*§3 上极限和下极限 一、上(下)极限的基本概念 二、上(下)极限的基本性质 数列的上极限与下极限是非常有用的概念, 通过 *§3 上极限和下极限 数列的上极限与下极限是非常有用的概念, 通过 它们可得出数列极限存在的另一个充要条件. 在下 册第十二、十四章讨论级数收敛性时, 常会遇到所 考虑的某些数列不存在极限的情形, 那时需要用上 极限或下极限来解决问题. 此外, 对于不少后继课 程来说, 上(下)极限也是不可缺少的工具. 一、上(下)极限的基本概念 二、上(下)极限的基本性质 返回

一、上(下)极限的基本概念 定义1 若数列 满足: 在数 的任何一个邻域 内均含有 中的无限多项, 则称 x0 是数列 的一个聚点. 注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于: 前者要求 “含有无限多个点”, 后者要求 “含有无 限多个项”. 现举例如下: 常数列 只有一个聚点: a .

作为点集来说它仅有两个点, 故没有聚点; 但作为数列来说, 它却有两个聚点: 有五个聚点: 数列 从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列 的聚 点的一个充要条件是: 存在 的一个子列 定理7.4 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大 聚点和最小聚点.

证 设 为有界数列, 由致密性定理, 存在一个 收敛子列 于是 的一个聚点. 又设 由于 E 非空有界, 故由确界原理, 存在 下面证明 是 { xn } 的最大聚点, 亦即 首先, 由上确界的性质, 存在 使

因为 是 的聚点, 所以对任意正数 在区间 的无限多项. 现依次令 存在 使 存在 使 存在 使

这样就得到了 { xn } 的一个子列　　　满足: 即证得 同理可证 定义 2 有界数列 的最大聚点 与最小聚点 分别称为 的上、下极限, 记为

注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 一个 数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过 极限来研究该数列往往是徒劳的; 但是有界数列 的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质 提供了一个新的平台.

例1 考察以下两个数列的上、下极限: 从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限 之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文.

二、上(下)极限的基本性质 由上、下极限的定义, 立即得出: 定理7.5 对任何有界数列 有 (1) 由上、下极限的定义, 立即得出: 定理7.5 对任何有界数列 有 (1) 下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关 系. 定理7.6 有界数列 存在极限的充要条件是: (2)

证 设 对于任意正数 在 之外 只有 有限项. 这样, 对任意的 若 那么在 内( 此时必 取 只有有限项. 这就是说, B 不是 的聚点, 故 仅有一个聚点 A, 从而 反之, 若上式成立, 则 的聚点惟一 (设为 A) ,

此时易证 倘若不然,则存在 之外含有 使得在 的无限多项. 由致密 性定理, 这无限多项必有 另一聚点, 导致与聚点惟 一的假设相矛盾.

定理7.7 设 为有界数列, 则有 的充要条件是: 对于任意的 (i) 存在 N, 当 n > N 时, 的充要条件是: 对于任意的 (i) 存在 N, 当 n > N 时, 证 在形式上是对称的, 所以仅证明 .

必要性 设 因为 A 是 的一个聚点, 使得 所以存在 故对于任 意的 存在 当 k > K 时， 将 中的前面 K 项剔除, 这样就证明了(ii). 又因 A 是 的最大聚点, 所以对上述 在区间 , e 上, 至多只含 的有限项. 不然的 话, 因为 有界, 故 在 上 还有聚点, 这与 A 是最大聚点相矛盾. 设这有限项

的最大下标为 N, 那么当 n > N 时, 充分性 任给 综合 (i) 和 (ii), 在 上含有 { xn } 的无限项, 即 A 是 { xn } 的聚点. 而对于任意的 这说明在

{ xn } 的有限项, 故 不是 { xn } 的 上也至多只有 从而有 聚点,所以 A 是 的最大聚点 . 定理7.8 (保不等式性) 设 { xn }, { yn } 均为有界数 列,并且满足: 存在 当 n > N0 时, 有 则取上(下)极限后, 原来的不等号方向保持不变:

(3) 特别若 则更有 (4) 证 设 因为 B 是 { yn } 的 聚点, 所以存在 , 故存在 的一个收敛子列 ,

又因 也是 . 由于 的极限,便得 取 的最小聚点 A 理应满足 的聚点, 它与 同理可证关于上极限的不等式; 而 (4) 式则可由 (1) 与 (3) 式直接推得.

例1 都是有界数列, 那么 设 (5) (6) 证 这里只证明 (i) , (ii) 可同理证明. 设 由定理7.7, 存在 N, 当 n > N 时,

故 再由定理 7.8 的 (4) 式, 得 因为 是任意的, 故 注 这里严格不等的情形确实会发生, 例如

例2 设 , 且 求证 的全体聚点的集合为 证 设 E 是 的全体聚点的集合, 显然有 任给 , 欲证 如若不然, 则存在 内仅含 的有限项: 在

这就是说, 当 时, 所有的 均不在 之内. 又因 所以存在 当 n > K 时, 由 (7) 导致所有 的 或者都有 或者都有 前者与 B 是 的聚点矛盾; 后者与 A 是

的聚点矛盾. 故证得 , 即 从而 定理7.9 设 { xn } 为有界数列. 则有 (i) A 是 { xn } 的上极限的充要条件是 (8) (ii) B 是 { xn } 的下极限的充要条件是 (9) 证 这里仅证 (i). 设 , 显然 是一

递减数列, 并且有界, 一方面, 因为 另一方面, 由于 根 据上确界定义, 又因 所以有 同理, 由于

使得 照此做下去,可求得 使 这样得到的子列 因仍为有界的,故其上极限 亦存在, 设为 (10) 式关于 k 求上极限, 由不等式性质 (4), 得出 因 是任意的, 所以又得 . 从而证得

例3 用上、下极限证明: 若 为有界发散数列, 则存在 的两个子列, 收敛于不同的极限. 证 由定理7.6 , 有界数列 发散的充要条件 为 于是存在 的两个子列 使得 注 本例命题用现在这种证法,可以说是最简捷的.

例4 证明: 对任何有界数列 有 (11) 分析 将 (11) 式改写为 (12) 若能证明 便不难得出结果. 证 根据定理7.9 的 (8) 与 (9), 可得

把它用于 (12) 式, 并利用例1 的结论 (6), 便有 这也就证明了 (11) 式.

复习思考题 数列的上、下极限, 除用定义2 定义外, 也可用 它们的充要条件( 定理7.7 与定理7.9 ) 来定义. 数列的上、下极限, 除用定义2 定义外, 也可用 它们的充要条件( 定理7.7 与定理7.9 ) 来定义. 试从直观性、应用的方便性等方面, 分析这三 种定义方式各有哪些特点?