你还能举出更多例子吗？

正多边形和圆 圆的内接正n边形 & 圆的外切正n边形

正多边形： 正n边形： 三条边相等，三个角也相等（60度） 四条边都相等，四个角也相等（90度） 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。

想一想： 菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？ A B C D E 求证： 正五边形的对角线相等

类比联想 怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？ 怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？ A B C D 类比联想 怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？ E F G H A B C D 怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？ 怎样找圆的内接正n边形？怎样找圆的外切正n边形？

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形； 定理 把圆分成n（n≥3）等份： ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形； ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。

⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA ∴AB=BC=CD=DE=EA ∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠2 同理∠2=∠3=∠4=∠5 又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形。 ⌒ 1 2 3 A B C D E 4 5 ⌒ ⌒ ⌒

⌒ A B C D E P Q R S T O 证明：连结OA、OB、OC，则： ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB ∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C 为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB 又∵AB=BC ∴AB=BC ∴△PAB与△QBC是全等 的等腰三角形。 ∴∠P=∠Q PQ=2PA 同理∠Q=∠R=∠S=∠T QR=RS=ST=TP=2PA 又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST的是O外切正五边形。 ⌒ A B C D E P Q R S T O

× × 1、判断题。 ①各边都相等的多边形是正多边形。 （ ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形。 （ ） 2、证明题。 ①各边都相等的多边形是正多边形。 （ ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形。 （ ） 2、证明题。 求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多边形是 正六边形。 × × A B C D E F P Q R S T H A B C D E 3、证明题。 求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形

正多边形和圆 正n边形的外接圆 & 正n边形的内切圆

定理 把圆分成n（n≥3）等份： 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； 一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？

类比联想 正三角形 正方形 那么，正n边形呢？ 有没有外接圆和内切圆？ 怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？ 有没有外接圆和内切圆？

定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆。 正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边形的每个中心角都等于360°/n。

正多边形的性质 正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴。 若n为偶数，则其为中心对称图形。

正多边形和圆 巩固练习

正多边形的性质 各边相等，各角相等 圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等分 圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成n等分 每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心 正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形 正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n，每个内角都等于(n-2)·180°/n 边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面积比等于相似比平方

求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形。 求证：各角相等的圆外切多边形是正多边形。 思考： 各边相等的圆外切多边形是否是正多边形？ 各角相等的圆内接多边形是否是正多边形？

练习 1、下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八边形；④正2n（n为自然数）边形；⑤任意的平行四边形。是轴对称图形的有__________,是中心对称图形的有________,既是中心对称图形，又是轴对称图形的有_______。 边数相同的两个正多边形相似 ①②③④ ③④⑤ ③④ 2、两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长比为_____，面积比为_____，外接圆周长比是______，中心角度数比是______。 3:4 9:16 3:4 1:1

3、已知正三角形ABC的边长为4，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积是多少？ 练习 3、已知正三角形ABC的边长为4，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积是多少？ O C A B D

4、圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BE相交于点M， (1)求∠AME的度数 (2)求证：ME=AB (3)求证：ME2=BE·BM 练习 4、圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BE相交于点M， (1)求∠AME的度数 (2)求证：ME=AB (3)求证：ME2=BE·BM M C E B A D

5、如图，AD是⊙O的直径，弦BC垂直平分OD，垂足为M。求证：△ABC是正三角形。 由此你想到了尺规作图中作正三角形的方法了吗？

6、A、B、C在⊙O上，且B在弧AC上，AB、AC分别是正九边形和正六边形的一边。请问：BC是此圆内接正几边形的一边？

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