第16讲 相似矩阵与方阵的对角化 主要内容： 1.相似矩阵 2. 方阵的对角化
4.3 相似矩阵与方阵的对角化 与方阵特征值和特征向量密切相关的是方阵的对角化问题. 先讨论较对角化更一般的相似矩阵的概念.
4.3.1 相似矩阵 Def 4.2 设A和B是n阶方阵,若存在可逆矩阵P, 使得 则称B是A的相似矩阵(similar matrices),又称A和B相似(similar),记为A ~ B.
根据相似矩阵的定义，容易证明 (1) 任意方阵A,有A ~ A . (自反性) (2) 对于任意方阵A和B,若A ~ B,则B ~ A. (对称性) (3) 对于任意方阵A、B和C,若A ~ B且B ~ C, 则A ~ C. (传递性)
下述定理是两个矩阵相似的必要条件. Theorem 4.1 若A ~ B, 则|A - E| = |B - E|, 即相似矩阵有相同的特征多项式, 进而有相同的特征值. Proof 由于A ~ B 存在可逆矩阵P, 使得 P-1AP = B.
Remark 有相同特征多项式的两个矩阵不一定相似. 例如,取
例4.9 设三阶方阵A相似于 求|A|. Solution P-1AP = B |P-1AP | = |B|.
例4.10 设A为2阶方阵, 1和2为线性无关的2维向量, 且A1 = 0, A2 = 21+2, 求A的特征值. Solution P = (1, 2):
x是A的对应于特征值的特征向量:Ax = x. P-1AP = B P-1APP-1 = BP-1 这说明P-1x是B的对应于特征值的特征向量.
4.3.2 方阵的对角化 在方阵A的相似矩阵中, 是否存在对角矩阵? 这是我们考虑的主要问题, 因为对角矩阵具有良好的性质. 给定方阵A，若 则称A能对角化(diagonalizable).
Theorem 4.2 设A是n阶方阵, 则A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量. Proof() P-1AP = AP = P.
()
若A能对角化,则取P为A的n个线性无关的特征向量作为列向量构成的矩阵,即P = (p1, p2, …, pn),显然这样的P是不唯一的,而对角矩阵diag(1, 2, …, n)中i分别与pi对应, i = 1, 2, …, n. 根据对应于不同特征值的特征向量线性无关的结论知 Corollary 设A是n阶方阵, 若A有n个不同特征值, 则A能对角化.
例4.12 设方阵 问A能否对角化，并求出Ak. Solution
得出A的所有特征值为1, 2, 3. 当 = 1时: 当 = 2时: 当 = 3时:
于是,A存在3个线性无关的特征向量, 根据定理4.2知A可对角化. 令
若A能对角化，则计算较方便.
例4.14 设方阵 在a取何值时A能否对角化? 并给出一个可逆矩阵P使得P-1AP为对角矩阵. Solution
得出A的所有特征值为-1, 3(二重). 当 = -1时: 当 = 3时:
最后,给出一个应用特征值理论的例子.
例4.15 设方阵 且xk = Axk-1, k = 1, 2, …, 当 时, 计算xk,并确定时k , xk的变化趋势.
Solution 得A的特征值为1，0.5. 当 = 1时: 当 = 0.5时:
因为xk = Axk-1, k = 1, 2, …, 所以xk = Akx0, k = 1, 2, …,