根號 化為　 再計算 平方根的意義 　 的近似值 自我評量

搭配頁數 52 此正方形的面積與邊長 圖 2-1 面積=1 邊長= 圖 2-1 面積=4 邊長= 圖 2-1 面積=2 邊長=

搭配頁數 52

搭配頁數 63

否 (2) 因為（1.4）＝1.96，（1.5）＝2.25，所 以（1.4）＜ 2 ＜（1.5），那麼面積為 2 搭配頁數 52 (2) 因為（1.4）＝1.96，（1.5）＝2.25，所 以（1.4）＜ 2 ＜（1.5），那麼面積為 2 的正方形，其邊長是否可用學過的數（ 整數、分數或小數）表示？ 否

2-1 二次方根的意義 正方形面積＝ a 時， 正方形的邊長＝ 因為 a 和 分別為面積和邊長， 所以 （邊長）2 ＝ （ ）2 ＝ a 抄在筆記本上

抄在筆記本上 2-1 二次方根的意義 正方形的邊長＝ 例如： （ ）2 ＝ a 3. (1) 若 a ＞ 0 時 a

抄在筆記本上 搭配頁數 57 (2) 若 a＜0 時，則 　 ＝ ＝ －a。 例如：a＝－5 時， 　　　 ＝ ＝ －（－5）＝5。

抄在筆記本上 2-1 二次方根的意義

事實上，面積為 2 的正方形，其邊長 無法用學過的數（整數、分數、小數）表 示，因此，以一個 新的符號 2 （ 讀作根 搭配頁數 53 　　事實上，面積為 2 的正方形，其邊長 無法用學過的數（整數、分數、小數）表 示，因此，以一個 新的符號 2 （ 讀作根 號二）表示此邊長的實際數值。 　　從探索活動中可知， 是介於 1.4 和 1.5 之間的數，即 1.4＜ ＜1.5。

搭配頁數 53 面積為 2 的正方形，它的邊長記為 。 反過來看

1.正方形的面積為 6 ，其邊長可記為_____。 2.邊長為 的正方形，其面積為_____。 搭配頁數 53 1.正方形的面積為 6 ，其邊長可記為_____。 2.邊長為 的正方形，其面積為_____。

搭配頁數 54 計算下列各數： (1) (2) (1) (2)

7 9 56 1.在下列空格中填入適當的數 ： (1) (2) (3) (4) 2.若乙數＞0，且（乙數）＝13， 搭配頁數 54 1.在下列空格中填入適當的數 ： (1) (2) (3) (4) 7 9 56 2.若乙數＞0，且（乙數）＝13， 則乙數可記為______ 。

如圖 2-6，比較兩個面積不同的正方形 時，面積較大的正方形，它的邊長比較長。 利用這個概念，可以得知：若 a、b 為 搭配頁數 54 　　如圖 2-6，比較兩個面積不同的正方形 時，面積較大的正方形，它的邊長比較長。 　　利用這個概念，可以得知：若 a、b 為 正數，且 a2＞b2，則 a＞b。

若 a＝ 、b＝10、c＝ ，比較 a、b、c 三數的大小關係。 搭配頁數 55 若 a＝ 　 、b＝10、c＝ 　 ，比較 a、b、c 三數的大小關係。

＜ ＜ ＞ ＞ ＜ ＜ 比較下列各小題中，兩數的大小關係： （在空格中填入＞或＜） 和 因為 ＿ 所以 ＿ (2) 和 因為 ＿ 所以 ＿ 搭配頁數 55 比較下列各小題中，兩數的大小關係： （在空格中填入＞或＜） ＜ 　和 　　　　 因為 ＿ 所以 ＿ (2) 和　 ＜ 因為　　　 ＿ 所以 　 ＿ ＞ ＞ ＜ (3) ___　　　　　(4) ___4 ＜

當一個正方形的邊長為 2 時，其面積 為 4；而一個面積為 4 的正方形，其邊長也 可以記為 ，所以 ＝2。 下面利用面積相等的正方形說明 搭配頁數 56 　　當一個正方形的邊長為 2 時，其面積 為 4；而一個面積為 4 的正方形，其邊長也 可以記為 　 ，所以 　 ＝2。 　　下面利用面積相等的正方形說明 　 的化簡。

搭配頁數 56 因此， 　 ＝ 　 ＝2。

搭配頁數 56 　 ＝ 　 　＝ 　。

搭配頁數 56 由上述可知，若 a 為正數，面積為 a2 的正方 形，其邊長可記為　　； 邊長為 a 的正方形，其面積為a2， 所以 　＝a。

搭配頁數 57 計算下列各數： (1) (2) (1) (2)

搭配頁數 57 計算下列各數： (1) (2) =0.4 由於 02＝0，因此 　 ＝ 　 ＝0。

搭配頁數 57 若 a > 0，則 　 ＝a。

若一個整數 m 是某個整數 a 的平方， 即 m＝ a2，則 m 稱為完全平方數。 若 整數，則 m 稱為完全平方數 搭配頁數 58 　　 若一個整數 m 是某個整數 a 的平方， 即 m＝ a2，則 m 稱為完全平方數。 若 整數，則 m 稱為完全平方數 例如：81＝92，289＝172， 因此 81 及 289 都是完全平方數。

熟悉完全平方數以後，如果根號內是一個完全平方數時，就可以很容易求得它的值，例如： ＝ ＝13。 搭配頁數 58 將 100 至 400 的完全平方數，列表如下： 熟悉完全平方數以後，如果根號內是一個完全平方數時，就可以很容易求得它的值，例如： 　　 ＝ 　 ＝13。

搭配頁數 58 根據上表，計算下列各數： (1) (2) (3) (4)

搭配頁數 59 計算下列各數： (1) (2) (3) (1)

搭配頁數 59 (2)

搭配頁數 59 (3)

搭配頁數 59 計算下列各數： (1) 2 576 2 288 2 144 2 72 2 36 2 18 3 9 3

搭配頁數 59 (2) 2 1024 5 1225 2 512 5 245 2 256 7 49 2 128 7 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2

搭配頁數 59 (3) 2 676 2 338 13 169 13

當 a ≥ 0，若 b2＝a，則稱 b 是 a 的平方 根（也稱為二次方根）。 例如： 9 的平方根為 搭配頁數 60 　　 當 a ≥ 0，若 b2＝a，則稱 b 是 a 的平方 根（也稱為二次方根）。 例如： 9 的平方根為 因此 3 和 －3 都是 9 的平方根。

1.判別 15 是否為 225 的平方根？ 是 2.判別－1.3 是否為 1.69 的平方根？ 3.判別 是否為 5 的平方根？ 是 搭配頁數 60 1.判別 15 是否為 225 的平方根？ 2.判別－1.3 是否為 1.69 的平方根？ 3.判別 　 是否為 5 的平方根？ 4.判別－ 是否為 5 的平方根？ 是 是 是 是

事實上，對於任意的正數 a， a 的平方根＝ 所以 、－ 都是 a 的平方根， 而且 和－ 互為相反數。 搭配頁數 60 事實上，對於任意的正數 a， a 的平方根＝ 所以 　 、－ 　 都是 a 的平方根， 而且 　 和－ 　 互為相反數。 因此，任意的正數都有兩個平方根，而這 兩個平方根互為相反數。

搭配頁數 61 　　正數的平方是正數，負數的平方也是正數，在國中階段，我們找不到任何一個數的平方是負數，所以負數沒有平方根。又 02＝0，所以 0 的平方根只有 0。 1.若a＞0，則 a 的平方根為　 。 2.若a＝0，則 a 的平方根為 0。 3.若a＜0，則 a 沒有平方根。

求下列各數的平方根： (1)19 (2)196 (3) (4) (1) 19 的平方根為 和 － ， 合併記為 。 (2) 搭配頁數 61 求下列各數的平方根： (1)19 (2)196 (3) (4) (1) 19 的平方根為 　 和 －　 ， 　合併記為 　　。 (2) 196 的平方根為 　 和 －　 ， 　　　　 ， 　 所以 196 的平方根為　　。

搭配頁數 61 (3)　　 　的平方根為 　 　和 　 ， 所以 　　 的平方根為　　。

搭配頁數 61 (4)　 的平方根為 　 和 　 ， ， 所以 　 的平方根為　 。

􀀂 􀀁 (1)29 的正平方根為__________ 。 􀀂 􀀁 (2)29 的負平方根為__________ 。 2.求下列各數的平方根 搭配頁數 62 1.回答下列問題： 􀀂 􀀁 (1)29 的正平方根為__________ 。 􀀂 􀀁 (2)29 的負平方根為__________ 。 2.求下列各數的平方根 (1)101 (2)2304 101 的平方根為 2304 的平方根為

搭配頁數 62 (3) (4)4.84 4.84的平方根為 的平方根為

1.若 14 是 a 的正平方根，則 a ＝？ 2.若 －8 是 5x＋4 的負平方根，則 x ＝？ 1. 因為 142 ＝ 196， 搭配頁數 62 1.若 14 是 a 的正平方根，則 a ＝？ 2.若 －8 是 5x＋4 的負平方根，則 x ＝？ 1. 因為 142 ＝ 196， 所以 14 是 196 的正平方根。 因此 a ＝ 196。 2. 5x＋4＝（－8）2 5x＋4＝64 x＝12

1.回答下列問題： 􀀂 (1)5 是_______的正平方根。 􀀂 (2)－5 是_______的負平方根。 搭配頁數 62 1.回答下列問題： 􀀂 (1)5 是_______的正平方根。 􀀂 (2)－5 是_______的負平方根。 2.若 6 和 －6 都是 2x－8 的平方根， 求 x 的值。 2x－8＝（±6）2 2x－8＝36 2x＝44 x＝22

抄在筆記本上 2-1 二次方根的意義 4.有理數: 一個數可以用 表示， 則該數稱為有理數。 Ex :

抄在筆記本上 2-1 二次方根的意義 5.無理數: 一個數不能用 表示， 則該數稱為無理數。 Ex :

抄在筆記本上 2-1 二次方根的意義 6.求 近似值的方法 (1) 十分逼近法 (2) 查表法 (3) 計算機法

十分逼近法 在本節剛開始的時候（第 53 頁）， 學過 是一個介於 1.4 和 1.5 之間的正 數，下面將進一步利用計算的方式 搭配頁數 63 　 十分逼近法 　　在本節剛開始的時候（第 53 頁）， 學過 是一個介於 1.4 和 1.5 之間的正 數，下面將進一步利用計算的方式 （十分逼近法）推導 　 的值： 　　將 1 到 2 之間分成十等分，並求出 這九個等分點 1.1 至 1.9 的平方 ：

搭配頁數 63 『十分』逼近法

搭配頁數 63 （1.1）2＝1.21 （1.2）2＝1.44 （1.3）2＝1.69 （1.4）2＝1.96 （1.5）2＝2.25 （1.6）2＝2.56 （1.7）2＝2.89 （1.8）2＝3.24 （1.9）2＝3.61 小於 2 1.96＜2＜2.25 （1.4）2＜（ 　 ）2＜（1.5）2 所以 1.4＜ 　 ＜1.5。 大於 2

再將 1.4 到 1.5 之間分成十等分，並求出 這九個等分點 1.41 至 1.49 的平方 ： （1.41）2＝1.9881 搭配頁數 63 再將 1.4 到 1.5 之間分成十等分，並求出 這九個等分點 1.41 至 1.49 的平方 ： （1.41）2＝1.9881 （1.42）2＝2.0164 （1.43）2＝2.0449 （1.44）2＝2.0736 （1.45）2＝2.1025 小於 2 大於 2 因為（1.41）2＜（ 　 ）2＜（1.42）2 所以 1.41 ＜ 　 ＜ 1.42

仿照上面的方式，將 1.41 到 1.42 之間再分 成十等分，並求出這九個等分點 1.411 至 1.419 的平方，可得 搭配頁數 64 仿照上面的方式，將 1.41 到 1.42 之間再分 成十等分，並求出這九個等分點 1.411 至 1.419 的平方，可得 （1.414）2＜（ 　 ）2＜（1.415）2 所以 1.414 ＜ 　 ＜ 1.415 再以四捨五入法求得 　 的近似值到小數 點後第二位，即 　 ≒1.41。

數點後第二位（四捨五入），將它整理如下： 搭配頁數 64 　　再以四捨五入法求得 　 的近似值到小數 點後第二位，即 　 ≒1.41。 　　依此方式進行，可以求出 　 的近似值到 任意小數位數，這個方法稱為十分逼近法。 　　上面是以十分逼近法求 　 的近似值到小 數點後第二位（四捨五入），將它整理如下：

抄在筆記本上 十分逼近法求 的近似值 (1)因為 12 ＝1，22 ＝4， 1 ＜ 2 ＜4 所以 1 ＜ ＜2 搭配頁數 64 十分逼近法求 的近似值 (1)因為 12 ＝1，22 ＝4， 1 ＜ 2 ＜4 　所以 1 ＜ 　 ＜2 (2) 因為（1.4）2 ＝1.96，（1.5）2 ＝2.25 　1.96 ＜ 2 ＜2.25 ， 所以 1.4 ＜ 　 ＜1.5 (3)因為（1.41）2 ＝1.9881，（1.42）2 ＝2.0164 所以 1.41 ＜ 　 ＜1.42 (4)因為（1.414）2 ＝1.999396，（1.415）2 ＝2.002225， 1.999396 ＜ 2 ＜2.00225 　 所以 1.414 ＜ 　 ＜1.415 故 　 ≒1.41

抄在筆記本上 2-1 二次方根的意義

求 的近似值，並以四捨五入法求到小數點 後第一位。 (1)因為 12＝1，22＝4， 1 ＜ 3 ＜4 所以 1＜ ＜2。 搭配頁數 65 求 　 的近似值，並以四捨五入法求到小數點 後第一位。 (1)因為 12＝1，22＝4， 1 ＜ 3 ＜4 　 所以 1＜ 　 ＜2。 (2)因為（1.7）2＝2.89，（1.8）2＝3.24， 　 2.89 ＜ 2 ＜3.24， 所以 1.7＜ 　 ＜1.8。 (3)因為（1.75）2＝3.0625＞3， 　 所以 　 ＜1.75。 經四捨五入得 　 ≒1.7。

求 的近似值到小數點後第一位時，依下列各小題所提供的數據，按步驟回答下列問題： 搭配頁數 65 求 　 的近似值到小數點後第一位時，依下列各小題所提供的數據，按步驟回答下列問題： (1) 因為 12＝1，22＝4，32＝9，所以 　 在哪兩個連續整數之間？ 答：__________＜ ＜__________

2.3 2.2 < 2.2 (2) 因為（2.1）2＝4.41，（2.2）2＝4.84， （2.3）2＝5.29，所以 在哪兩個連 搭配頁數 65 (2) 因為（2.1）2＝4.41，（2.2）2＝4.84， （2.3）2＝5.29，所以 　 在哪兩個連 續一位小數之間？ 答：__________＜ 　 ＜__________。 (3) 根據（2.25）2＝5.0625，比較 　 和 2.25 的大小關係。（填＞或＜） 答： 　 __________2.25。 (4) 以四捨五入法求 　 的近似值到小數點後 第一位，得 　 ≒_________。 2.3 2.2 < 2.2

查表法 利用十分逼近法求平方根的近似值，過 程非常繁瑣。因此也可以利用課本附錄（第 187 頁 ∼ 第 188 頁）的乘方開方表，迅速地 搭配頁數 66 　 查表法 　　利用十分逼近法求平方根的近似值，過 程非常繁瑣。因此也可以利用課本附錄（第 187 頁 ∼ 第 188 頁）的乘方開方表，迅速地 查出完全平方數或是平方根的近似值。 以 272 、　 及 　 的求法為例，說明如 下：

搭配頁數 66

(1) 查 272： 首先由表 2-1 中標示 N 的這一行找出 27 這 個數，再由該列找出 N 2 那一行對應的數是 搭配頁數 66 (1) 查 272： 首先由表 2-1 中標示 N 的這一行找出 27 這 個數，再由該列找出 N 2 那一行對應的數是 729，就得出 272＝729。

(2) 查 ： 由表 2-1 中標示 N 的這一行找出 5 這個數， 再由該列找出 那一行對應的數是 2.236068，就得出 搭配頁數 66 (2) 查 　 ： 由表 2-1 中標示 N 的這一行找出 5 這個數， 再由該列找出 　 那一行對應的數是 2.236068，就得出 　 　 ≒2.236068。

搭配頁數 66 (3) 查 　 ≒5.477226 ： 查法有兩種，

搭配頁數 67 以利用右表查出下列各數的值 （或近似值）： (1)342 (2) (3) (4)

搭配頁數 67 (1) 342 所以 342＝1156。

搭配頁數 67 (2) 所以 　 ≒2.645751。

搭配頁數 67 (3) 所以 　 ≒4.472136。

搭配頁數 67 (4) 所以 　 。

5.385 13.038 由課本附錄的乘方開方表，查出下列各 數的近似值：（以四捨五入法求到小數 點後第三位） 搭配頁數 67 由課本附錄的乘方開方表，查出下列各 數的近似值：（以四捨五入法求到小數 點後第三位） (1) 　 ≒___________ (2) 　 ≒___________ 5.385 13.038

，sqrt 代表平方根的英文 square root。 因為各類型電算器的設計不盡相同，所 以實際操作時，同學們可參考電算器的操作 手冊。 搭配頁數 68 　 電算器求 　　除了十分逼近法和查表法之外，也可以用 電算器求 　 的近似值。 　　開啟電算器後，先按 　 ，再按下　 ， 便可得到答案。 　　某些廠牌的電算器可能沒有 　，而是　 ，sqrt 代表平方根的英文 square root。 因為各類型電算器的設計不盡相同，所 以實際操作時，同學們可參考電算器的操作 手冊。

搭配頁數 68 1.用電算器求 　　 的值。 2.用電算器求 　 的近似值。 （以四捨五入法求到小數點後第三位） ≒2.236

18 16 1.3 在下列空格中填入適當的數： (1) ＝__________ (2) ＝__________ 搭配頁數 70 　 在下列空格中填入適當的數： 　 (1)　　　　＝__________ 　　　 　 (2)　　　　＝__________ 　 (3)　　　　＝__________ 　　　　 　 (4)　　　　＝__________ 18 16 1.3

搭配頁數 70 　 計算下列各數： 　(1) (2) 　(3)　　　　　　 (4) 　(5) 　　　　 (6)

已知一個正方形的面積為 19600 平方公分，求其邊長。 搭配頁數 70 　已知一個正方形的面積為 19600 平方公分，求其邊長。 　邊長為 　　　＝140 　答：140 公分。

求下列各數的平方根： (1)144 (2)6 144 的平方根為±12 6 的平方根為 (3) (4) 搭配頁數 71 　求下列各數的平方根： 　(1)144 (2)6 (3) (4) 　(5)6.76 (6)2 ×3 × 5 　144 的平方根為±12 　6 的平方根為 的平方根為 的平方根為 　6.76 的平方根為±2.6

(1)若 x2＝169，則 x＝？ （±13）＝169，所以x＝±13 答：x＝±13。 (2)若 m2＝23，且 m＜0，則 m＝？ 搭配頁數 71 　 (1)若 x2＝169，則 x＝？ (2)若 m2＝23，且 m＜0，則 m＝？ （±13）＝169，所以x＝±13 答：x＝±13。 ，因為 m＜0，所以 答：

搭配頁數 71 　若 ±16 是 3x－5 的平方根，則 x＝？ 3x－5＝（±16） 3x－5＝256 3x＝261 x＝87 答：87。

3 4 3.3 3.4 求 的近似值到小數點後第一位時，依下 列各小題所提供的數據，按步驟回答下列問 題： 搭配頁數 72 　求 　 的近似值到小數點後第一位時，依下　 　列各小題所提供的數據，按步驟回答下列問　 　題： 　(1) 因為 12＝1，22＝4，32＝9，42＝16， 　所以 　 在哪兩個連續整數之間？ 　答：_____ ＜ 　 ＜_____ 。 (2) 因為（3.1）2＝9.61，（3.2）2＝10.24， 　（3.3）2＝10.89，（3.4）2＝11.56， 　所以 　 在哪兩個連續一位小數之間？ 3 4 3.3 3.4

< 3.3 (3) 根據（3.35）2＝11.2225，比較 和 3.35 的大小關係。（填＞或＜） 答： ______ 3.35。 搭配頁數 72 (3) 根據（3.35）2＝11.2225，比較 　 和 3.35 的大小關係。（填＞或＜） 答： 　 ______ 3.35。 (4) 以四捨五入法求 　 的近似值到小數點後第一位，得 　 ≒_____。 < 3.3

4.243 15.166 29 利用右表查出下列各數的值（或近似值）： (1) ≒_______。 (2) ≒_______。 搭配頁數 72 　 利用右表查出下列各數的值（或近似值）： 4.243 　 (1) ≒_______。 15.166 　 (2) ≒_______。 29 　 (3) ＝_______。

抄在筆記本上 十分逼近法求 的近似值 (1)因為 22 ＝4，32 ＝9， 4 ＜ 7 ＜9 所以 2 ＜ ＜3 搭配頁數 64 十分逼近法求 的近似值 (1)因為 22 ＝4，32 ＝9， 4 ＜ 7 ＜9 　所以 2 ＜ 　 ＜3 (2) 因為（2.6）2 ＝6.76，（2.7）2 ＝7.29 　2.6 ＜ 7 ＜2.7 ， 所以 2.6 ＜ 　 ＜2.7 (3)因為（2.64）2 ＝6.969，（2.65）2 ＝7.022 所以 2.64 ＜ 　 ＜2.65 (4)因為（2.645）2 ＝6.996， 7＜6.996 所以 ＜2.645 　 故 　 ≒2.65

抄在筆記本上 2-1 二次方根的意義