何判断一个图形是位似图形？ 1.它们是相似形； 2.每一对对应点所在直线都经过同一点。 3.对应边互相平行 活动1、设境激趣 揭示概念 思考：如何判断一个图形是位似图形？ 1.它们是相似形； 2.每一对对应点所在直线都经过同一点。 3.对应边互相平行 www.czsx.com.cn

练习 判断下列各图形哪些是位似图形： （1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′； 是 不是

（2）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′ 是

判断 位似是一种具有位置关系的相似。 位似图形是相似图形的特殊情形。 位似图形必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。 两个位似图形的位似中心只有一个。 两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧,也可能在位似图形内部。 √ √ √ √ √

典例解析 如图，D，E分别AB，AC上的点. 如果DE∥BC，那么∆ADE和 ∆ABC是位似图形吗？为什么？ DE∥BC，所以∠ADE和＝∠B， ∠AED ＝∠C.所以∆ADE∽ ∆ABC. 又因为 点A是∆ADE和 ∆ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，所以∆ADE和 ∆ABC是位似图形.

练一练 若△ADE∽△ABC呢？

若△ABC∽△DEF，那么，它们位似吗？位似中心在哪儿呢？ www.czsx.com.cn

想一想 思考：位似图形与相似图形之间有何关系？ （1） 结论：位似是一种具有特殊位置关系的相似，所以位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。

合作讨论探究： 位似中心到对应点的距离比是否相等？ C B/ A C/ D P F O A/ A B C E B 活动2、合作探究 归纳性质 将画有位似三角形、四边形、五边形的纸片分发给学生. C B B/ C/ O A/ A A B D C E F P 合作讨论探究： 位似中心到对应点的距离比是否相等？

汇报讨论结果 B/ A C/ O A/ B C C D P F A E B 位似图形的性质： 活动2、合作探究 归纳性质 汇报讨论结果 C B B/ C/ O A/ A A B D C E F P 位似图形的性质： 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

小练习 请以坐标原点O为位似中心，作□ ABCD的位似图形，并把它的边长放大3倍。

作法： 1. 连结OA，OB，OC，OD. 2. 分别延长OA，OB，OC，OD至G，C，E，F，使 3. 依次连结GC，CE，EF，FG.

小练习 使新图形与原图形对应线段的比是2∶1. 在原图上取几个关键点A,B,C,D,E,F,G;图外任取一点P; 作射线AP,BP,CP,DP,EP,FP,GP; 在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,使PA′=2PA,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD,PC′=2PC,PE′ =2PE,PF′=2PF,PG′=2PG; B′ A′ C′ D′ E′ F′ G′ A B G C E D F ●P 顺次连接点A′, B′, C′, D′, E′, F′,G′,所得到的图形(向下的箭头)就是符合要求的图形。

如果依次在射线上PA,PB,PC,PD,PE,PF,PG上取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′呢? 你还有其它方法吗? 如果依次在射线上PA,PB,PC,PD,PE,PF,PG上取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′呢? A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ A B G C E D F ●P 结果是一个向上的箭头. 新图形与原图形是位似图形，位似比是2∶1

位似变换的步骤 ①确定位似中心，位似中心的位置可随意选择； ②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点； ③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小； ④符合要求的图形不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。

探究 在平面直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0）。以原点O为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩小。观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？

探究 △ABC三个顶点坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（6，2），以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？

知识要点 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（－kx，－ky）。

例 在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大. 还有其他办法吗? 放大后对应点的坐标分别是多少? A′( -4 ,-6 ), B′( -4 ,-2 ), C′( -12 ,-4 ) y A C www.czsx.com.cn B o x

例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形. y B A C D A′ D′ B′ www.czsx.com.cn x o C′ A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 ) 你还有其他办法吗?试试看.

课堂小结 1. 位似图形、位似中心、位似比： 如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形。 这个点叫做位似中心。 这时的相似比又称为位似比.

顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形。 2. 位似图形的画法： 画出基本图形。 选取位似中心。 根据条件确定对应点，并描出对应点。 顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形。

3. 位似图形的性质： 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质：若原图形上点的坐标为（x，y），与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（―kx，―ky）。