第五章 频率响应法 5.1 频 率 特 性 5.2 典型环节和开环频率特性 5.3 奈奎斯特判据 5.4 稳 定 裕 度 第五章 频率响应法 5.1 频 率 特 性 5.2 典型环节和开环频率特性 5.3 奈奎斯特判据 5.4 稳 定 裕 度 5.5 闭环频率特性 本章作业 End

5.1 频率特性 基本概念（物理意义） A(ω) 称为幅频特性，φ(ω)称为相频特性。 5.1 频率特性 5.2 5.3 5.4 5.5 动画演示 动画演示 基本概念（物理意义） A(ω) 称为幅频特性，φ(ω)称为相频特性。 二者统称为频率特性 (frequency response characteristics) 。

数学本质 动画演示 R1 C1 i1(t)

常用于描述频率特性的两种曲线 ω=0 j ω=∞ -45o ω=1/T 1 幅相曲线(magnitude and phase diagram) ：对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个相频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率ω从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线(即极坐标图)。 动画演示 幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图(Bode diagram)，其横坐标(为频率ω)采用对数分度。对数幅频曲线的纵坐标的单位是分贝，记作dB；对数相频曲线的单位是度。 对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图。 动画演示

5.2 典型环节和开环频率特性 典型环节 5.2.1 幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制 比例环节：K 积分环节：1/s 5.1 5.3 5.2 典型环节和开环频率特性 5.4 5.5 5.2.1 幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制 5.2.2 5.2.3 典型环节 比例环节：K 积分环节：1/s 微分环节：s 惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0 一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0 振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]; 式中ωn>0，0<ζ<1 二阶微分环节：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1; 式中ωn>0，0<ζ<1 延迟环节：e-τs

· 由前推导得: A(ω)= | G(jω)|，φ=arctg[Im G(jω)/Re G(jω)];  绘对数幅频曲线，用L(ω)=20lg A(ω) 比例环节 动画演示 20lgK (dB) (o) ω 1 10 图5.4 比例环节的 对数频率特性曲线 比例环节的频率特性是G(jω)=K， 幅相曲线如下图。 k j 图5.3 比例环节K的幅相曲线 · 比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是：  L(ω)=20lg| G(jω)|=20lgK 和φ(ω)=0  相应曲线如上右图。

积分环节的对数幅频特性是 L(ω)=-20lgω, 而相频特性是 φ(ω)=-90o。 图5.6 1/jω和jω的对数坐标图 ω 0.1 (dB) 1 10 20 -20 -20dB/dec 1/jω (o) 90 -90 ∠1/jω 积分环节 动画续看 jω 20dB/dec ω 图5.5 积分环节的幅相曲线 j ∠jω 积分环节的对数幅频特性是 L(ω)=-20lgω, 而相频特性是 φ(ω)=-90o。 j ω ω=0 图5.7 微分环节幅相曲线 微分环节 G(s)=s 和 G(jω)= jω=ω∠π/2 L(ω)=20lgω, 而相频特性是φ(ω)=90o。

G(s)=1/(Ts+1) 惯性环节 ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0 图5.8 惯性环节幅相曲线 ω=0 j ω=∞ -45o ω=1/T 1 G(s)=1/(Ts+1) ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT ω 0.1 (dB) 1 10 20 -20 -20dB/dec 1/T 图5.9 1+jT和1/(1+j T)的对数坐标图 (o) 90 -90 20dB/dec 一阶微分环节 G(s)=Ts+1 动画续看 ω<<1/T, L(ω)≈20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈20lgωT

G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1] G(s)=Ts+1， ω=0 j ω 1 图5.10 一阶微分环节幅相曲线 振荡环节 图5.11 振荡环节的幅相曲线 ω=0 ω=∞ G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1] 动画续看

ω>>ωn 时 L(ω)≈-40lgω/ωn=-40(lg ω-lgωn) 10 1 图5.12 振荡与二阶微分环节 的对数坐标图 ω/ωn 0.1 (dB) 40 -20 40dB/dec -40dB/dec (o) 180 -180 20

谐振频率ωr与谐振峰值Mr： 当阻尼比比较小时，在ω= ωn附近将出现谐振峰值。

G(s)=e-τs 二阶微分环节 G(s)=(s/ωn)2+2ζs/ωn+1 延迟环节 L(ω) =0， 图5.13 二阶微分环节幅相曲线 j 图5.13 二阶微分环节幅相曲线 1 ω=0 二阶微分环节 G(s)=(s/ωn)2+2ζs/ωn+1 图5.14 延迟环节幅相曲线 j 1 ω 0.1 (dB) 1 10 图5.15 延迟环节的Bode图 (o) -90 延迟环节 G(s)=e-τs L(ω) =0，

5.2.2 开环幅相曲线的绘制 5.2.1 5.2.3 动画演示 ω→0 ω→∞

根据典型环节的对数频率特性绘制开环对数频率特性曲线 例5.1 系统开环传函为 ,试绘制系统的Bode曲线。 解： 20 一般的近似对数幅频曲线 有如下特点(重点掌握)： 1. 最左端直线斜率为 -20ν·dB/dec,这里ν是积分环节数。 2. 在ω等于1时，最左端直线或其延长线(当ω<1的频率范围内有交接频率时)的分贝值是201gK；最左端直线(或延长线)与零分贝线的交点频率，数值上等于K1/ν。 3.在交接频率处，曲线斜率发生改变,改变多少取决于典型环节种类.在惯性环节后,斜率减少20dB/dec;而在振荡环节后,斜率减少40dB/dec

例5.2 已知系统开环传递函数为 试绘出开环对数渐近幅频曲线。 动画演示

最小相角(minimum phase )系统的零点、极点均在s平面的左半闭平面,在s平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。 5.2.3 最小相角系统和非最小相角系统的区别 5.2.1 5.2.2 最小相角(minimum phase )系统的零点、极点均在s平面的左半闭平面,在s平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。 幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同 。 最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数 。如： L(dB) ω -40 -20 ω1 ωc ω2 L(dB) 50 -20 -40 100 ω 20 -20 ω L(dB) 10 动画演示

已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数。 例5.3

5.3 奈奎斯特判据 辅助函数F(s)三个特点： 1.零、极点分别为闭、开环特征根; 2.零、极点个数相等; 5.3 奈奎斯特判据 5.1 5.2 5.4 5.5 动画演示 辅助函数F(s)三个特点： 1.零、极点分别为闭、开环特征根; 2.零、极点个数相等; 对于稳定的最小相角系统，从0时F(s)应不包围原点。 3. 与G(s)H(s) 相差为1。 动画演示 P:在右半平面开环特征根数; Z:在右半平面闭环特征根数; R: 在[G]平面，从0，幅相曲线绕（-1，j0) 点逆时针转过的圈数。 奈氏判据 (Nyquist stability criterion) Z=P-2R；Z=0时稳定。

动画演示 例5.4 判断以下系统的闭环稳定性。 从=0+开始，逆时针补画90°、半径为无穷大的圆弧。

例5.5

对数频率稳定判据 穿越时： 相角增大为正穿越N+， 相角减小为负穿越N- , 零分贝值以左的穿 未穿透为半次穿越, 越次数。 动画演示 为（-1，j0)点或 零分贝值以左的穿 越次数。 穿越时： 相角增大为正穿越N+， 相角减小为负穿越N- , 未穿透为半次穿越, （-） （+）

5.4 稳定裕度(stability margin) 5.1 5.2 5.3 5.5 动画1 ω ωg ωc j  -1 G(jωc)H(jωc) G(jωg)H(jωg) 动画2 其中，ωg为相角交界频率。其定义的含义：如果系统的开环传递系数增大到原来的h倍，则系统处于临界稳定状态。 h(dB) (o)(dB) -180  ωg ωc ω　　 其中， ωc为系统截止频率。 其定义的含义：如果系统对频率为截止频率的信号的相角滞后再增大度，则系统处于临界稳定状态。 系统稳定，则 h>1、>0 。 MATLAB仿真－jzbode

5.5 闭环频率特性 闭环频率特性曲线绘制的方法 等M圆和等N圆 尼柯尔斯曲线 5.5 闭环频率特性 5.1 5.2 5.3 5.4 闭环频率特性曲线绘制的方法 等M圆和等N圆 尼柯尔斯曲线 注意：尼柯尔斯图是根据单位负反馈结构绘制的，若系统不是单位反馈结构，则必须进行适当的变换之后才能运用此图。 如何利用闭环频率特性分析动态响应： “频带宽、峰值小，过渡过程性能好” 时域指标估算中利用的对应关系：

本 章 作 业 P197 5-1 5-3 5-5 5-6 5-7 5-8 5-10(1) 5-13