第二章 平行线与相交线 锦州市实验学校　数学组（３）

2.1余角和补角 23° α

学习目标 1、了解余角，补角和对顶角，知道余角，补角和对顶角的性质 2、会运用性质进行计算 学习目标 1、了解余角，补角和对顶角，知道余角，补角和对顶角的性质 2、会运用性质进行计算

自学题纲 参照教材p59光的反射实验提出下列问题： 阅读题纲 1、通过引例的阅读，指出余角，补角的概念。 2、请你归纳余角、补角的性质。并说明理由。 3、通过阅读议一议，归纳对顶角的概念和性质。

模拟实验 法线 反射光线 入射光线 入射角 反射角 反射角=入射角

1 4 2 3 A ∠3+ ∠1=90 ∠3+ ∠ 2 =90 ∠3=∠4 我们将上述光的反射图形抽象为几何图形。 入射角 反射角 你能说出图中的各个角与∠3都有怎样的关系吗？与同伴交流一下！ 1 4 2 C 3 A D B E F ∠3+ ∠1=90 ∠3+ ∠ 2 =90 ∠3+ ∠ABF=180 ∠3+ ∠CBE=180 如果两个角的和为直角，则这两个角互为余角。 如果两个角的和为平角，则这两个角互为补角。 ∠3=∠4

探索发现 3 4 1 2 A 1. 在本图中，还有哪些角 互 为余角？互为补角？ 互余的角有： ∠1与∠3，∠2与∠3， C A B D E F 探索发现 1. 在本图中，还有哪些角 互 为余角？互为补角？ 互余的角有： ∠1与∠3，∠2与∠3， ∠1与∠4，∠2与∠4. 互补的角有： ∠3与∠ABF，∠4与∠CBE， ∠3与∠CBE，∠4与∠ABF.

多种两角和为90°的情况： 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 不管两角在什么位置，只要两角和为90°，都称它们是互余的。 2

做一做，巩固概念，探究并运用 ①如图，已知∠1=42°，∠2=138 °，∠3=48°， 问图中有没有互余或互补的角？ 2 3 1 ②如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线，图中有哪些角互补？有哪些角互余？说明你的理由。 C D B A O

     × 断真伪 × 1、判断题： (1)互余的两个角必定都是锐角。 ( ) (2)   ＝90°，那么它是余角。 ( ) (1)互余的两个角必定都是锐角。 ( )　(2)   ＝90°，那么它是余角。 ( ) (3)一个角的补角必定是钝角。 ( ) (4)两个角互补，那么这两个角中，必定一个是锐角，另一个是钝角。 （　）　　　　　　　　　　　　　(5)一个角的余角一定比这个角的补角小。 ( ) (6)若 AOB与 BOC互补，则A、O、C同在一直线上。 ( ) 　 ⑺若∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、∠2、∠3互为　 　　补角　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　）      × ×

比一比，谁完成的最好 1、若∠1与∠2互余， ∠1+∠2= °，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2= ° 1、若∠1与∠2互余， ∠1+∠2= °，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=　　 ° 90 180 2、30°角的余角为 　 °，补角为　 °，75°30′的余角为 ，补角为 。 n°(0 ＜ n＜90)的余角为 ，补角为 。 60 150 14°30′ 104°30′ 90°-n° 180°-n° 3、如右图：O是直线AB上一点，OC是∠AOB的角平分线 ①∠AOD的余角是 ； ②∠AOD的补角是 ； ③∠DOB的补角是 。 B O A C D ° ∠COD ∠BOD ∠AOD

连一连 已知3组角 10° 55° 75° 100° 145° 35° 80° 105° 125° 170° 10° 15° 35° 55° 115° A组 B组 C组 （1）对A组中的每一个角，在B组中找到它的补角，并用线连结。 （2）B组中有哪些角的余角在C组中？分别找出这些角，并用线连结。

做一做 １.如图，已经∠ １＝４２°， ∠ ２＝１３８°，∠ ３＝４８° 问图中有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并 说明理由。 　问图中有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并 　说明理由。 １ ２ ３ ∵ ∠ １＋ ∠ ３＝ ４２°＋ ４８°＝９０ °， ∴ ∠ １与 ∠ ３互余. ∵ ∠ １＋ ∠ ２＝ ４２°＋ １３８°＝１８０ °， ∴ ∠ １与 ∠ ２互补. ２.如左图，点Ｏ为直线ＡＢ上一点， ∠ＡＯＣ＝Ｒt ∠ ， 　ＯＤ是∠ＢＯＣ　内的一条射线．图中有哪些角互补？有哪 　些角互余？说明你的理由． Ｏ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ ∵ ∠ＢＯＤ＋ ∠ＤＯＣ＝ ∠ＢＯＣ＝ ∠ＡＯＣ＝Ｒt ∠ ∴ ∠ＢＯＤ与 ∠ＤＯＣ互余． ∵ ∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＣ＝１８０　∠ＡＯＤ＋∠ＢＯＤ＝１８０ °， ∴ ∠ＡＯＣ与∠ＢＯＣ互补， ∠ＡＯＤ＋∠ＢＯＤ互补．

？ 例1：如图，如果∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，那么∠2与∠3相等吗？为什么？ 答：∠2=∠3 因为∠1与∠2互余，∠1与∠3互余 所以∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠1 所以∠2=∠3 ？ 通过上题，你是否发现同角的余角有怎样的关系？你能试着总结一下吗？ 同角（或等角）的余角相等

练一练 答：∠A=∠BCD 因为∠A+∠B=90° ∠BCD+∠B=90° 所以∠A=90°- ∠B ∠BCD=90°-∠B 如图：∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°,∠A与∠BCD有什么大小关系？为什么？ D B C A B C A D 答：∠A=∠BCD 因为∠A+∠B=90° ∠BCD+∠B=90° 所以∠A=90°- ∠B ∠BCD=90°-∠B 所以∠A=∠BCD（同角的余角相等）

例１ 如右图，已知∠ ＡＯＣ＝ ∠ＢＯＤ＝Ｒt ∠．指出图中还有哪些角相等，并说明理由． 解： ∠ ＡＯＢ＝ ∠ＣＯＤ 理由： 即　　∠ ＡＯＢ与∠ ＣＯＤ都是∠ ＢＯＣ的余角， 　　∴ ∠ ＡＯＢ＝ ∠ＣＯＤ　（　　　　　　　　） 同角的余角相等

结论：同角（或等角）的补角相等 答：∠2和∠4相等 因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补 所以∠2=180°-∠1，∠4=180°- ∠3 想一想： ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，若∠1=∠3，那么∠2和∠4相等吗？为什么？由此你有能得出什么结论？ 答：∠2和∠4相等 因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补 所以∠2=180°-∠1，∠4=180°- ∠3 又因为∠1=∠3 所以∠2=∠4 结论：同角（或等角）的补角相等

练一练 答：∠AOD=∠BOD （等角的补角相等） 如图，直线CD经过点O，且OC平分∠AOB。试判断∠AOD与∠BOD的大小关系，并说明理由。 A 答：∠AOD=∠BOD 因为∠AOD与∠AOC互补，∠BOD与∠BOC互补 C D O 所以∠AOD=180°- ∠AOC ∠BOD=180°-∠BOC B 又因为OC平分∠AOB 所以∠AOC=∠BOC 所以∠AOD=∠BOD （等角的补角相等）

图2中的∠1、∠2、∠3、∠4，哪些是相等的角，为什么？

例 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个角的度数. 解: 设这个角为 x 度,则这个角的余角是 (90 – x) 度,补角是 ( 180 – x ) 度. 由题意,得 180 – x = 4 ( 90 – x ), 解方程,得 x=60 (度) www.1230.org 初中数学资源网 收集整理 所以这个角的度数为60 °

练习： 如图：吊桥与铅直方向所成的角∠α=30°，若要把吊桥放平，则吊桥要沿什么方向转动？转动多少度 ？ 30° ？

课内练习: (1)如果∠а的余角是∠а的2倍,求∠а的度数; (2)如果∠1的补角是∠1的三倍,求∠1的度数. (3)一个角的补角减去20°后，等于这个角的余角的2倍，求这个角的度数。

课堂小结 同角(等角)的余角相等 同角(等角)的补角相等 互余的角 互补的角 数量关系 对应图形 性质 1＋ 2＝90° 　　互余的角 　　互补的角 数量关系 对应图形 性质 1＋ 2＝90° 1＋ 2＝180° C M N D A O B E 同角(等角)的余角相等 同角(等角)的补角相等

挑战一下 下图中，OA是表示南偏西30º方向上的一条射线，仿照这条射线，画出表示下列方向的射线：（1）北偏西20º；（2）南偏东60º； （3）西南方向（即南偏西45º）。 表示（1）、（2）方向的两条射线所成的角是多少度？ 140º 表示（2）、（3）方向的两条射线所成的角呢？ 105º 在日常生活中，我们什么时候会用到这样的表示法？ 20º 表示目标方位 www.czsx.com.cn 60º 45º 30º

2．你知道吗？打台球的游戏中，台球击到桌沿又反弹回来的路线，就和光的反射定律中入射光线与反射光线的路线是一样的。 下图中是一个经过改造的台球桌面示意图，图中的阴影为6个袋孔，如果一球按图示方向击出去，最后落入第几个袋孔？

作业 1．习题2.1数学理解1，2 习题2.1问题解决1，2 2．思维拓广：如图，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将∠C过点E折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过点E折起，使DE与HE重合，折痕是GE，请探索下列问题： （1）∠GEF是直角吗？为什么？ （2）∠FEH与∠GEH互余吗？为什么？ （3)在上述折纸的图形中，还有哪些角互为余角？还有哪些角互为补角？ 活动目的：分层布置作业，让不同程度的学生都能有不同的收获。 2019/4/30